Exercices — Diffraction et interférences

1. On observe le phénomène de diffraction : le faisceau s’étale derrière la fente et forme une figure avec une tache centrale brillante bordée de taches secondaires. Le phénomène est marqué lorsque la largeur de la fente est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde (ou suffisamment petite devant elle).

2. On convertit d’abord : $\lambda = 633 \times 10^{-9}\ \text{m}$ et $a = 0{,}10\ \text{mm} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}$. Puis :

$\theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{633 \times 10^{-9}}{1{,}0 \times 10^{-4}} = 6{,}3 \times 10^{-3}\ \text{rad}$

Réflexe à retenir : $\theta = \lambda/a$ donne un angle en radians, et il doit toujours être petit (bien inférieur à 1 rad). Si tu trouves un angle énorme, vérifie tes conversions de nm et de mm.

1. On applique la relation :

$L = 2 \times 6{,}3 \times 10^{-3} \times 2{,}0 = 2{,}5 \times 10^{-2}\ \text{m} = 2{,}5\ \text{cm}$

2. Si $a$ diminue, alors $\theta = \lambda/a$ augmente, donc la tache centrale s’élargit. C’est le côté contre-intuitif de la diffraction : plus l’ouverture est étroite, plus la lumière s’étale.

Astuce de vérification : le facteur 2 vient du fait que la tache centrale s’étend de part et d’autre de l’axe ($\theta$ est un demi-angle). L’oublier est l’erreur classique de ce calcul.

1. Les conditions du cours ($k$ entier) :

• interférences constructives (frange brillante) : $\delta = k\,\lambda$ — les ondes arrivent en phase ;
• interférences destructives (frange sombre) : $\delta = \left(k + \dfrac{1}{2}\right)\lambda$ — les ondes arrivent en opposition de phase.

2. On calcule le rapport :

$\frac{\delta}{\lambda} = \frac{1{,}266 \times 10^{-6}}{633 \times 10^{-9}} = 2{,}0$

Le rapport est un nombre entier : $\delta = 2\lambda$, les interférences sont constructives, M est sur une frange brillante.

Réflexe à retenir : calcule toujours $\delta/\lambda$. Entier → brillant ; demi-entier (0,5 ; 1,5 ; 2,5…) → sombre ; ni l’un ni l’autre → point intermédiaire.

1. L’interfrange $i$ est la distance entre deux franges brillantes consécutives (ou deux franges sombres consécutives) sur l’écran :

$i = \frac{\lambda\,D}{b}$

2. On convertit tout en mètres : $\lambda = 600 \times 10^{-9}\ \text{m}$, $b = 3{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}$. Puis :

$i = \frac{600 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{3{,}0 \times 10^{-4}} = 4{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m} = 4{,}0\ \text{mm}$

Astuce de vérification : un interfrange se mesure en millimètres dans les expériences classiques. Un résultat en mètres ou en nanomètres signale presque toujours une conversion ratée. Moyen mnémotechnique pour la formule : le résultat doit être petit, donc la petite grandeur $\lambda$ est en haut et la petite grandeur $b$ en bas.

1. Entre la frange centrale et la 6e frange brillante, il y a exactement 6 interfranges :

$i = \frac{24{,}0}{6} = 4{,}0\ \text{mm}$

On mesure plusieurs interfranges pour réduire l’incertitude : l’erreur de lecture (fraction de millimètre) est divisée par le nombre d’interfranges mesurés.

2. On isole $\lambda$ dans la relation $i = \dfrac{\lambda D}{b}$ :

$\lambda = \frac{i\,b}{D} = \frac{4{,}0 \times 10^{-3} \times 3{,}0 \times 10^{-4}}{2{,}0} = 6{,}0 \times 10^{-7}\ \text{m} = 600\ \text{nm}$

C’est une lumière orangée (le visible s’étend d’environ 400 nm, violet, à 800 nm, rouge).

Astuce de vérification : une longueur d’onde visible doit être comprise entre 400 et 800 nm. Hors de cette fourchette, il y a une erreur — c’est le contrôle qualité instantané de tous les exercices d’optique.