Exercices — Géométrie repérée : droites et cercles

1. $M(x\,;\,y)$ appartient à $d$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$, avec $\overrightarrow{AM}\,(x - 2\,;\,y + 1)$ :

$3(x - 2) + 4(y + 1) = 0 \qquad \text{soit} \qquad 3x + 4y - 2 = 0$

Vérification : $A$ donne $3 \times 2 + 4 \times (-1) - 2 = 6 - 4 - 2 = 0$ ✓, et les coefficients $(3\,;\,4)$ redonnent bien $\vec{n}$.

2. On teste chaque point dans l’équation. Pour $P$ : $3 \times (-2) + 4 \times 2 - 2 = -6 + 8 - 2 = 0$ : oui, $P \in d$. Pour $Q$ : $3 \times 1 + 4 \times 1 - 2 = 5 \neq 0$ : non, $Q \notin d$.

3. Un vecteur directeur est $\vec{u}\,(-b\,;\,a) = \vec{u}\,(-4\,;\,3)$. Contrôle : $\vec{u} \cdot \vec{n} = -4 \times 3 + 3 \times 4 = 0$ ✓, il est bien orthogonal à $\vec{n}$.

Réflexe à retenir : « passe par $A$, de vecteur normal $\vec{n}$ » se traduit toujours par $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ — et vérifie systématiquement ton équation en y remplaçant les coordonnées de $A$.

1. $2 \times 3 - 3 \times 1 + 4 = 7 \neq 0$ : $A \notin d$. Un vecteur normal de $d$ est $\vec{n}\,(2\,;\,-3)$ (les coefficients de $x$ et $y$).

2. Deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs normaux : $d_1$ passe par $A$ avec le vecteur normal $\vec{n}\,(2\,;\,-3)$ :

$2(x - 3) - 3(y - 1) = 0 \qquad \text{soit} \qquad 2x - 3y - 3 = 0$

(Vérification : $A$ donne $6 - 3 - 3 = 0$ ✓.)

3. Pour une perpendiculaire, les rôles s’échangent : un vecteur normal de $d_2$, c’est un vecteur directeur de $d$, par exemple $\vec{u}\,(3\,;\,2)$. Donc :

$3(x - 3) + 2(y - 1) = 0 \qquad \text{soit} \qquad 3x + 2y - 11 = 0$

Contrôle : les vecteurs normaux $(2\,;\,-3)$ et $(3\,;\,2)$ vérifient $2 \times 3 + (-3) \times 2 = 0$ — les deux droites sont bien perpendiculaires ✓.

Réflexe à retenir : parallèle = même vecteur normal ; perpendiculaire = normal et directeur échangés. Tout se lit dans les coefficients de l’équation, sans tracer la moindre droite.

1. $4 + 2 \times 3 - 15 = -5 \neq 0$ : $M \notin d$.

2. Le vecteur $\vec{n}\,(1\,;\,2)$ est normal à $d$ : c’est donc un vecteur directeur de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$. Les points de cette perpendiculaire s’obtiennent en partant de $M$ et en avançant de $t$ fois $\vec{n}$ : leurs coordonnées sont $(4 + t \times 1\,;\,3 + t \times 2) = (4 + t\,;\,3 + 2t)$.

3. $H$ est le point de cette perpendiculaire qui appartient à $d$ : on injecte dans l’équation de $d$ :

$(4 + t) + 2(3 + 2t) - 15 = 0 \iff 4 + t + 6 + 4t - 15 = 0 \iff 5t - 5 = 0 \iff t = 1$

D’où $H(4 + 1\,;\,3 + 2)$, soit $H(5\,;\,5)$. Vérification : $5 + 10 - 15 = 0$ ✓, $H$ est bien sur $d$.

