Résumé — Géométrie repérée : droites et cercles

Au XVII^e siècle, Descartes a eu une idée qui a changé les maths : repérer chaque point par ses coordonnées, pour transformer les figures en équations. En première, tu enrichis cette géométrie repérée avec l’orthogonalité : vecteur normal, projeté orthogonal, cercles — tout se calcule. Dans toute la suite, le plan est muni d’un repère orthonormé.

Le vecteur normal à une droite

Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à la direction de $d$ — perpendiculaire à la droite, en image. Il joue pour $d$ le rôle de garde du corps : il caractérise la droite aussi bien qu’un vecteur directeur.

Lire le vecteur normal dans l’équation

$d : ax + by + c = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \vec{n}\,(a\,;\,b) \text{ est normal à } d$

Les coefficients de x et de y, dans l’ordre, donnent directement un vecteur normal. Exemple : 3x − 2y + 5 = 0 a pour vecteur normal n(3 ; −2) — et pour vecteur directeur (−b ; a) = (2 ; 3), qui lui est orthogonal.

Trouver l’équation d’une droite : un point et un vecteur normal

C’est le produit scalaire qui fait tout : $M(x\,;\,y)$ appartient à la droite passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ .

Exemple avec $A(3\,;\,1)$ et $\vec{n}\,(1\,;\,-2)$ : l’équation $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ s’écrit

$1 \times (x - 3) + (-2) \times (y - 1) = 0 \qquad \text{soit} \qquad x - 2y - 1 = 0$

Vérification express : les coefficients $(1\,;\,-2)$ redonnent bien $\vec{n}$ , et les coordonnées de $A$ vérifient l’équation ( $3 - 2 - 1 = 0$ ) ✓.

Le projeté orthogonal d’un point sur une droite

Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH) \perp d$ — c’est le point de $d$ le plus proche de $M$ , et la distance de $M$ à la droite est la longueur $MH$ .

La méthode en trois étapes

1. Lire un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$ : c’est un vecteur directeur de la perpendiculaire $(MH)$ . 2. Décrire les points de $(MH)$ : ce sont les $M + t\,\vec{n}$ , de coordonnées $(x_M + ta\,;\,y_M + tb)$ . 3. Injecter ces coordonnées dans l’équation de $d$ pour trouver $t$ , puis $H$ . Aucune formule magique à retenir : au programme, la distance d’un point à une droite se calcule en passant par le projeté.

L’équation de cercle

Le cercle de centre A(a ; b) et de rayon r

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

C’est juste MA = r élevé au carré : la distance au centre vaut le rayon. Attention au piège de lecture : (x + 3)² signifie a = −3, et le membre de droite est le CARRÉ du rayon.

Reconnaitre un cercle sous forme développée : on regroupe les $x$ ensemble, les $y$ ensemble, et on complète chaque groupe en carré (forme canonique). Exemple :

$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 \iff (x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 - 4 = 0 \iff (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

C’est le cercle de centre $(1\,;\,2)$ et de rayon $\sqrt{9} = 3$ . Mais prudence : si le membre de droite obtenu est strictement négatif, aucun point ne convient (l’ensemble est vide) ; s’il est nul, l’ensemble se réduit au seul point $(a\,;\,b)$ .

Le cercle de diamètre $[AB]$ : c’est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ (chapitre produit scalaire) — développer ce produit scalaire en coordonnées donne directement une équation du cercle.

Utiliser un repère pour étudier une configuration

Le plan d’attaque

1. Choisis un repère malin (si l’énoncé n’en impose pas) : origine sur un point clé, axes le long des côtés perpendiculaires — les coordonnées deviennent simples. 2. Traduis chaque propriété géométrique en calcul : « appartient à » → vérifier une équation ; « perpendiculaire » → produit scalaire nul ; « distance » → norme ; « plus court chemin vers une droite » → projeté orthogonal. 3. Conclus en revenant à la géométrie.

Les pièges classiques

Quatre erreurs qui coutent des points

Le vecteur normal $(a\,;\,b)$ se lit sur la forme $ax + by + c = 0$ — pas sur $y = mx + p$ (réécris d’abord l’équation). Dans $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ , le membre de droite est $r^2$ : un cercle de rayon $5$ s’écrit $= 25$ , pas $= 5$ . Les signes du centre s’inversent à la lecture : $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$ a pour centre $(-2\,;\,3)$ . Et une équation $x^2 + y^2 + \ldots = 0$ n’est pas toujours un cercle : termine la forme canonique avant de conclure.