Exercices corrigés — La poussée d'Archimède

1. Le système étudié est le solide. Il est soumis à trois forces, toutes verticales.

• Son poids $\vec{P}$, dirigé vers le bas. Avec l’axe choisi, le vecteur champ de pesanteur s’écrit $\vec{g} = -g\,\vec{u}_z$, donc $\vec{P} = m\,\vec{g} = -P\,\vec{u}_z$.
• La force exercée par le fil $\vec{F}$, dirigée vers le haut, dont le dynamomètre affiche la valeur : $\vec{F} = F\,\vec{u}_z$.
• La poussée d’Archimède exercée par le liquide. Son expression vectorielle est $\vec{\Pi} = -\rho\,V\,\vec{g}$, avec $V$ le volume immergé, ici le volume entier du solide :

$\vec{\Pi} = -\rho\,V\,\vec{g} = -\rho\,V \times \left(-g\,\vec{u}_z\right) = \rho\,V\,g\,\vec{u}_z = \Pi\,\vec{u}_z$

Elle est verticale, dirigée vers le haut, et s’applique au centre du volume immergé, ici le centre du volume du solide.

2. Le solide est immobile : son vecteur vitesse ne change pas, donc son vecteur accélération est nul. La deuxième loi de Newton donne alors une somme des forces nulle :

$\vec{P} + \vec{F} + \vec{\Pi} = \vec{0}$

En projetant sur l’axe vertical : $-P + F + \Pi = 0$, soit

$F = P - \Pi$

Le dynamomètre indique donc moins que le poids : c’est ce qu’on appelle le poids apparent. Dans l’air, la poussée étant négligée, il reste $F_{\text{air}} = P$. En remplaçant $P$ par $F_{\text{air}}$, on obtient $\Pi = F_{\text{air}} - F$ : une poussée se mesure par la différence de deux lectures.

3. Dans l’eau :

$\Pi_{\text{eau}} = F_{\text{air}} - F_{\text{eau}} = 4{,}90\ \text{N} - 2{,}94\ \text{N} = 1{,}96\ \text{N}$

Comme $\Pi_{\text{eau}} = \rho_{\text{eau}} \times V \times g$, on isole le volume :

$V = \dfrac{\Pi_{\text{eau}}}{\rho_{\text{eau}} \times g} = \dfrac{1{,}96\ \text{N}}{1{,}00 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 9{,}81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}} = 2{,}00 \times 10^{-4}\ \text{m}^{3}$

Vérification des unités : des newtons divisés par des $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$ et par des $\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ donnent des $\text{m}^{3}$. Comme $1\ \text{m}^{3} = 10^{6}\ \text{cm}^{3}$, le solide a un volume de $200\ \text{cm}^{3}$.

Dans l’air, la poussée vaut :

$\Pi_{\text{air}} = \rho_{\text{air}} \times V \times g = 1{,}2\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 2{,}00 \times 10^{-4}\ \text{m}^{3} \times 9{,}81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} = 2{,}4 \times 10^{-3}\ \text{N}$

C’est moins que le centième de newton affiché par le dynamomètre : la négliger ne change aucune lecture.

4. Dans le liquide du flacon :

$\Pi_{\text{liq}} = F_{\text{air}} - F_{\text{liq}} = 4{,}90\ \text{N} - 2{,}43\ \text{N} = 2{,}47\ \text{N}$

$\rho = \dfrac{\Pi_{\text{liq}}}{V \times g} = \dfrac{2{,}47\ \text{N}}{2{,}00 \times 10^{-4}\ \text{m}^{3} \times 9{,}81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}} = 1{,}26 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$

Cette valeur est celle du glycérol. Le liquide le plus proche du tableau, l’eau saturée en sel, aurait donné une poussée de $1\,200\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 2{,}00 \times 10^{-4}\ \text{m}^{3} \times 9{,}81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} = 2{,}35\ \text{N}$, donc une lecture de $4{,}90\ \text{N} - 2{,}35\ \text{N} = 2{,}55\ \text{N}$ : l’écart avec la lecture faite, $2{,}43\ \text{N}$, est bien plus grand que le centième de newton affiché. Il n’y a donc pas d’hésitation possible.

