Exercices — La mécanique des fluides

1. Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps :

$D_V = \frac{V}{\Delta t}$

2. Avec $\Delta t = 2{,}0\ \text{min} = 120\ \text{s}$ :

$D_V = \frac{60}{120} = 0{,}50\ \text{L}\cdot\text{s}^{-1}$

Comme $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$ :

$D_V = 5{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}$

Réflexe à retenir : convertis toujours les litres en $\text{m}^3$ ($\times\,10^{-3}$) et les minutes en secondes avant d’utiliser un débit dans une formule. La plupart des erreurs de ce chapitre sont des erreurs de conversion.

1. La section est un disque de rayon $r = d/2 = 1{,}0\ \text{cm} = 1{,}0 \times 10^{-2}\ \text{m}$ :

$S = \pi r^2 = \pi \times \left(1{,}0 \times 10^{-2}\right)^2 = 3{,}1 \times 10^{-4}\ \text{m}^2$

2. On isole $v$ dans la relation du cours :

$v = \frac{D_V}{S} = \frac{5{,}0 \times 10^{-4}}{3{,}1 \times 10^{-4}} = 1{,}6\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Astuce de vérification : attention au piège rayon/diamètre ! Si tu avais mis $d$ au lieu de $r$ dans $\pi r^2$, tu aurais trouvé une vitesse 4 fois plus petite. Relis toujours l’énoncé pour savoir ce qui est donné.

1. Pour un fluide incompressible en régime permanent, le débit volumique se conserve le long de la canalisation :

$D_V = S_1\,v_1 = S_2\,v_2$

2. On isole $v_2$ (les sections étant dans la même unité, pas besoin de les convertir dans un rapport) :

$v_2 = \frac{S_1\,v_1}{S_2} = \frac{8{,}0 \times 1{,}0}{2{,}0} = 4{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Réflexe à retenir : section divisée par 4 = vitesse multipliée par 4. C’est l’effet « pouce sur le tuyau d’arrosage » : plus le passage est étroit, plus le fluide va vite.

1. La poussée d’Archimède a pour valeur le poids du volume de fluide déplacé :

$F_A = \rho_{\text{eau}}\,V\,g = 1{,}0 \times 10^3 \times 5{,}0 \times 10^{-4} \times 9{,}8 = 4{,}9\ \text{N}$

2. Le poids de l’objet vaut :

$P = m\,g = 0{,}40 \times 9{,}8 = 3{,}9\ \text{N}$

Comme $F_A > P$, la force verticale vers le haut l’emporte : l’objet remonte et flotte.

Astuce de vérification : dans $F_A = \rho V g$, le $\rho$ est celui du fluide (ici l’eau), jamais celui de l’objet — c’est l’erreur la plus fréquente du chapitre. La masse de l’objet ne sert que pour son poids.

1. On isole $p_1 - p_2$ dans la relation de Bernoulli :

$p_1 - p_2 = \frac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right) = \frac{1}{2} \times 1{,}0 \times 10^3 \times \left(4{,}0^2 - 1{,}0^2\right)$

$p_1 - p_2 = 500 \times 15 = 7{,}5 \times 10^3\ \text{Pa}$

2. Comme $p_1 - p_2 > 0$, on a $p_2 < p_1$ : la pression est la plus faible dans le rétrécissement, là où la vitesse est la plus grande. C’est l’effet Venturi.

Réflexe à retenir : dans un écoulement horizontal, là où ça va vite, la pression baisse. Astuce de vérification : un ordre de grandeur de $10^3$ à $10^4\ \text{Pa}$ (quelques % de la pression atmosphérique $\approx 10^5\ \text{Pa}$) est tout à fait plausible pour ce genre d’écoulement ✓.