Résumé — Les fonctions polynômes de degré 2

Trajectoire d’un ballon, arche d’un pont, chiffre d’affaires selon le prix : beaucoup de phénomènes non linéaires se modélisent par une fonction polynôme de degré 2. Sa courbe, la parabole, offre ce que le linéaire ne peut pas : un maximum ou un minimum.

La parabole

Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$). Sa courbe est une parabole :

Trois formes à savoir reconnaître

• $f(x) = ax^2$ : sommet à l’origine, axe de symétrie $x = 0$.
• $f(x) = ax^2 + c$ : même parabole décalée verticalement, sommet $(0\,;\,c)$.
• $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : forme factorisée — les racines $x_1$ et $x_2$ se lisent directement.

Racines et signe (forme factorisée)

Par symétrie, l’axe de la parabole passe au milieu des racines :

$x_{\text{sommet}} = \frac{x_1 + x_2}{2}$

et le sommet a pour ordonnée $f(x_{\text{sommet}})$.

Trouver l’axe de symétrie sans formule

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ sans forme factorisée : résous l’équation $f(x) = c$. Elle donne deux solutions symétriques ($x = 0$ et une autre) : l’axe passe au milieu. Aucune formule n’est exigée — c’est la symétrie qui fait tout le travail.

Le tableau de variations

Pour $a > 0$ : $f$ décroît sur $\left]-\infty\,;\,x_{\text{sommet}}\right]$ puis croît — minimum au sommet. Pour $a < 0$ : c’est l’inverse — maximum au sommet.

Les pièges classiques