5. Le même solide, de volume $V$, est plongé dans les deux liquides : $\Pi_{\text{liq}} = \rho \times V \times g$ et $\Pi_{\text{eau}} = \rho_{\text{eau}} \times V \times g$. En faisant le quotient, $V$ et $g$ se simplifient :

$\dfrac{\Pi_{\text{liq}}}{\Pi_{\text{eau}}} = \dfrac{\rho}{\rho_{\text{eau}}} \quad \text{donc} \quad \rho = \rho_{\text{eau}} \times \dfrac{F_{\text{air}} - F_{\text{liq}}}{F_{\text{air}} - F_{\text{eau}}}$

$\rho = 1{,}00 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times \dfrac{2{,}47\ \text{N}}{1{,}96\ \text{N}} = 1{,}26 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$

L’avantage : il n’est besoin ni du volume du solide, ni de l’intensité de la pesanteur. Trois lectures du même dynamomètre suffisent, et le solide peut avoir une forme quelconque, dont le volume serait difficile à mesurer directement.

Réflexe à retenir : la différence de deux lectures du dynamomètre donne une poussée, et le quotient de deux poussées, mesurées avec le même solide, donne un rapport de masses volumiques.

1. Le système étudié est la bille, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle est soumise à trois forces :

• son poids $\vec{P}$, vertical et dirigé vers le bas ;
• la poussée d’Archimède $\vec{\Pi}$ exercée par l’huile, verticale et dirigée vers le haut, puisqu’elle est opposée au vecteur $\vec{g}$ ;
• la force de frottement $\vec{f}$ exercée par l’huile, opposée au vecteur vitesse : la bille descendant à la verticale, cette force est verticale et dirigée vers le haut.

À l’instant du lâcher, la vitesse de la bille est nulle, donc la force de frottement aussi : seuls le poids et la poussée s’exercent sur la bille à cet instant.

2. Le rayon vaut la moitié du diamètre, converti en mètres : $r = 2{,}00\ \text{mm} = 2{,}00 \times 10^{-3}\ \text{m}$.

$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times \left(2{,}00 \times 10^{-3}\ \text{m}\right)^{3} = 3{,}35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$

On garde pour la suite la valeur non arrondie, $3{,}351 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$. La masse de la bille se déduit de la masse volumique de l’acier :

$m = \rho_{\text{acier}} \times V = 7\,850\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 3{,}351 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3} = 2{,}63 \times 10^{-4}\ \text{kg}$

La bille a donc une masse de $0{,}263\ \text{g}$. Son poids et la poussée valent :

$P = m \times g = 2{,}631 \times 10^{-4}\ \text{kg} \times 9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} = 2{,}58 \times 10^{-3}\ \text{N}$

$\Pi = \rho_{\text{huile}} \times V \times g = 910\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 3{,}351 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3} \times 9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} = 2{,}99 \times 10^{-4}\ \text{N}$

$\dfrac{\Pi}{P} = \dfrac{2{,}99 \times 10^{-4}\ \text{N}}{2{,}58 \times 10^{-3}\ \text{N}} = 0{,}116 = 11{,}6\ \%$

La poussée représente donc un peu plus du dixième du poids. Ce quotient est d’ailleurs celui des masses volumiques, $910\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} / 7\,850\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} = 0{,}116$, puisque $V$ et $g$ se simplifient.

3. L’axe étant orienté vers le bas, le vecteur champ de pesanteur s’écrit $\vec{g} = g\,\vec{u}_z$. Les deux forces s’écrivent alors :

$\vec{P} = m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z \qquad \vec{\Pi} = -\rho_{\text{huile}}\,V\,\vec{g} = -\rho_{\text{huile}}\,V\,g\,\vec{u}_z$

À l’instant du lâcher, la force de frottement est nulle, et la deuxième loi de Newton s’écrit $m\,\vec{a} = \vec{P} + \vec{\Pi}$. En projetant sur l’axe :

$m \times a_0 = m \times g - \rho_{\text{huile}} \times V \times g$

La masse de la bille vaut $m = \rho_{\text{acier}} \times V$. En remplaçant, puis en divisant les deux membres par $\rho_{\text{acier}} \times V$ :

$a_0 = g - \dfrac{\rho_{\text{huile}} \times V \times g}{\rho_{\text{acier}} \times V} = g \times \left(1 - \dfrac{\rho_{\text{huile}}}{\rho_{\text{acier}}}\right)$

$a_0 = 9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} \times \left(1 - \dfrac{910\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}}{7\,850\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}}\right) = 8{,}67\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

La coordonnée est positive : au lâcher, le vecteur accélération est dirigé vers le bas, comme le mouvement qui commence, mais sa valeur est plus petite que $g$. C’est la poussée qui fait cette différence.

