Exercices — Calculer l'intensité de pesanteur

1. À la surface d’un astre :

$g = \dfrac{G \, M}{R^2}$

Elle s’exprime en N·kg⁻¹ (ou m·s⁻², c’est équivalent) et ne dépend que de l’astre, pas de l’objet qu’on y pose.

2. Attention au piège d’unité : le rayon doit être en mètres, $R_T = 6\,371$ km $= 6{,}371 \times 10^6$ m.

$g = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{(6{,}371 \times 10^6)^2} \approx 9{,}8 \text{ N·kg}^{-1}$

On retrouve la valeur bien connue $g \approx 9{,}8$ N·kg⁻¹ : le modèle de la gravitation redonne exactement la pesanteur mesurée. C’est une belle vérification de la loi de Newton !

1. Même méthode qu’à l’exercice 1, avec les rayons convertis en mètres.

Pour la Lune :

$g_L = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 7{,}35 \times 10^{22}}{(1{,}737 \times 10^6)^2} \approx 1{,}6 \text{ N·kg}^{-1}$

Pour Mars :

$g_M = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 6{,}42 \times 10^{23}}{(3{,}390 \times 10^6)^2} \approx 3{,}7 \text{ N·kg}^{-1}$

Ordres de grandeur à retenir : $g_L \approx g_T/6$ et $g_M \approx g_T/3$.

2. Le poids est $P = m \times g$ :

• sur Mars : $P = 900 \times 3{,}7 \approx 3{,}4 \times 10^3$ N ;
• sur Terre : $P = 900 \times 9{,}8 \approx 8{,}8 \times 10^3$ N.

La masse ne change pas (900 kg partout : c’est la quantité de matière du rover) ; seul le poids change, car il dépend de l’astre. Ne confonds jamais les deux !

1. À l’altitude $h$, la distance au centre de la Terre vaut $R_T + h$ :

$g(h) = \dfrac{G \, M_T}{(R_T + h)^2}$

L’erreur classique est d’écrire $GM/h^2$ : c’est bien la distance au centre qui intervient.

2. $R_T + h = 6\,371 + 400 = 6\,771$ km $= 6{,}771 \times 10^6$ m :

$g(h) = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24}}{(6{,}771 \times 10^6)^2} \approx 8{,}7 \text{ N·kg}^{-1}$

Soit environ 89 % de la valeur au sol : la pesanteur est à peine plus faible qu’à la surface !

3. Les astronautes ne flottent pas parce que la pesanteur a disparu, mais parce que la station et tout ce qu’elle contient sont en chute libre permanente autour de la Terre : tout « tombe » ensemble, donc plus rien ne s’appuie sur rien. C’est l’impesanteur.

1. On part de $g_V = \dfrac{G \, M_V}{R_V^2}$ et on isole $M_V$ :

$M_V = \dfrac{g_V \, R_V^2}{G}$

2. Avec $R_V = 6{,}052 \times 10^6$ m :

$M_V = \dfrac{8{,}87 \times (6{,}052 \times 10^6)^2}{6{,}67 \times 10^{-11}} \approx 4{,}87 \times 10^{24} \text{ kg}$

C’est bien la masse de Vénus tabulée par les astronomes. Mesurer $g$ à la surface d’un astre, c’est donc « peser » l’astre tout entier — exactement la méthode utilisée par les sondes spatiales.