Exercices — La poussée d'Archimède — cours et exercice corrigé

1. Avec $m = 0{,}650$ kg :

$P = m \cdot g = 0{,}650 \times 9{,}81 = \mathbf{6{,}4 \text{ N}}$

2. Attention à la conversion : $V = 250$ cm³ $= 250 \times 10^{-6}$ m³ $= 2{,}50 \times 10^{-4}$ m³.

$\Pi = \rho_{\text{eau}} \cdot V \cdot g = 1\,000 \times 2{,}50 \times 10^{-4} \times 9{,}81 = \mathbf{2{,}5 \text{ N}}$

3. Le poids (vers le bas) et la poussée (vers le haut) sont verticaux et de sens opposés :

$P_{\text{apparent}} = P - \Pi = 6{,}4 - 2{,}5 = \mathbf{3{,}9 \text{ N}}$

Comme $P > \Pi$, la résultante est dirigée vers le bas : la pierre coule. Autre façon de le voir : sa masse volumique ($650/250 = 2{,}6$ g·cm⁻³) est supérieure à celle de l’eau.

1. L’iceberg flotte, immobile : d’après la première loi de Newton, les forces se compensent. La poussée d’Archimède équilibre exactement le poids :

$\Pi = P$

2. On exprime chaque force :

• poids : $P = m \cdot g = \rho_{\text{glace}} \cdot V \cdot g$ ;
• poussée : $\Pi = \rho_{\text{mer}} \cdot V_{\text{imm}} \cdot g$ (seul le volume immergé déplace de l’eau !).

L’égalité $\Pi = P$ donne :

$\rho_{\text{mer}} \cdot V_{\text{imm}} \cdot g = \rho_{\text{glace}} \cdot V \cdot g \quad \Rightarrow \quad \dfrac{V_{\text{imm}}}{V} = \dfrac{\rho_{\text{glace}}}{\rho_{\text{mer}}} \checkmark$

3. $\dfrac{V_{\text{imm}}}{V} = \dfrac{920}{1\,025} = 0{,}898 \approx \mathbf{90\ \%}$

Volume émergé : $V_{\text{ém}} = (1 - 0{,}898) \times 1{,}2 \times 10^{5} = \mathbf{1{,}2 \times 10^{4} \text{ m}^3}$.

Seuls 10 % de l’iceberg dépassent de l’eau : l’expression « la partie émergée de l’iceberg » n’est pas qu’une image !

1. Le fluide est ici l’air, et le ballon y est entièrement plongé :

$\Pi = \rho_{\text{air}} \cdot V \cdot g = 1{,}20 \times 8{,}0 \times 9{,}81 = \mathbf{94 \text{ N}}$

2. Masse d’hélium : $m_{\text{He}} = \rho_{\text{He}} \cdot V = 0{,}17 \times 8{,}0 = 1{,}4$ kg.

$P = (m_e + m_{\text{He}}) \cdot g = (2{,}0 + 1{,}4) \times 9{,}81 = \mathbf{33 \text{ N}}$

3. $\Pi = 94$ N $> P = 33$ N : la résultante est dirigée vers le haut, le ballon décolle. Il peut soulever une charge supplémentaire de poids maximal $\Pi - P = 94 - 33 = 61$ N, soit une masse :

$m_{\text{max}} = \dfrac{61}{9{,}81} = \mathbf{6{,}2 \text{ kg}}$

Retiens l’idée : un ballon monte parce que le gaz qu’il contient est moins dense que l’air, pas parce qu’il « échappe » à la gravité.

1. La partie immergée est un pavé de base carrée $a \times a$ et de hauteur $h$ :

$V_{\text{imm}} = a^2 \cdot h = (0{,}100)^2 \times 0{,}060 = \mathbf{6{,}0 \times 10^{-4} \text{ m}^3}$

2. À l’équilibre, la poussée compense le poids :

$\rho_{\text{eau}} \cdot V_{\text{imm}} \cdot g = \rho_{\text{bois}} \cdot V \cdot g$

avec $V = a^3$ et $V_{\text{imm}} = a^2 h$. Après simplification par $g$ et par $a^2$ :

$\rho_{\text{bois}} = \rho_{\text{eau}} \cdot \dfrac{h}{a} \checkmark$

3. $\rho_{\text{bois}} = 1\,000 \times \dfrac{6{,}0}{10{,}0} = \mathbf{6{,}0 \times 10^{2} \text{ kg·m}^{-3}}$

Masse du cube : $m = \rho_{\text{bois}} \cdot a^3 = 600 \times (0{,}100)^3 = \mathbf{0{,}60 \text{ kg}}$.

C’est le principe du densimètre : la hauteur d’enfoncement d’un flotteur renseigne directement sur une masse volumique.