Exercices corrigés — Diffraction et interférences

1. On convertit d’abord les longueurs en mètres : $\lambda = 450 \times 10^{-9}\ \text{m}$, $b = 0{,}250 \times 10^{-3}\ \text{m}$ et $x_A = 5{,}40 \times 10^{-3}\ \text{m}$. Au point $A$ :

$\delta_A = \dfrac{b\,x_A}{D} = 0{,}250 \times 10^{-3}\ \text{m} \times \dfrac{5{,}40 \times 10^{-3}\ \text{m}}{1{,}50\ \text{m}} = 9{,}00 \times 10^{-7}\ \text{m} = 900\ \text{nm}$

On compare cette différence de marche à la longueur d’onde en formant le quotient :

$\dfrac{\delta_A}{\lambda} = \dfrac{900\ \text{nm}}{450\ \text{nm}} = 2{,}00$

Le quotient est un nombre entier : $\delta_A = 2\,\lambda$, les deux ondes arrivent en phase et les interférences sont constructives. Le point $A$ est sur une frange brillante.

De la même façon, au point $B$ :

$\delta_B = \dfrac{b\,x_B}{D} = 0{,}250 \times 10^{-3}\ \text{m} \times \dfrac{4{,}05 \times 10^{-3}\ \text{m}}{1{,}50\ \text{m}} = 6{,}75 \times 10^{-7}\ \text{m} = 675\ \text{nm}$

$\dfrac{\delta_B}{\lambda} = \dfrac{675\ \text{nm}}{450\ \text{nm}} = 1{,}50$

Le quotient est demi-entier : $\delta_B = \left(1 + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$, les deux ondes arrivent en opposition de phase. Le point $B$ est sur une frange sombre.

Enfin, au point $C$ :

$\delta_C = \dfrac{b\,x_C}{D} = 0{,}250 \times 10^{-3}\ \text{m} \times \dfrac{3{,}40 \times 10^{-3}\ \text{m}}{1{,}50\ \text{m}} = 5{,}67 \times 10^{-7}\ \text{m} = 567\ \text{nm}$

$\dfrac{\delta_C}{\lambda} = \dfrac{567\ \text{nm}}{450\ \text{nm}} = 1{,}26$

Ce quotient n’est ni entier ni demi-entier : le point $C$ est entre une frange brillante et une frange sombre, avec un éclairement intermédiaire.

2. Une frange brillante correspond à des interférences constructives : $\delta = k\,\lambda$, avec $k$ entier relatif. Avec l’expression donnée de $\delta$, l’abscisse $x_k$ de la frange brillante d’ordre $k$ vérifie :

$\dfrac{b\,x_k}{D} = k\,\lambda \quad \text{donc} \quad x_k = \dfrac{k\,\lambda\,D}{b}$

L’interfrange est la distance entre deux franges brillantes consécutives, d’ordres $k$ et $k + 1$ :

$i = x_{k+1} - x_k = \dfrac{(k+1)\,\lambda\,D}{b} - \dfrac{k\,\lambda\,D}{b} = \dfrac{\lambda\,D}{b}$

L’interfrange ne dépend pas de $k$ : les franges brillantes sont régulièrement espacées. Les franges sombres, où $\delta = \left(k + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$, sont à mi-chemin entre deux franges brillantes. Vérification des unités : un produit de deux longueurs divisé par une longueur donne une longueur, en mètres.

3. Avec toutes les longueurs en mètres :

$i = \dfrac{\lambda\,D}{b} = \dfrac{450 \times 10^{-9}\ \text{m} \times 1{,}50\ \text{m}}{0{,}250 \times 10^{-3}\ \text{m}} = 2{,}70 \times 10^{-3}\ \text{m} = 2{,}70\ \text{mm}$

Ce résultat est cohérent avec la question 1. D’une part, $x_A = 5{,}40\ \text{mm} = 2 \times 2{,}70\ \text{mm}$ : le point $A$ est sur la frange brillante d’ordre 2. D’autre part, $x_B = 4{,}05\ \text{mm} = 1{,}5 \times 2{,}70\ \text{mm}$ : le point $B$ est à mi-chemin entre les franges brillantes d’ordres 1 et 2, sur une frange sombre. Enfin, $x_C = 3{,}40\ \text{mm}$ est compris entre la frange brillante d’ordre 1, à $2{,}70\ \text{mm}$, et cette frange sombre, à $4{,}05\ \text{mm}$.

