Exercices — Pourcentages et taux d’évolution

1. On applique la formule, en divisant par la valeur initiale :

$t = \frac{29 - 25}{25} = \frac{4}{25} = 0{,}16$

Le prix a augmenté de $16\ \%$.

2. Non ! Cette fois, la valeur initiale est $29$ € :

$t = \frac{25 - 29}{29} = \frac{-4}{29} \approx -0{,}138$

soit une baisse d’environ $13{,}8\ \%$. La hausse et la baisse portent sur la même différence de 4 €, mais pas sur la même valeur de départ : les deux taux sont différents.

Réflexe à retenir : un taux d’évolution se calcule toujours par rapport à la valeur de départ de l’évolution étudiée.

1. Le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + 0{,}15 = 1{,}15$ :

$68 \times 1{,}15 = 78{,}20 \ \text{euros}$

2. Pour remonter à la valeur initiale, on divise par le coefficient multiplicateur ($CM = 1{,}08$) :

$\frac{91{,}80}{1{,}08} = 85 \ \text{euros}$

Vérification : $85 \times 1{,}08 = 91{,}80$ ✓.

Réflexe à retenir : appliquer une évolution = multiplier par $CM$ ; retrouver la valeur de départ = diviser par $CM$. Ne calcule jamais « $91{,}80$ moins $8\ \%$ » : retirer $8\ \%$ de la valeur finale n’a rien à voir.

1. Les coefficients multiplicateurs se multiplient :

$CM_{\text{global}} = 1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}32$

soit une hausse globale de $32\ \%$ — et non $30\ \%$ : la seconde hausse porte sur un loyer déjà augmenté.

2. $CM_{\text{global}} = 0{,}75 \times 1{,}25 = 0{,}9375$ : il reste $93{,}75\ \%$ de la valeur, soit une baisse globale de $6{,}25\ \%$. L’action n’a pas retrouvé sa valeur : la hausse de $25\ \%$ s’applique à une valeur diminuée, elle ne compense donc pas la baisse.

Réflexe à retenir : on n’additionne jamais des taux d’évolution successifs — on multiplie les coefficients.

1. $CM = 1 - 0{,}20 = 0{,}80$.

2. L’évolution réciproque a pour coefficient l’inverse :

$CM_{\text{réciproque}} = \frac{1}{0{,}80} = 1{,}25$

Il faut donc une hausse de $25\ \%$ (et non $20\ \%$). Vérification sur un prix de $100$ € : $100 \to 80 \to 80 \times 1{,}25 = 100$ ✓.

Réflexe à retenir : pour « annuler » une évolution, on inverse son coefficient multiplicateur — le taux réciproque n’est jamais l’opposé du taux de départ (sauf 0 %).

1. $t = \frac{13\ 750 - 12\ 500}{12\ 500} = \frac{1\ 250}{12\ 500} = 0{,}10$

La population a augmenté de $10\ \%$.

2. $13\ 750 \times 1{,}10 = 15\ 125 \ \text{habitants}$

3. On cherche l’évolution réciproque de la hausse de $10\ \%$ :

$CM = \frac{1}{1{,}10} \approx 0{,}9091$

soit une baisse d’environ $9{,}1\ \%$. On peut le vérifier directement : $\dfrac{12\ 500}{13\ 750} \approx 0{,}9091$, et $13\ 750 \times 0{,}9091 \approx 12\ 500$ ✓.

Réflexe à retenir : dans un problème en plusieurs étapes, écris le coefficient multiplicateur de chaque évolution avant de calculer — c’est lui qui porte toute l’information.