Exercices — Sons et effet Doppler

1. L’effet Doppler est le décalage entre la fréquence de l’onde émise par une source et la fréquence de l’onde perçue par un observateur, lorsque la source et l’observateur sont en mouvement relatif l’un par rapport à l’autre.

2. Retiens le sens du décalage :

• a) quand la source s’approche, les fronts d’onde sont resserrés : la fréquence perçue est plus grande que la fréquence émise (le son paraît plus aigu) ;
• b) quand la source s’éloigne, les fronts d’onde sont étirés : la fréquence perçue est plus petite (le son paraît plus grave).

Réflexe à retenir : approche → plus aigu, éloignement → plus grave. C’est exactement ce que tu entends quand une voiture de course passe devant toi.

La source s’approche, on applique la formule du cours :

$f' = f \times \frac{c}{c - v} = 640 \times \frac{340}{340 - 20} = 640 \times \frac{340}{320} = 680\ \text{Hz}$

L’observateur perçoit un son de 680 Hz, plus aigu que le son émis.

Astuce de vérification : à l’approche, on doit trouver $f' > f$ (ici $680 > 640$ ✓). Si tu trouves une fréquence plus petite, c’est que tu as utilisé le mauvais signe au dénominateur.

1. La source s’éloigne, le dénominateur devient $c + v$ :

$f' = f \times \frac{c}{c + v} = 720 \times \frac{340}{340 + 20} = 720 \times \frac{340}{360} = 680\ \text{Hz}$

2. Le décalage Doppler vaut :

$\Delta f = f' - f = 680 - 720 = -40\ \text{Hz}$

Le décalage est négatif : cohérent avec un éloignement, le son perçu est plus grave ✓.

Réflexe à retenir : le signe de $\Delta f$ te dit tout — positif si la source s’approche, négatif si elle s’éloigne.

1. On part de la formule du cours et on isole $v$ :

$f' = f \times \frac{c}{c - v} \quad \Longrightarrow \quad c - v = \frac{f \times c}{f'} \quad \Longrightarrow \quad v = c\left(1 - \frac{f}{f'}\right)$

Application numérique :

$v = 340 \times \left(1 - \frac{600}{680}\right) = 340 \times \frac{80}{680} = 40\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

2. On convertit ($1\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 3{,}6\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$) :

$v = 40 \times 3{,}6 = 144\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$

La voiture roule à $144\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1} > 110\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ : la limitation n’est pas respectée. C’est exactement le principe du radar routier, qui mesure un décalage Doppler pour en déduire une vitesse.

Astuce de vérification : $v$ doit être très inférieure à $c$ (ici $40 \ll 340$ ✓). Une vitesse proche ou supérieure à la célérité du son doit t’alerter sur une erreur de calcul.

1. La longueur d’onde observée est plus grande que celle mesurée au laboratoire ($501{,}0 > 500{,}0\ \text{nm}$) : la raie est décalée vers le rouge (redshift). Une longueur d’onde qui augmente correspond à une fréquence qui diminue, donc à une source qui s’éloigne de la Terre.

2. On isole $v$ dans la relation du cours :

$v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = 3{,}00 \times 10^{8} \times \frac{501{,}0 - 500{,}0}{500{,}0} = 3{,}00 \times 10^{8} \times \frac{1{,}0}{500{,}0}$

$v = 6{,}0 \times 10^{5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 600\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$

La galaxie s’éloigne à environ 600 km par seconde.

Réflexe à retenir : dans $\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$, les deux longueurs d’onde sont dans la même unité (ici le nm), donc le rapport n’a pas d’unité : inutile de tout convertir en mètres. C’est ce décalage vers le rouge des galaxies qui a mis les astronomes sur la piste de l’expansion de l’Univers.