Exercices — Suites géométriques et variation exponentielle

1. $v_1 = 2 \times 3 = 6$, puis $v_2 = 2 \times 6 = 12$.

2. Formule explicite : $v_n = v_0 \times q^n = 3 \times 2^n$. Donc $v_{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1\ 024 = 3\ 072$.

3. La raison $q = 2$ est supérieure à 1 (et les termes sont positifs) : la suite est croissante — chaque terme est le double du précédent.

Réflexe à retenir : $2^{10} = 1\ 024 \approx 10^3$. Dix doublements ≈ un facteur 1 000 : de quoi estimer très vite les ordres de grandeur d’une croissance exponentielle.

1. Chaque année, le capital est multiplié par $1 + 0{,}04 = 1{,}04$ :

$v_n = 800 \times 1{,}04^n$

2. $v_5 = 800 \times 1{,}04^5 \approx 800 \times 1{,}21665 \approx 973{,}32$ €.

3. On balaye avec la table de la calculatrice : $v_5 \approx 973{,}32$ € ; $v_6 = 800 \times 1{,}04^6 \approx 1\ 012{,}26$ €.

Le capital dépasse $1\ 000$ € au bout de 6 ans.

4. À intérêts simples, il fallait $7$ ans (et $v_5$ valait $960$ €). Les intérêts composés vont plus vite : les intérêts s’ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts — c’est l’avantage du modèle exponentiel sur le modèle linéaire, et l’écart se creuse d’année en année.

Réflexe à retenir : « augmente de $t\ \%$ chaque période » = suite géométrique de raison $1 + t$. Le mot-clé qui distingue des intérêts simples : les intérêts portent sur le capital actualisé, pas sur le capital initial.

1. « Divisée par 2 » = multipliée par $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ à chaque période : suite géométrique de premier terme $200$ et de raison $0{,}5$, d’où $v_n = 200 \times 0{,}5^n$.

2. $24$ h $= 4$ périodes de $6$ h :

$v_4 = 200 \times 0{,}5^4 = 200 \times \frac{1}{16} = 12{,}5 \ \text{mg}$

3. C’est une décroissance exponentielle : la raison est comprise entre $0$ et $1$. La quantité fond vite au début, puis de plus en plus lentement — même principe que la demi-vie d’un noyau radioactif (datation au carbone 14).

Réflexe à retenir : chaque période divise par 2, donc $n$ périodes divisent par $2^n$ — jamais par $2n$ !

1. Le coefficient global est $1{,}21$. Le coefficient moyen annuel est :

$CM_{\text{moyen}} = 1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$

soit un taux moyen de $+10\ \%$ par an. Vérification : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ ✓.

2. $CM_{\text{global}} = 1{,}728$, réparti sur $3$ ans :

$CM_{\text{moyen}} = 1{,}728^{1/3} = 1{,}2$

(car $1{,}2^3 = 1{,}728$), soit un taux moyen de $+20\ \%$ par an.

3. Deux hausses de $10{,}5\ \%$ donneraient $1{,}105^2 \approx 1{,}221$, soit $+22{,}1\ \%$ et non $+21\ \%$. Le taux moyen n’est pas la moyenne des taux : les évolutions se multiplient, elles ne s’additionnent pas — d’où la racine $n$-ième.

Réflexe à retenir : taux moyen = $\left(CM_{\text{global}}\right)^{1/n} - 1$, avec la touche puissance de la calculatrice ($1{,}728\,\hat{}\,(1/3)$).

1. Le nombre est multiplié par $3$ chaque jour : $v_n = 5 \times 3^n$. Au bout de $4$ jours : $v_4 = 5 \times 81 = 405$ élèves.

2. On balaye : $v_4 = 405$ ; $v_5 = 5 \times 3^5 = 5 \times 243 = 1\ 215$.

La rumeur dépasse $1\ 000$ élèves au bout de 5 jours.

3. Modèle linéaire : $u_5 = 5 + 100 \times 5 = 505$ élèves — contre $1\ 215$ pour le modèle exponentiel. Le linéaire semblait pourtant plus rapide au début ($u_1 = 105$ contre $v_1 = 15$) ! Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, même si elle part de plus bas.

4. $v_6 = 3\ 645 > 1\ 300$ : le modèle prévoit plus d’élèves informés que d’élèves dans le lycée ! Comme tout modèle, il n’est valable que sur une plage limitée : la croissance ralentit forcément quand presque tout le monde est déjà informé (c’est aussi ce qui se passe pour une épidémie).

Réflexe à retenir : compare toujours le résultat d’un modèle à la réalité qu’il décrit — un modèle exponentiel « pur » finit toujours par exploser, donc par se tromper.