Exercices corrigés — Mouvements dans un champ uniforme

1. Un objet est en chute libre lorsqu’il n’est soumis qu’à son poids (les autres forces, comme les frottements de l’air, sont négligées).

2. Le poids a pour valeur :

$P = m \times g = 0{,}500 \times 9{,}81 = 4{,}91\ \text{N}$

Attention au piège classique : la masse doit être convertie en kilogrammes avant le calcul.

3. La deuxième loi de Newton s’écrit, pour un système de masse $m$ constante :

$\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$

Ici la seule force est le poids $\vec{P} = m\,\vec{g}$, donc :

$m\,\vec{g} = m\,\vec{a} \quad \Longrightarrow \quad \vec{a} = \vec{g}$

La masse s’est simplifiée : l’accélération d’un objet en chute libre ne dépend pas de sa masse. Une bille de plomb et une bille de verre lâchées ensemble touchent le sol en même temps (en l’absence d’air). C’est un résultat à connaître par cœur.

1. En chute libre, $\vec{a} = \vec{g}$. L’axe étant orienté vers le bas, $a_y = g$. En intégrant avec une vitesse initiale nulle et une position initiale nulle :

$v_y(t) = g\,t \qquad \text{et} \qquad y(t) = \frac{1}{2}\,g\,t^2$

2. L’objet touche le sol lorsque $y = h$ :

$h = \frac{1}{2}\,g\,t^2 \quad \Longrightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2{,}0\ \text{s}$

3. La vitesse d’arrivée vaut :

$v = g\,t = 10 \times 2{,}0 = 20\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Soit, en multipliant par $3{,}6$ : $v = 72\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$.

Réflexe à retenir : pour passer des $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ aux $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$, on multiplie par 3,6 (et on divise par 3,6 dans l’autre sens).

1. La force électrique s’écrit $\vec{F} = q\,\vec{E}$. Sa valeur est :

$F = e \times E = 1{,}6 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^{3} = 8{,}0 \times 10^{-16}\ \text{N}$

(Comme la charge de l’électron est négative, $\vec{F}$ est de sens opposé à $\vec{E}$.)

2. D’après la deuxième loi de Newton, $F = m\,a$, donc :

$a = \frac{F}{m} = \frac{8{,}0 \times 10^{-16}}{9{,}1 \times 10^{-31}} = 8{,}8 \times 10^{14}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

Une accélération gigantesque : c’est normal, l’électron est extrêmement léger.

3. Le poids vaut :

$P = m \times g = 9{,}1 \times 10^{-31} \times 9{,}81 = 8{,}9 \times 10^{-30}\ \text{N}$

On compare : $\dfrac{F}{P} = \dfrac{8{,}0 \times 10^{-16}}{8{,}9 \times 10^{-30}} \approx 10^{14}$. La force électrique est environ cent mille milliards de fois plus grande que le poids : on peut négliger ce dernier sans remords. Réflexe à retenir : pour justifier qu’une force est négligeable, on calcule toujours le rapport des deux valeurs.

1. Le champ de pesanteur est vertical vers le bas et l’axe $(Oy)$ est ascendant, donc :

$a_x = 0 \qquad \text{et} \qquad a_y = -g$

2. On intègre une première fois. À $t = 0$, la vitesse est horizontale : $v_x(0) = v_0$ et $v_y(0) = 0$ :

$v_x(t) = v_0 \qquad \text{et} \qquad v_y(t) = -g\,t$

On intègre une seconde fois. À $t = 0$, la bille est en $O$ : $x(0) = 0$ et $y(0) = 0$ :

$x(t) = v_0\,t \qquad \text{et} \qquad y(t) = -\frac{1}{2}\,g\,t^2$

Le mouvement est uniforme sur l’horizontale et uniformément accéléré sur la verticale.

3. On isole $t$ dans la première équation : $t = \dfrac{x}{v_0}$, puis on remplace dans $y(t)$ :

$y = -\frac{1}{2}\,g\left(\frac{x}{v_0}\right)^2 = -\frac{g}{2\,v_0^2}\,x^2$

C’est l’équation d’une parabole. Astuce de vérification : dans l’équation de la trajectoire, le temps $t$ a disparu — c’est une relation entre $y$ et $x$ uniquement. Si ton équation contient encore un $t$, c’est qu’il y a une erreur.

1. La bille touche le sol lorsque $y = -h$ :

$-h = -\frac{1}{2}\,g\,t^2 \quad \Longrightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 1{,}25}{10}} = \sqrt{0{,}25} = 0{,}50\ \text{s}$

Remarque de cours : cette durée est la même que pour une chute verticale sans vitesse initiale. La vitesse horizontale ne change rien à la durée de chute.

2. On reporte cette durée dans $x(t)$ :

$d = v_0 \times t = 5{,}0 \times 0{,}50 = 2{,}5\ \text{m}$

3. La composante verticale de la vitesse vaut $v_y(t) = -g\,t$, donc à l’impact :

$|v_y| = g \times t = 10 \times 0{,}50 = 5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Astuce de vérification : les ordres de grandeur sont cohérents — une chute d’environ un mètre dure environ une demi-seconde, et la portée (quelques mètres) est plausible pour une bille rapide. Prends toujours deux secondes pour vérifier que tes résultats « ressemblent à la vraie vie ».