Résumé — Suites géométriques et variation exponentielle

Intérêts composés, propagation d’une épidémie, décroissance radioactive : quand une grandeur est multipliée par le même nombre à chaque étape, c’est la variation exponentielle. Version discrète : les suites géométriques. Version continue : les fonctions exponentielles.

Les suites géométriques

Définition par récurrence, puis formule explicite

$v_{n+1} = q \times v_n \qquad \text{et} \qquad v_n = v_0 \times q^n$

q est la raison (q > 0, termes strictement positifs) : ce par quoi on multiplie à chaque étape. La formule explicite donne directement le terme de rang n.

Sens de variation : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ , constante si $q = 1$ .
Lien avec les pourcentages : subir $n$ fois l’évolution de taux $t$ , c’est une suite géométrique de raison $q = 1 + t$ . Exemple : $+4\ \%$ par an → $q = 1{,}04$ .

Reconnaître une suite géométrique

Calcule les quotients entre termes consécutifs : s’ils sont constants, la suite est géométrique de raison ce quotient. Exemple : 100, 110, 121, 133,1 → quotient constant 1,10 → géométrique (intérêts composés à 10 %).

Les fonctions exponentielles

La fonction $x \mapsto a^x$ ( $a > 0$ , $x \geqslant 0$ ) prolonge la suite géométrique $v_n = a^n$ à des valeurs non entières : elle relie les points du nuage en une courbe continue.

Propriétés algébriques (admises, comme pour les puissances entières) : $a^{x+y} = a^x \times a^y$ , $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ .
Variations : croissante si $a > 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ .
Cas particulier : $a^{1/n}$ est la racine $n$ -ième de $a$ — le nombre qui, multiplié $n$ fois par lui-même, redonne $a$ .

Le taux d’évolution moyen

Un taux global, réparti en n évolutions égales

$CM_{\text{moyen}} = \left(CM_{\text{global}}\right)^{1/n} \qquad t_{\text{moyen}} = \left(1 + t_{\text{global}}\right)^{1/n} - 1$

Exemple : +21 % en 2 ans → CM moyen = 1,21^(1/2) = 1,1 → +10 % par an (et non +10,5 % !).

Résoudre un problème de seuil

« Au bout de combien d’étapes dépasse-t-on la valeur $S$ ? » : on cherche le premier $n$ tel que $v_0 \times q^n \geqslant S$ , par balayage : table de valeurs de la calculatrice, tableur, ou lecture graphique. Aucune formule de résolution n’est attendue dans ce module.

Les pièges classiques

Ajouter n’est pas multiplier

• Le taux moyen n’est pas la moyenne des taux : les coefficients se multiplient.
• « Exponentiel » ne veut pas dire « rapide » : $q = 0{,}5$ donne une décroissance exponentielle (demi-vie).
• À terme, une croissance exponentielle ( $\times q$ , $q > 1$ ) finit toujours par dépasser une croissance linéaire ( $+ r$ ), même modeste : compare les ordres de grandeur ( $2^{10} = 1\ 024 \approx 10^3$ ).