Exercices corrigés — Pourcentages et taux d’évolution

1. Le taux d’évolution compare la variation de la facture à sa valeur de départ, celle de $2022$ :

$t = \dfrac{1\,288\ \text{euros} - 1\,120\ \text{euros}}{1\,120\ \text{euros}} = \dfrac{168\ \text{euros}}{1\,120\ \text{euros}} = 0{,}15$

La facture a augmenté de $15\ \%$. Le coefficient multiplicateur correspondant est $\text{CM} = 1 + 0{,}15 = 1{,}15$ ; on le retrouve en divisant la valeur finale par la valeur initiale : $\dfrac{1\,288\ \text{euros}}{1\,120\ \text{euros}} = 1{,}15$.

2. La hausse de $10\ \%$ s’applique à la facture la plus récente, celle de $2023$. Augmenter de $10\ \%$, c’est multiplier par $\text{CM} = 1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}10$ :

$1\,288\ \text{euros} \times 1{,}10 = 1\,416{,}80\ \text{euros}$

Pour la même consommation, la facture de $2024$ s’élève à $1\,416{,}80$ €.

3. La facture du voisin a été multipliée par $1{,}15$ entre $2022$ et $2023$ : sa facture de $2022$, multipliée par $1{,}15$, donne $1\,380$ €. Pour remonter à la facture de $2022$, on divise donc par le coefficient multiplicateur :

$\dfrac{1\,380\ \text{euros}}{1{,}15} = 1\,200\ \text{euros}$

Vérification : $1\,200\ \text{euros} \times 1{,}15 = 1\,380\ \text{euros}$. Retirer $15\ \%$ de $1\,380$ € aurait donné $1\,173$ €, une réponse fausse : les $15\ \%$ de la hausse portaient sur la facture de $2022$, pas sur celle de $2023$.

4. On cherche l’évolution réciproque de la hausse de $15\ \%$ : son coefficient est l’inverse de $1{,}15$.

$\text{CM}' = \dfrac{1}{1{,}15} \approx 0{,}8696$

Le taux correspondant est $t' = \text{CM}' - 1 \approx 0{,}8696 - 1 = -0{,}1304$, soit une baisse d’environ $13{,}0\ \%$. On peut le vérifier avec les factures : $\dfrac{1\,120\ \text{euros}}{1\,288\ \text{euros}} \approx 0{,}8696$.

Ce n’est pas une baisse de $15\ \%$ : la baisse se calcule par rapport à la facture de $2023$, plus élevée que celle de $2022$. La même différence de $168$ € représente donc une part plus petite de la valeur de départ, $\dfrac{168\ \text{euros}}{1\,288\ \text{euros}} \approx 0{,}130$.

Réflexe à retenir : appliquer une évolution, c’est multiplier par $\text{CM}$ ; revenir en arrière, c’est diviser par $\text{CM}$, ce qui revient à multiplier par $\dfrac{1}{\text{CM}}$.

1. Chaque année, le prix est multiplié par le coefficient multiplicateur de l’année. En $2021$, la hausse de $1{,}6\ \%$ correspond à $\text{CM} = 1 + \dfrac{1{,}6}{100} = 1{,}016$ :

$150\ \text{euros} \times 1{,}016 = 152{,}40\ \text{euros}$

En $2022$, la hausse de $5{,}2\ \%$ s’applique au prix de $2021$, avec $\text{CM} = 1{,}052$ :

$152{,}40\ \text{euros} \times 1{,}052 = 160{,}3248\ \text{euros} \approx 160{,}32\ \text{euros}$

Le panier coûte $152{,}40$ € en $2021$ et environ $160{,}32$ € en $2022$.

2. Les quatre évolutions s’enchaînent : on multiplie leurs coefficients.

$\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}016 \times 1{,}052 \times 1{,}049 \times 1{,}020 \approx 1{,}1436$

Le taux global est $t = \text{CM}_{\text{global}} - 1 \approx 1{,}1436 - 1 = 0{,}1436$, soit une hausse d’environ $14{,}4\ \%$ entre $2020$ et $2024$. Le prix du panier en $2024$ s’en déduit :

$150\ \text{euros} \times 1{,}1436 \approx 171{,}54\ \text{euros}$

3. Additionner les taux revient à faire comme si chaque hausse s’appliquait au prix de $2020$. Or chaque hausse porte sur un prix déjà augmenté les années précédentes : la hausse de $5{,}2\ \%$ de $2022$, par exemple, s’applique au prix de $2021$, pas à celui de $2020$. Comme toutes ces évolutions sont des hausses, elles se cumulent un peu plus que leur somme : $14{,}4\ \%$ au lieu de $13{,}7\ \%$. C’est le produit des coefficients qui donne l’évolution globale.

4. Le taux d’évolution moyen $t_{\text{m}}$ est le taux annuel qui, appliqué quatre fois de suite, donne le même coefficient global :

$(1 + t_{\text{m}})^4 = \text{CM}_{\text{global}} \approx 1{,}1436 \quad \text{donc} \quad 1 + t_{\text{m}} \approx 1{,}1436^{1/4} \approx 1{,}0341$

À la calculatrice, on tape $1{,}1436$, puis la touche puissance et $(1/4)$, ou $0{,}25$. Le taux moyen vaut $t_{\text{m}} \approx 1{,}0341 - 1 = 0{,}0341$, soit environ $3{,}4\ \%$ par an. Contrôle : $1{,}0341^4 \approx 1{,}1435$, qui redonne $1{,}1436$ à l’arrondi près.

Interprétation : si les prix avaient augmenté chaque année du même pourcentage, environ $3{,}4\ \%$, ils auraient atteint en $2024$ le même niveau qu’avec les quatre hausses du document. Le panier serait passé de $150$ € à environ $171{,}54$ € par un chemin plus régulier, comme le montre la figure.

La moyenne des quatre taux, $\dfrac{1{,}6\ \% + 5{,}2\ \% + 4{,}9\ \% + 2{,}0\ \%}{4} = 3{,}425\ \%$, donne ici presque le même nombre, parce que ces taux sont petits. Ce n’est pourtant pas la bonne méthode : quatre hausses de $3{,}425\ \%$ donneraient $1{,}03425^4 \approx 1{,}1442$, et non $1{,}1436$. Avec des taux plus grands, l’écart devient net, comme pour la piscine de l’exercice 2.

5. En $2024$, le panier coûte environ $171{,}54$ €. Avec $150$ €, on en achète la part :

$\dfrac{150\ \text{euros}}{171{,}54\ \text{euros}} \approx 0{,}8744$

soit environ $87{,}4\ \%$ du panier. Ce nombre est le coefficient de l’évolution réciproque de la hausse des prix : $\dfrac{1}{1{,}1436} \approx 0{,}8744$. La quantité de panier qu’une même somme permet d’acheter a donc baissé de $1 - 0{,}8744 = 0{,}1256$, soit environ $12{,}6\ \%$, et non de $14{,}4\ \%$ : le taux réciproque n’est pas l’opposé du taux de départ.

Réflexe à retenir : dans un problème d’évolutions, écris d’abord le coefficient multiplicateur de chaque étape. On multiplie les coefficients pour enchaîner, on prend l’inverse pour revenir en arrière, et la puissance $\dfrac{1}{n}$ du coefficient global donne le coefficient moyen.