Exercices — Les fonctions polynômes de degré 2

• Courbe A → $g$ : le coefficient de $x^2$ est $-1 < 0$ (tournée vers le bas) et $g(0) = 3$ donne le sommet $(0\,;\,3)$ — forme $ax^2 + c$.
• Courbe B → $h$ : la forme factorisée montre les racines $1$ et $5$, là où la courbe coupe l’axe des abscisses ; en développant, le coefficient de $x^2$ vaut $1 > 0$.
• Courbe C → $f$ : forme $ax^2$ avec $a = 2 > 0$ : sommet $(0\,;\,0)$, tournée vers le haut.

Réflexe à retenir : $ax^2$ → sommet à l’origine ; $ax^2 + c$ → sommet sur l’axe des ordonnées ; $a(x - x_1)(x - x_2)$ → racines lisibles directement.

1. Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul : $x = 1$ ou $x = 4$.

2. Ici $a = 2 > 0$ : $f(x)$ est positive à l’extérieur des racines, négative entre elles :

3. Par symétrie, l’axe passe au milieu des racines : $x = \dfrac{1 + 4}{2} = 2{,}5$. L’ordonnée du sommet vaut :

$f(2{,}5) = 2 \times (2{,}5 - 1) \times (2{,}5 - 4) = 2 \times 1{,}5 \times (-1{,}5) = -4{,}5$

Sommet : $S(2{,}5\,;\,-4{,}5)$.

4. $a > 0$ : $f$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,2{,}5\right]$ puis croissante sur $\left[2{,}5\,;\,+\infty\right[$, avec un minimum de $-4{,}5$ atteint en $x = 2{,}5$.

Réflexe à retenir : racines → milieu → sommet : la forme factorisée donne toute l’étude, sans aucune formule à mémoriser.

1. $x + 2 = 0$ donne $x = -2$ ; $x - 6 = 0$ donne $x = 6$. Racines : $-2$ et $6$.

2. Ici $a = -3 < 0$ : $g(x)$ est négative à l’extérieur des racines et positive entre $-2$ et $6$ (signe opposé à $a$ entre les racines).

3. L’axe de symétrie passe en $x = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2$, et :

$g(2) = -3 \times (2 + 2) \times (2 - 6) = -3 \times 4 \times (-4) = 48$

Comme $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas : le sommet $(2\,;\,48)$ est un maximum, qui vaut $48$.

Réflexe à retenir : dans $(x + 2)$, la racine est $-2$ (le nombre qui annule le facteur) — le signe se retourne toujours.

1. $x^2 - 6x + 5 = 5$ équivaut à $x^2 - 6x = 0$, soit $x(x - 6) = 0$ : deux solutions, $x = 0$ et $x = 6$.

2. Ces deux points de la parabole ont la même ordonnée ($5$) : ils sont symétriques par rapport à l’axe, qui passe donc au milieu, en $x = \dfrac{0 + 6}{2} = 3$. Le sommet a pour ordonnée :

$f(3) = 9 - 18 + 5 = -4 \qquad \Rightarrow \qquad S(3\,;\,-4)$

3. En développant $(x - 1)(x - 5) = x^2 - 6x + 5$ ✓. Les racines $1$ et $5$ ont pour milieu $\dfrac{1 + 5}{2} = 3$ : on retrouve bien le même axe de symétrie.

Réflexe à retenir : résoudre $f(x) = c$ donne toujours deux points symétriques de la parabole (dont $x = 0$) — de quoi trouver l’axe sans aucune formule.

1. $-2x(x - 60) = -2x^2 + 120x = x(120 - 2x)$ ✓. Produit nul : racines $x = 0$ et $x = 60$.

2. À $0$ €, on ne gagne rien (produit donné !) ; à $60$ €, plus personne n’achète : dans les deux cas, le chiffre d’affaires est nul.

3. Ici $a = -2 < 0$ : parabole tournée vers le bas, le sommet est un maximum, atteint au milieu des racines :

$x = \frac{0 + 60}{2} = 30 \qquad f(30) = 30 \times (120 - 60) = 30 \times 60 = 1\ 800$

Le chiffre d’affaires est maximal pour un prix de 30 €, et vaut 1 800 €.

4. $f$ est croissante sur $[0\,;\,30]$ puis décroissante sur $[30\,;\,60]$, avec un maximum de $1\ 800$ atteint en $x = 30$.

Réflexe à retenir : dans une modélisation, chaque objet mathématique a un sens concret — racines = chiffre d’affaires nul, sommet = prix optimal. C’est exactement ce lien qui est évalué.