4. L’accélération à l’instant du lâcher est la dérivée de la vitesse à cet instant, c’est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à l’origine. Cette tangente passe par l’origine et, par exemple, par le point de coordonnées $t = 0{,}040\ \text{s}$ et $v = 0{,}34\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ (lecture graphique) :

On note $a_{0,\text{mes}}$ cette valeur mesurée :

$a_{0,\text{mes}} = \dfrac{0{,}34\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} - 0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{0{,}040\ \text{s} - 0\ \text{s}} = 8{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

L’écart relatif se calcule entre chaque valeur prévue et la valeur mesurée, prise comme référence. Avec la poussée d’Archimède :

$\dfrac{a_0 - a_{0,\text{mes}}}{a_{0,\text{mes}}} = \dfrac{8{,}67\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} - 8{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}}{8{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}} = 0{,}02 = 2\ \%$

Sans la poussée, la bille ne serait soumise qu’à son poids au lâcher, et la deuxième loi de Newton prévoirait $a_0 = g$ :

$\dfrac{g - a_{0,\text{mes}}}{a_{0,\text{mes}}} = \dfrac{9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} - 8{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}}{8{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}} = 0{,}15 = 15\ \%$

La mesure s’accorde avec le modèle qui tient compte de la poussée d’Archimède : l’écart de $2\ \%$ est de l’ordre de la précision d’une lecture graphique. Le modèle qui la néglige surestime l’accélération de $15\ \%$. Dans l’huile, la poussée d’Archimède ne peut donc pas être négligée.

5. La vitesse cesse d’augmenter et tend vers une valeur limite, que l’on lit sur le palier de la courbe : $v_{\text{lim}} = 0{,}36\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La bille a alors un mouvement rectiligne uniforme : son vecteur vitesse ne change plus, donc son accélération est nulle. La deuxième loi de Newton donne une somme des forces nulle, frottement compris :

$\vec{P} + \vec{\Pi} + \vec{f} = \vec{0}$

En projetant sur l’axe orienté vers le bas, le frottement étant dirigé vers le haut : $P - \Pi - f = 0$, d’où

$f = P - \Pi = 2{,}58 \times 10^{-3}\ \text{N} - 2{,}99 \times 10^{-4}\ \text{N} = 2{,}28 \times 10^{-3}\ \text{N}$

En négligeant la poussée, on aurait trouvé $f = P = 2{,}58 \times 10^{-3}\ \text{N}$, une valeur trop grande de $13\ \%$.

6. La poussée exercée par l’air vaut $\rho_{\text{air}} \times V \times g$, le poids $\rho_{\text{acier}} \times V \times g$ : leur quotient ne dépend que des masses volumiques.

$\dfrac{\Pi_{\text{air}}}{P} = \dfrac{\rho_{\text{air}}}{\rho_{\text{acier}}} = \dfrac{1{,}2\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}}{7\,850\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}} = 1{,}5 \times 10^{-4}$

Dans l’air, la poussée vaut donc $0{,}015\ \%$ du poids de la bille, bien en dessous de la précision des mesures de cette expérience : on la néglige à juste titre. Dans l’huile, elle en vaut $11{,}6\ \%$, parce que l’huile est environ $760$ fois plus dense que l’air. Ce qui décide si la poussée est négligeable, ce n’est pas le corps seul, mais le quotient des deux masses volumiques.

Réflexe à retenir : avant de négliger une poussée d’Archimède, compare la masse volumique du fluide à celle du corps. Leur quotient donne directement la fraction du poids que représente la poussée, pour un corps plein entièrement immergé.