4. L’interfrange est proportionnel à la longueur d’onde. Le rouge a une plus grande longueur d’onde que le bleu : les franges s’écartent. Le nouvel interfrange vaut :

$i' = \dfrac{\lambda'\,D}{b} = \dfrac{650 \times 10^{-9}\ \text{m} \times 1{,}50\ \text{m}}{0{,}250 \times 10^{-3}\ \text{m}} = 3{,}90 \times 10^{-3}\ \text{m} = 3{,}90\ \text{mm}$

Réflexe à retenir : pour savoir ce qui se passe en un point, calcule $\delta$, puis le quotient $\delta / \lambda$. Entier, le point est sur une frange brillante ; demi-entier, sur une frange sombre ; ni l’un ni l’autre, l’éclairement est intermédiaire.

1. Chaque fente diffracte la lumière du laser : derrière la plaque, les deux faisceaux diffractés s’étalent et se superposent sur l’écran. En chaque point de l’écran, les deux ondes arrivent avec une différence de chemin optique $\delta$ qui dépend de la position du point. Là où elles arrivent en phase, les interférences sont constructives : on voit une frange brillante. Là où elles arrivent en opposition de phase, les interférences sont destructives : on voit une frange sombre.

Ces franges ne sont stables que si les deux ondes sont cohérentes, c’est-à-dire de même fréquence et de déphasage constant. Éclairées par le même faisceau, les deux fentes se comportent comme deux sources issues de la même onde : elles sont cohérentes. Avec deux lasers distincts, le déphasage varierait au hasard, et les franges se brouilleraient.

2. Le logiciel donne les abscisses des curseurs, $x_1 = -29{,}5\ \text{mm}$ et $x_2 = 29{,}5\ \text{mm}$. Ils sont séparés de :

$L = x_2 - x_1 = 29{,}5\ \text{mm} - (-29{,}5\ \text{mm}) = 59{,}0\ \text{mm}$

Entre les deux curseurs, on compte 9 franges brillantes, chacune entre deux franges sombres : $L$ couvre donc $N = 9$ interfranges.

$i = \dfrac{L}{N} = \dfrac{59{,}0\ \text{mm}}{9} = 6{,}56\ \text{mm}$

$u(i) = \dfrac{u(L)}{N} = \dfrac{0{,}3\ \text{mm}}{9} = 0{,}033\ \text{mm}$

L’incertitude de lecture, $u(L) = 0{,}3\ \text{mm}$, ne dépend pas de la distance mesurée : en mesurant neuf interfranges d’un coup, on divise par neuf l’incertitude sur $i$. Une mesure sur un seul interfrange donnerait $u(i) = 0{,}3\ \text{mm}$, soit une incertitude relative de près de $5\ \%$, au lieu de $0{,}5\ \%$ ici.

3. On isole $\lambda$ dans l’expression de l’interfrange, avec toutes les longueurs en mètres :

$\lambda = \dfrac{i\,b}{D} = 6{,}56 \times 10^{-3}\ \text{m} \times \dfrac{0{,}200 \times 10^{-3}\ \text{m}}{2{,}000\ \text{m}} = 6{,}56 \times 10^{-7}\ \text{m} = 656\ \text{nm}$

4. On calcule d’abord les trois incertitudes relatives :

$\dfrac{u(i)}{i} = \dfrac{0{,}033\ \text{mm}}{6{,}56\ \text{mm}} = 0{,}0050$

$\dfrac{u(b)}{b} = \dfrac{0{,}002\ \text{mm}}{0{,}200\ \text{mm}} = 0{,}010$

$\dfrac{u(D)}{D} = \dfrac{0{,}005\ \text{m}}{2{,}000\ \text{m}} = 0{,}0025$

On les combine avec la relation donnée, en calculant d’abord la somme des carrés :

