Exercices — Mesure et incertitudes

1. L’incertitude est évaluée à partir de la dispersion d’une série de mesures répétées (approche statistique) : c’est une évaluation de type A. (Le type B correspond à une évaluation à partir d’une seule mesure, avec les données du constructeur ou la graduation de l’instrument.)

2. On applique la formule du cours :

$u(T) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}040}{\sqrt{4}} = \frac{0{,}040}{2} = 0{,}020\ \text{s}$

3. Le résultat s’écrit :

$T = (2{,}05 \pm 0{,}02)\ \text{s}$

Réflexe à retenir : plus on répète la mesure, plus $\sqrt{n}$ est grand et plus l’incertitude sur la moyenne diminue. C’est tout l’intérêt de mesurer plusieurs fois !

1. La règle du cours :

• l’incertitude-type s’écrit avec 1 ou 2 chiffres significatifs ;
• la valeur mesurée est arrondie au même rang (à la même décimale) que l’incertitude.

2. La bonne réponse est la (b) : $v = (343 \pm 2)\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

• (a) est incorrecte : la valeur $343{,}264$ affiche des décimales (le millième !) qui n’ont aucun sens alors que l’incertitude porte déjà sur les unités ;
• (c) est incorrecte : arrondir à $340$ revient à jeter une information fiable, car le chiffre des unités est connu à $\pm 2$ près.

Réflexe à retenir : c’est l’incertitude qui décide du nombre de chiffres de la valeur, jamais la calculatrice.

1. L’écart normalisé compare l’écart entre la mesure et la référence à l’incertitude-type :

$z = \frac{|g_{\text{mes}} - g_{\text{ref}}|}{u(g)}$

Critère du cours : si $z \leq 2$, la mesure est compatible avec la valeur de référence ; si $z > 2$, elle ne l’est pas.

2. On calcule :

$z = \frac{|9{,}7 - 9{,}81|}{0{,}1} = \frac{0{,}11}{0{,}1} = 1{,}1$

Comme $z = 1{,}1 \leq 2$, la mesure est compatible avec la valeur de référence : l’écart observé s’explique par la dispersion normale des mesures. Réflexe à retenir : un z-score se calcule toujours avec la valeur absolue de l’écart — le signe n’a pas d’importance.

1. La moyenne vaut :

$\overline{v} = \frac{338 + 342 + 340 + 340}{4} = \frac{1360}{4} = 340{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

2. Avec $n = 4$ mesures :

$u(v) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1{,}6}{2} = 0{,}80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

3. On calcule l’écart normalisé :

$z = \frac{|340{,}0 - 343|}{0{,}80} = \frac{3{,}0}{0{,}80} = 3{,}8$

Comme $z = 3{,}8 > 2$, la mesure n’est pas compatible avec la valeur de référence. La dispersion des mesures ne suffit pas à expliquer l’écart : il y a probablement une erreur systématique. Ici, l’explication la plus simple est que la salle n’était pas à $20\ ^\circ\text{C}$ (la célérité du son diminue quand la température baisse), ou qu’un décalage de déclenchement du chronométrage fausse toutes les mesures dans le même sens. Réflexe à retenir : $z > 2$ ne veut pas dire « mesure ratée », mais « il y a une cause d’écart à identifier ».

1. D’après la loi d’Ohm, $U = R\,I$, donc :

$R = \frac{U}{I} = \frac{4{,}50}{0{,}180} = 25{,}0\ \Omega$

2. L’incertitude ($0{,}6\ \Omega$) porte sur les dixièmes, on arrondit donc la valeur au dixième :

$R = (25{,}0 \pm 0{,}6)\ \Omega$

3. On calcule l’écart normalisé par rapport à la valeur du fabricant :

$z = \frac{|25{,}0 - 24{,}0|}{0{,}6} = \frac{1{,}0}{0{,}6} = 1{,}7$

Comme $z = 1{,}7 \leq 2$, la mesure est compatible avec la valeur annoncée. Astuce de vérification : avant de conclure, relis ton calcul de $z$ en te demandant « l’écart vaut combien de fois l’incertitude ? ». Ici l’écart vaut moins de deux incertitudes-types : tout va bien.