4. La distance de $M$ à $d$ est la longueur $MH$ :

$MH = \sqrt{(5 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$

Réflexe à retenir : le projeté orthogonal se calcule en trois étapes — vecteur normal de la droite, points $M + t\,\vec{n}$ de la perpendiculaire, injection dans l’équation pour trouver $t$. Et la distance d’un point à une droite, c’est toujours $MH$.

1. On regroupe et on complète les carrés (forme canonique) :

$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 \qquad y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$

L’équation devient $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 12 = 0$, soit :

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

C’est le cercle de centre $(3\,;\,-2)$ et de rayon $\sqrt{25} = 5$.

2. Même méthode : $(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 9 = 0$, soit $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = -4$. Une somme de deux carrés ne peut pas être négative : aucun point ne vérifie cette équation — ce n’est pas un cercle.

3. Le rayon est la distance $AB$ : $r^2 = AB^2 = (4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 = 9 + 16 = 25$. Équation :

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

4. $M(x\,;\,y)$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$, avec $\overrightarrow{MA}\,(-1 - x\,;\,3 - y)$ et $\overrightarrow{MB}\,(5 - x\,;\,-1 - y)$ :

$(-1 - x)(5 - x) + (3 - y)(-1 - y) = 0 \iff x^2 - 4x - 5 + y^2 - 2y - 3 = 0 \iff x^2 + y^2 - 4x - 2y - 8 = 0$

Forme canonique : $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 8 + 4 + 1 = 13$. Le centre est $(2\,;\,1)$ — c’est bien le milieu de $[AB]$ — et le rayon vaut $\sqrt{13}$. Pour $D(5\,;\,3)$ : $(5 - 2)^2 + (3 - 1)^2 = 9 + 4 = 13$ ✓ : oui, $D$ est sur le cercle (et le triangle $ABD$ est donc rectangle en $D$).

Réflexe à retenir : pour reconnaitre un cercle, complète les carrés — la moitié du coefficient, au carré — et n’oublie pas de vérifier que le membre de droite est strictement positif avant d’annoncer un rayon.

1. $\overrightarrow{AB}\,(1 - 5\,;\,2 - 0)$, soit $\overrightarrow{AB}\,(-4\,;\,2)$, est un vecteur directeur de $(AB)$. Le vecteur $\vec{n}\,(1\,;\,2)$ lui est orthogonal ($-4 \times 1 + 2 \times 2 = 0$) : c’est un vecteur normal de $(AB)$. L’équation $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ s’écrit $1(x - 5) + 2(y - 0) = 0$, soit $x + 2y - 5 = 0$. Contrôle avec $B$ : $1 + 4 - 5 = 0$ ✓.

2. $6 + 2 \times 7 - 5 = 15 \neq 0$ : $C \notin (AB)$.

3. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ a pour vecteur directeur $\vec{n}\,(1\,;\,2)$ : ses points sont les $(6 + t\,;\,7 + 2t)$. On injecte dans l’équation de $(AB)$ :

$(6 + t) + 2(7 + 2t) - 5 = 0 \iff 5t + 15 = 0 \iff t = -3$

D’où $H(6 - 3\,;\,7 - 6)$, soit $H(3\,;\,1)$. Vérification : $3 + 2 - 5 = 0$ ✓.

4. La distance de $C$ à $(AB)$ est :

$CH = \sqrt{(3 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71$

5. Le rayon est $CH$, donc $r^2 = 45$ :

$(x - 6)^2 + (y - 7)^2 = 45$

$H$ est le point de $(AB)$ le plus proche de $C$ : tous les autres points de la droite sont à une distance de $C$ strictement supérieure au rayon. Le cercle et la droite n’ont donc que le point $H$ en commun : le cercle est tangent à la droite $(AB)$ en $H$.

Réflexe à retenir : dans une configuration repérée, chaque question réutilise la précédente — équation de droite → appartenance → projeté → distance → cercle. Vérifie chaque résultat dans l’équation avant de continuer : une coordonnée fausse en question 3 coule tout le reste.