Exercices corrigés — Mouvement des satellites et des planètes

1. La force gravitationnelle a pour valeur :

$F = \dfrac{G\,M_T\,m}{r^{2}}$

avec $r = R_T + h$ : les distances se mesurent toujours entre les centres, pas depuis le sol.

2. Deuxième loi de Newton, avec la gravitation comme seule force :

$F = m\,a \quad \Rightarrow \quad \dfrac{G\,M_T\,m}{r^{2}} = m\,\dfrac{v^{2}}{r}$

La masse $m$ de l’ISS se simplifie, puis on multiplie les deux membres par $r$ :

$v^{2} = \dfrac{G\,M_T}{r} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

La vitesse orbitale ne dépend pas de la masse du satellite : un boulon perdu sur la même orbite va exactement à la même vitesse que l’ISS !

3. Rayon de l’orbite : $r = 6{,}37 \times 10^{6} + 4{,}00 \times 10^{5} = 6{,}77 \times 10^{6}~\text{m}$.

$v = \sqrt{\dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{6{,}77 \times 10^{6}}} = 7{,}7 \times 10^{3}~\text{m·s}^{-1}$

L’ISS file à environ 7,7 km·s⁻¹, soit près de 28 000 km·h⁻¹.

1. En une période, l’ISS parcourt la circonférence de son orbite ($2\pi r$) à la vitesse $v$ :

$T = \dfrac{2\pi r}{v}$

2. Application numérique :

$T = \dfrac{2\pi \times 6{,}77 \times 10^{6}}{7{,}67 \times 10^{3}} = 5{,}5 \times 10^{3}~\text{s} \approx 92~\text{min}$

L’ISS boucle un tour de la Terre en environ 1 h 32 min.

3. Nombre de tours par jour : $\dfrac{24 \times 60}{92} \approx 16$ tours. Les astronautes voient donc environ 16 levers et 16 couchers de Soleil par jour — un toutes les 45 minutes !

1. Pour tout corps en orbite circulaire de rayon $r$ autour du Soleil :

$\dfrac{T^{2}}{r^{3}} = \dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_S}$

Ce rapport est le même pour toutes les planètes du système solaire : c’est ce qui rend cette loi si puissante.

2. On isole $M_S$ :

$M_S = \dfrac{4\pi^{2}\,r^{3}}{G\,T^{2}} = \dfrac{4\pi^{2} \times (1{,}50 \times 10^{11})^{3}}{6{,}67 \times 10^{-11} \times (3{,}16 \times 10^{7})^{2}}$

$M_S = \dfrac{4\pi^{2} \times 3{,}375 \times 10^{33}}{6{,}67 \times 10^{-11} \times 9{,}99 \times 10^{14}} = 2{,}0 \times 10^{30}~\text{kg}$

La masse du Soleil vaut environ 2,0 × 10³⁰ kg, soit 333 000 fois la masse de la Terre. Retiens la méthode : mesurer $T$ et $r$ d’un satellite permet de « peser » l’astre central — c’est ainsi qu’on détermine la masse des planètes, des étoiles et même du trou noir central de notre galaxie.

1. On part de $\dfrac{T^{2}}{r^{3}} = \dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_T}$ et on isole $r^{3}$ :

$r^{3} = \dfrac{G\,M_T\,T^{2}}{4\pi^{2}} \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T\,T^{2}}{4\pi^{2}}}$

2. Calculons d’abord $r^{3}$ :

$r^{3} = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} \times (86\,164)^{2}}{4\pi^{2}} = 7{,}49 \times 10^{22}~\text{m}^{3}$

Puis la racine cubique (touche $\sqrt[3]{~}$ ou puissance $1/3$ de ta calculatrice) :

$r = (7{,}49 \times 10^{22})^{1/3} = 4{,}22 \times 10^{7}~\text{m}$

L’altitude s’en déduit :

$h = r - R_T = 4{,}22 \times 10^{7} - 6{,}37 \times 10^{6} = 3{,}58 \times 10^{7}~\text{m} \approx 36\,000~\text{km}$

C’est la fameuse altitude des satellites de télécommunication et de météo (comme Météosat).

3. Dans la 3e loi de Kepler, la masse du satellite n’apparaît pas : la période impose le rayon, quel que soit le satellite. Comme tous les géostationnaires doivent avoir la même période $T$ (celle de la rotation terrestre), ils orbitent tous à la même altitude, alignés sur un unique anneau au-dessus de l’équateur — d’où les négociations internationales pour se partager les places !