Exercices — Méthodes physiques d'analyse d'un système chimique

1. La loi de Beer-Lambert affirme que l’absorbance d’une espèce colorée en solution diluée est proportionnelle à sa concentration : $A = k \times C$ (à longueur d’onde et cuve identiques).

2. À partir de la solution étalon :

$k = \frac{A_0}{C_0} = \frac{0{,}50}{2{,}0 \times 10^{-2}} = 25\ \text{L}\cdot\text{mol}^{-1}$

(L’absorbance n’a pas d’unité, donc $k$ s’exprime en $\text{L}\cdot\text{mol}^{-1}$.)

3. On applique la loi dans l’autre sens :

$C = \frac{A}{k} = \frac{0{,}30}{25} = 1{,}2 \times 10^{-2}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$

Astuce de vérification : $A = 0{,}30$ est plus petite que $A_0 = 0{,}50$, donc la solution doit être moins concentrée que l’étalon — c’est bien le cas ✓. Ce petit contrôle de cohérence évite la plupart des erreurs d’inversion de formule.

1. Un litre vaut $10^{-3}\ \text{m}^3$, donc $1\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} = 10^{3}\ \text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$ :

$C = 5{,}0 \times 10^{-3}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1} = 5{,}0\ \text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$

C’est le piège classique de la conductimétrie : les $\lambda$ sont donnés avec des mètres, il faut donc des $\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$.

2. La dissolution du chlorure de sodium donne $[\text{Na}^+] = [\text{Cl}^-] = C$, donc :

$\sigma = (\lambda_{\text{Na}^+} + \lambda_{\text{Cl}^-}) \times C = (5{,}0 + 7{,}6) \times 10^{-3} \times 5{,}0$

$\sigma = 12{,}6 \times 10^{-3} \times 5{,}0 = 6{,}3 \times 10^{-2}\ \text{S}\cdot\text{m}^{-1}$

Astuce de vérification : contrôle les unités — $\text{S}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1} \times \text{mol}\cdot\text{m}^{-3} = \text{S}\cdot\text{m}^{-1}$ ✓. Si les unités ne « tombent » pas juste, c’est qu’une conversion a été oubliée.

1. L’équation d’état du gaz parfait s’écrit :

$P\,V = n\,R\,T$

avec $P$ en pascals ($\text{Pa}$), $V$ en mètres cubes ($\text{m}^3$), $n$ en moles ($\text{mol}$) et $T$ en kelvins ($\text{K}$). Toutes les unités doivent être dans le Système international.

2. Les conversions :

$V = 1{,}0\ \text{L} = 1{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m}^3 \qquad T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$

3. On isole $n$ :

$n = \frac{P\,V}{R\,T} = \frac{1{,}0 \times 10^{5} \times 1{,}0 \times 10^{-3}}{8{,}31 \times 300} = \frac{100}{2493} = 4{,}0 \times 10^{-2}\ \text{mol}$

Astuce de vérification : à température ambiante, une mole de gaz occupe environ $24\ \text{L}$. Un litre contient donc environ $\dfrac{1}{24} \approx 0{,}04\ \text{mol}$ — c’est exactement ce qu’on trouve ✓.

1. La conductivité étant proportionnelle à la concentration, on peut écrire $\dfrac{C'}{C_0} = \dfrac{\sigma'}{\sigma_0}$, donc :

$C' = C_0 \times \frac{\sigma'}{\sigma_0} = 10 \times \frac{0{,}65}{1{,}3} = 10 \times 0{,}50 = 5{,}0\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$

2. La solution $S'$ a été obtenue en diluant $S$ dix fois : la concentration a donc été divisée par 10 lors de la dilution. En remontant :

$C_S = 10 \times C' = 10 \times 5{,}0 = 50\ \text{mmol}\cdot\text{L}^{-1}$

Réflexe à retenir : dans un dosage par étalonnage avec dilution, il ne faut jamais oublier de multiplier par le facteur de dilution à la fin. C’est l’oubli le plus fréquent en contrôle — relis toujours l’énoncé pour vérifier si la solution mesurée est la solution de départ ou une solution diluée.

1. À $\lambda_{\max}$, l’absorbance est maximale : la mesure est la plus sensible (une petite variation de concentration produit une grande variation d’absorbance) et l’incertitude relative est la plus faible.

2. On isole $C$ dans la loi de Beer-Lambert :

$C = \frac{A}{\varepsilon\,\ell} = \frac{0{,}45}{1{,}5 \times 10^{3} \times 1{,}0} = 3{,}0 \times 10^{-4}\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$

3. On passe à la concentration en masse avec $C_m = C \times M$ :

$C_m = 3{,}0 \times 10^{-4} \times 160 = 4{,}8 \times 10^{-2}\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$

soit environ $48\ \text{mg}$ de colorant par litre de boisson.

Astuce de vérification : vérifie l’homogénéité — $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1} \times \text{g}\cdot\text{mol}^{-1} = \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$ ✓. Et garde le réflexe « ordre de grandeur » : quelques dizaines de milligrammes par litre, c’est cohérent pour un colorant alimentaire.