Exercices corrigés — La mécanique des fluides

1. L’air est un fluide, et sa pression augmente quand on descend. Les forces pressantes exercées par l’air sur la partie basse de l’enveloppe sont donc un peu plus intenses que celles exercées sur la partie haute, tandis que celles exercées de part et d’autre s’annulent. La résultante de toutes ces forces pressantes est verticale et dirigée vers le haut : c’est la poussée d’Archimède exercée par l’air.

2. La masse d’hélium se déduit de sa masse volumique et du volume qu’il occupe :

$m_{\text{He}} = \rho_{\text{He}} \times V = 0{,}166\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 2{,}00\ \text{m}^{3} = 0{,}332\ \text{kg}$

On ajoute les trois masses pour obtenir celle de l’ensemble :

$m = m_{\text{e}} + m_{\text{He}} + m_{\text{s}} = 0{,}600\ \text{kg} + 0{,}332\ \text{kg} + 0{,}250\ \text{kg} = 1{,}182\ \text{kg}$

3. Le vecteur poussée d’Archimède s’écrit $\vec{\Pi} = -\rho_{\text{air}}\,V\,\vec{g}$. Le signe moins indique qu’il est opposé au vecteur $\vec{g}$ : sa direction est verticale, son sens est vers le haut, et il s’applique au centre du volume d’air déplacé, c’est-à-dire au centre du ballon. Sa valeur vaut :

$\Pi = \rho_{\text{air}} \times V \times g = 1{,}22\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 2{,}00\ \text{m}^{3} \times 9{,}81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} = 23{,}9\ \text{N}$

Vérification des unités : des $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$ multipliés par des $\text{m}^{3}$ donnent des $\text{kg}$, et des $\text{kg}$ multipliés par des $\text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ donnent bien des newtons.

4. Le poids de l’ensemble vaut :

$P = m \times g = 1{,}182\ \text{kg} \times 9{,}81\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} = 11{,}6\ \text{N}$

La poussée d’Archimède, $23{,}9\ \text{N}$, est plus grande que le poids, $11{,}6\ \text{N}$ : les deux forces étant verticales et de sens contraires, leur résultante est dirigée vers le haut et vaut $23{,}9\ \text{N} - 11{,}6\ \text{N} = 12{,}3\ \text{N}$. Dès qu’on le lâche, le ballon s’élève.

5. L’ensemble est en équilibre quand la poussée d’Archimède et le poids ont la même valeur, soit $\rho_{\text{air}} \times V \times g = m \times g$. L’intensité de la pesanteur se simplifie de part et d’autre, et il reste une condition sur les masses seules : l’ensemble est en équilibre quand sa masse est égale à celle de l’air déplacé.

$m_{\text{max}} = \rho_{\text{air}} \times V = 1{,}22\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 2{,}00\ \text{m}^{3} = 2{,}44\ \text{kg}$

La sonde pourrait donc avoir pour masse :

$m_{\text{s,max}} = m_{\text{max}} - m_{\text{e}} - m_{\text{He}} = 2{,}44\ \text{kg} - 0{,}600\ \text{kg} - 0{,}332\ \text{kg} = 1{,}51\ \text{kg}$

Avec une sonde de $1{,}51\ \text{kg}$, le ballon resterait immobile ; au-delà, le poids l’emporterait et il ne s’élèverait pas.

Réflexe à retenir : quand une question demande une condition d’équilibre dans un fluide, l’intensité de la pesanteur se simplifie presque toujours. La comparaison se ramène alors à deux masses, ou à deux masses volumiques, ce qui évite un calcul de force inutile.

1. Le débit volumique est le volume qui traverse une section par unité de temps. On convertit d’abord le volume en mètres cubes : $44{,}0\ \text{L} = 44{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3} = 4{,}40 \times 10^{-2}\ \text{m}^{3}$.

$D_V = \dfrac{V}{\Delta t} = \dfrac{4{,}40 \times 10^{-2}\ \text{m}^{3}}{40{,}0\ \text{s}} = 1{,}10 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}\cdot\text{s}^{-1}$

Les données comportent trois chiffres significatifs, le résultat aussi.

2. Les deux sections sont des disques. On convertit les diamètres en mètres, et c’est le rayon, moitié du diamètre, qui est élevé au carré.

$S_1 = \pi \times \left(\dfrac{50{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m}}{2}\right)^{2} = \pi \times \left(2{,}50 \times 10^{-2}\ \text{m}\right)^{2} = 1{,}96 \times 10^{-3}\ \text{m}^{2}$

$S_2 = \pi \times \left(\dfrac{12{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m}}{2}\right)^{2} = \pi \times \left(6{,}00 \times 10^{-3}\ \text{m}\right)^{2} = 1{,}13 \times 10^{-4}\ \text{m}^{2}$

Ici encore, on garde pour la suite les valeurs non arrondies, $1{,}963 \times 10^{-3}\ \text{m}^{2}$ et $1{,}131 \times 10^{-4}\ \text{m}^{2}$.