$\left(\dfrac{u(\lambda)}{\lambda}\right)^2 = 0{,}0050^2 + 0{,}010^2 + 0{,}0025^2 = 1{,}3125 \times 10^{-4}$

$\dfrac{u(\lambda)}{\lambda} = \sqrt{1{,}3125 \times 10^{-4}} = 0{,}0115$

$u(\lambda) = 0{,}0115 \times 656\ \text{nm} = 7{,}5\ \text{nm}$

L’incertitude-type s’arrondit par excès à un seul chiffre significatif : $u(\lambda) = 8\ \text{nm}$. La valeur mesurée s’arrondit au même rang, celui du nanomètre. Le résultat de la mesure s’écrit donc : $\lambda = 656\ \text{nm}$, avec une incertitude-type $u(\lambda) = 8\ \text{nm}$.

Le terme le plus grand est $\dfrac{u(b)}{b} = 0{,}010$, deux fois plus grand que celui de l’interfrange et quatre fois plus grand que celui de la distance $D$ : c’est l’incertitude sur l’écartement des fentes, donnée par le fabricant, qui limite la précision. Mesurer encore plus d’interfranges ne l’améliorerait presque pas ; il faudrait une plaque dont l’écartement est connu plus précisément.

5. On compare la mesure à la valeur de l’étiquette, $\lambda_{\text{réf}} = 650\ \text{nm}$ :

$\dfrac{|\lambda - \lambda_{\text{réf}}|}{u(\lambda)} = \dfrac{|656\ \text{nm} - 650\ \text{nm}|}{8\ \text{nm}} = 0{,}75$

Le quotient est inférieur à $2$ : la mesure est compatible avec la longueur d’onde annoncée. L’écart de $6\ \text{nm}$ s’explique par les incertitudes de mesure : la mesure confirme l’indication de l’étiquette.

6. Chaque fente, de largeur $a$, diffracte la lumière : seule, elle donnerait sur l’écran une tache centrale de diffraction, bordée de taches beaucoup moins lumineuses. Les franges d’interférences n’apparaissent que là où arrive la lumière des deux fentes, c’est-à-dire essentiellement dans cette tache centrale, dont la courbe en pointillés dessine le contour. Sur le document 3, cette courbe s’annule vers $x = -52\ \text{mm}$ et $x = 52\ \text{mm}$ : ce sont les premières extinctions de la diffraction.

L’angle caractéristique $\theta$ est l’écart angulaire entre le milieu de la tache centrale et la première extinction, située à $52\ \text{mm}$ du centre, sur un écran à $D = 2{,}000\ \text{m}$. Pour un petit angle :

$\theta \approx \tan\theta = \dfrac{52 \times 10^{-3}\ \text{m}}{2{,}000\ \text{m}} = 2{,}6 \times 10^{-2}\ \text{rad}$

On en déduit la largeur de chaque fente :

$a = \dfrac{\lambda}{\theta} = \dfrac{656 \times 10^{-9}\ \text{m}}{2{,}6 \times 10^{-2}\ \text{rad}} = 2{,}5 \times 10^{-5}\ \text{m} = 25\ \mu\text{m}$

Le radian n’a pas de dimension : le résultat est bien une longueur, en mètres. Les fentes ont une largeur d’environ $25\ \mu\text{m}$, huit fois plus petite que leur écartement $b = 0{,}200\ \text{mm} = 200\ \mu\text{m}$.

Réflexe à retenir : mesure sur le plus grand nombre d’interfranges lisibles, compte les intervalles et non les franges, puis termine par la comparaison à la valeur de référence avec le quotient $\dfrac{|\lambda - \lambda_{\text{réf}}|}{u(\lambda)}$.