Exercices — Le photon et l'effet photoélectrique

1. D’après le cours, l’énergie d’un photon est proportionnelle à sa fréquence :

$E = h\nu \qquad \text{et comme } \nu = \frac{c}{\lambda} : \qquad E = \frac{hc}{\lambda}$

2. Application numérique (attention : $\lambda = 500\ \text{nm} = 5{,}00 \times 10^{-7}\ \text{m}$) :

$E = \frac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8}}{5{,}00 \times 10^{-7}} = 3{,}98 \times 10^{-19}\ \text{J}$

En électronvolts :

$E = \frac{3{,}98 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{-19}} = 2{,}5\ \text{eV}$

Astuce de vérification : un photon de lumière visible a toujours une énergie de l’ordre de quelques eV (entre 1,6 et 3,3 eV environ). Si tu trouves très différent, cherche une erreur de conversion sur $\lambda$.

1. Le travail d’extraction $W$ est l’énergie minimale à fournir à un électron pour l’arracher au métal. Un photon ne peut provoquer l’effet photoélectrique que si son énergie est au moins égale à $W$.

2. À la fréquence seuil, l’énergie du photon vaut exactement $W$ :

$h\nu_0 = W \quad \Longrightarrow \quad \nu_0 = \frac{W}{h} = \frac{4{,}0 \times 10^{-19}}{6{,}63 \times 10^{-34}} = 6{,}0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$

La longueur d’onde seuil s’en déduit :

$\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0} = \frac{3{,}00 \times 10^{8}}{6{,}0 \times 10^{14}} = 5{,}0 \times 10^{-7}\ \text{m} = 500\ \text{nm}$

Réflexe à retenir : l’effet photoélectrique se produit si $\nu \geq \nu_0$, c’est-à-dire si $\lambda \leq \lambda_0$ — attention, l’inégalité s’inverse quand on passe de la fréquence à la longueur d’onde !

1. On applique $E = \dfrac{hc}{\lambda}$ avec $\lambda = 6{,}00 \times 10^{-7}\ \text{m}$ :

$E = \frac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8}}{6{,}00 \times 10^{-7}} = 3{,}3 \times 10^{-19}\ \text{J}$

2. On compare à $W$ :

$E = 3{,}3 \times 10^{-19}\ \text{J} < W = 4{,}0 \times 10^{-19}\ \text{J}$

Chaque photon apporte moins que l’énergie minimale d’extraction : aucun électron n’est émis. Augmenter l’intensité ne change rien : cela augmente le nombre de photons, pas l’énergie de chacun — or l’échange d’énergie se fait photon par photon.

Réflexe à retenir : c’est l’argument clé de l’effet photoélectrique, celui qui a valu son prix Nobel à Einstein — l’émission dépend de la fréquence de la lumière, pas de son intensité.

1. Avec $\lambda = 4{,}00 \times 10^{-7}\ \text{m}$ :

$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8}}{4{,}00 \times 10^{-7}} = 4{,}97 \times 10^{-19}\ \text{J}$

Comme $E > W$ ($4{,}97 \times 10^{-19} > 4{,}0 \times 10^{-19}$), l’effet photoélectrique se produit : des électrons sont arrachés au métal.

2. L’énergie du photon sert d’abord à extraire l’électron ($W$), le reste devient de l’énergie cinétique :

$E_c = E - W = 4{,}97 \times 10^{-19} - 4{,}0 \times 10^{-19} = 9{,}7 \times 10^{-20}\ \text{J}$

Astuce de vérification : $E_c$ doit être positive et plus petite que l’énergie du photon. Une énergie cinétique négative signifie simplement… qu’il n’y a pas d’émission (cas de l’exercice 3).

1. On applique la définition du rendement :

$\eta = \frac{P_{\text{élec}}}{P_{\text{reçue}}} = \frac{1{,}0}{5{,}0} = 0{,}20 = 20\ \%$

Seule une partie de l’énergie lumineuse est convertie en électricité — un ordre de grandeur réaliste pour une cellule au silicium ✓.

2. D’après l’exercice 1, chaque photon de longueur d’onde $500\ \text{nm}$ transporte $E = 3{,}98 \times 10^{-19}\ \text{J}$. En une seconde, la cellule reçoit une énergie $E_{\text{reçue}} = P_{\text{reçue}} \times 1\ \text{s} = 5{,}0\ \text{J}$, donc :

$N = \frac{P_{\text{reçue}}}{E} = \frac{5{,}0}{3{,}98 \times 10^{-19}} = 1{,}3 \times 10^{19}\ \text{photons par seconde}$

Réflexe à retenir : un nombre de photons est toujours gigantesque ($10^{18}$ à $10^{21}$ par seconde pour une source courante). C’est pour cela que l’aspect « grain de lumière » est invisible à notre échelle : la lumière semble continue.