Résumé — Pourcentages et taux d’évolution

Ces automatismes servent toute l’année (et dans les autres matières !) : ils sont testés tels quels dans la partie automatismes de l’épreuve anticipée de maths. Le réflexe central : toute évolution en pourcentage est une multiplication.

Le taux d’évolution

Mesurer une évolution

$t = \frac{V_{\text{finale}} - V_{\text{initiale}}}{V_{\text{initiale}}}$

t est positif pour une hausse, négatif pour une baisse. On l’exprime souvent en pourcentage : t = 0,15 signifie +15 %.

De 50 € à 56 € : $t = \dfrac{56 - 50}{50} = 0{,}12$ , soit +12 %.
De 40 € à 30 € : $t = \dfrac{30 - 40}{40} = -0{,}25$ , soit −25 %.

Le coefficient multiplicateur

Toute évolution est une multiplication

$CM = 1 + t \qquad V_{\text{finale}} = CM \times V_{\text{initiale}}$

Hausse de 15 % : CM = 1,15. Baisse de 15 % : CM = 0,85. Pour retrouver la valeur initiale : V_initiale = V_finale ÷ CM.

Les trois questions types

• Appliquer une évolution : multiplier par $CM$ .
• Retrouver la valeur de départ : diviser par $CM$ .
• Trouver le taux : calculer $CM = \dfrac{V_{\text{finale}}}{V_{\text{initiale}}}$ puis $t = CM - 1$ .

Évolutions successives

Quand plusieurs évolutions s’enchaînent, les coefficients multiplicateurs se multiplient (jamais les taux qui s’additionnent !) :

$CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \dots$

+10 % puis +20 % : $1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}32$ , soit +32 % (et non +30 %).
+20 % puis −20 % : $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ , soit −4 % (et non 0 %).

Évolution réciproque

L’évolution réciproque ramène à la valeur de départ : son coefficient est l’inverse :

$CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{CM}$

Réciproque de +25 % ( $\times 1{,}25$ ) : $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80$ , soit −20 %.
Réciproque de −50 % ( $\times 0{,}5$ ) : $\dfrac{1}{0{,}5} = 2$ , soit +100 % : après une baisse de moitié, il faut doubler pour revenir au départ.

Les pièges classiques

Les pourcentages ne s’additionnent pas

Une hausse suivie d’une baisse de même taux ne ramène jamais au point de départ. Et attention au vocabulaire : passer de 10 % à 12 %, c’est une hausse de 2 points de pourcentage… mais de +20 % en évolution relative. Enfin, +100 % = valeur doublée, +200 % = valeur triplée.