Le débit volumique est le même dans toute l’installation, puisque l’eau est incompressible et l’écoulement permanent. On en déduit chaque vitesse par $v = D_V / S$ :

$v_1 = \dfrac{D_V}{S_1} = \dfrac{1{,}10 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}\cdot\text{s}^{-1}}{1{,}963 \times 10^{-3}\ \text{m}^{2}} = 0{,}560\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

$v_2 = \dfrac{D_V}{S_2} = \dfrac{1{,}10 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}\cdot\text{s}^{-1}}{1{,}131 \times 10^{-4}\ \text{m}^{2}} = 9{,}73\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Contrôle de cohérence : le rapport des sections vaut $(50{,}0\ \text{mm} / 12{,}0\ \text{mm})^{2} = 17{,}4$, et le rapport des vitesses aussi, $9{,}73\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} / 0{,}560\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} = 17{,}4$.

3. Les deux points sont à la même altitude, donc $z_1 = z_2$ : le terme $\rho g z$ prend la même valeur des deux côtés et se simplifie. La relation de Bernoulli entre les points 1 et 2 s’écrit alors :

$\tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + p_1 = \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + p_{\text{atm}}$

On isole la pression cherchée :

$p_1 = p_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^{2} - v_1^{2}\right)$

$\tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^{2} - v_1^{2}\right) = 0{,}500 \times 1{,}00 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3} \times \left(94{,}6\ \text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2} - 0{,}314\ \text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}\right) = 4{,}71 \times 10^{4}\ \text{Pa}$

$p_1 = 1{,}013 \times 10^{5}\ \text{Pa} + 4{,}71 \times 10^{4}\ \text{Pa} = 1{,}48 \times 10^{5}\ \text{Pa}$

Vérification des unités : des $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$ multipliés par des $\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}$ donnent des $\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$, c’est-à-dire des pascals. On remarque aussi que le terme de vitesse dans la conduite, $\tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} = 157\ \text{Pa}$, est très petit devant celui de la buse : presque tout l’écart de pression sert à accélérer l’eau dans le rétrécissement.

4. L’écart relatif se calcule entre la valeur du modèle et la valeur mesurée, prise comme référence. En gardant la valeur non arrondie $p_1 = 1{,}484 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ :

$\dfrac{p_1 - p_{\text{lue}}}{p_{\text{lue}}} = \dfrac{1{,}484 \times 10^{5}\ \text{Pa} - 1{,}53 \times 10^{5}\ \text{Pa}}{1{,}53 \times 10^{5}\ \text{Pa}} = -0{,}030 = -3{,}0\ \%$

La pression calculée est donc un peu plus faible que celle qui est lue. C’est le sens attendu : la relation de Bernoulli suppose un fluide parfait, sans frottements, alors que l’eau en frotte contre les parois de la conduite et de la buse. Il faut donc, en réalité, une pression un peu plus grande à l’entrée pour obtenir le même débit. Un écart de quelques pour cent montre que le modèle décrit bien cette installation.

5. On applique la relation entre le point 2, à la sortie de la buse, et le sommet du jet. En prenant l’origine des altitudes à la sortie de la buse, on a $z_2 = 0$ et $z = h$ au sommet ; la pression vaut $p_{\text{atm}}$ aux deux points, et la vitesse est nulle au sommet.

$\tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + 0 + p_{\text{atm}} = 0 + \rho g h + p_{\text{atm}}$

La pression atmosphérique se simplifie de part et d’autre, puis la masse volumique :

$h = \dfrac{v_2^{2}}{2\,g} = \dfrac{94{,}6\ \text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}}{2 \times 9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}} = 4{,}82\ \text{m}$

Le résultat ne dépend donc ni de la masse volumique du liquide, ni de la pression atmosphérique : dans ce modèle, un jet d’huile sortant à la même vitesse monterait à la même hauteur.

6. Le technicien a mesuré $4{,}4\ \text{m}$, pour une hauteur prévue de $4{,}82\ \text{m}$ :

$\dfrac{h_{\text{mesurée}} - h}{h} = \dfrac{4{,}4\ \text{m} - 4{,}82\ \text{m}}{4{,}82\ \text{m}} = -0{,}087 = -8{,}7\ \%$

Le jet monte donc un peu moins haut que ce que prévoit le calcul. Deux causes peuvent l’expliquer.

• Les frottements de l’air sur le jet, qui freinent l’eau pendant la montée : l’hypothèse du fluide parfait, qui néglige les frottements, est mise en défaut.
• La fragmentation du jet en gouttes au-dessus de la buse : la relation de Bernoulli s’écrit le long d’une même ligne de courant d’un écoulement permanent, et cette description ne tient plus dès que le jet se disperse. La mesure du sommet devient d’ailleurs elle-même délicate.

On peut ajouter que la vitesse n’est pas tout à fait la même partout dans la section de sortie : elle est plus faible près des parois de la buse. La vitesse $v_2$ calculée est une vitesse moyenne, qui surestime la hauteur atteinte par la plus grande partie du jet.

Réflexe à retenir : avant d’écrire la relation de Bernoulli, choisis tes deux points et écris ce que tu connais en chacun. Une pression égale à $p_{\text{atm}}$ à l’air libre, une vitesse nulle au sommet d’un jet, une même altitude dans une conduite horizontale : c’est cette liste qui fait disparaître des termes et laisse l’inconnue seule.