Exercices — Décroissance radioactive

On applique les lois de conservation de Soddy : le nombre de masse $A$ et le numéro atomique $Z$ se conservent.

1. Conservation de $A$ : $222 = A + 4$ donc $A = 218$. Conservation de $Z$ : $86 = Z + 2$ donc $Z = 84$, c’est le polonium :

$^{222}_{86}\text{Rn} \longrightarrow \; ^{218}_{84}\text{Po} + \; ^{4}_{2}\text{He}$

Émission d’un noyau d’hélium : c’est une désintégration alpha ($\alpha$).

2. Conservation de $A$ : $14 = A + 0$ donc $A = 14$. Conservation de $Z$ : $6 = Z + (-1)$ donc $Z = 7$, c’est l’azote :

$^{14}_{6}\text{C} \longrightarrow \; ^{14}_{7}\text{N} + \; ^{0}_{-1}\text{e}$

Émission d’un électron : c’est une désintégration bêta moins ($\beta^-$).

1. La demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés.

2. On remarque que $15{,}9 = 3 \times 5{,}3$ : il s’est écoulé 3 demi-vies. À chaque demi-vie, le nombre de noyaux est divisé par 2 :

$N = \frac{N_0}{2^3} = \frac{8{,}0 \times 10^{20}}{8} = 1{,}0 \times 10^{20} \text{ noyaux}$

Réflexe utile : avant de sortir la formule $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, regarde si la durée est un multiple entier de la demi-vie — le calcul devient alors immédiat.

1. L’activité, comme le nombre de noyaux, est divisée par 2 à chaque demi-vie :

$100\ \% \xrightarrow{\;t_{1/2}\;} 50\ \% \xrightarrow{\;t_{1/2}\;} 25\ \%$

Une activité résiduelle de $25\ \% = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2}$ correspond exactement à 2 demi-vies.

2. L’âge du bois est donc :

$t = 2 \times t_{1/2} = 2 \times 5730 = 11\,460 \text{ ans}$

L’arbre a été coupé il y a environ 11 500 ans. C’est le principe de la datation au carbone 14, utilisable jusqu’à environ 50 000 ans (au-delà, il reste trop peu de carbone 14 pour une mesure fiable).

1. L’activité $A$ d’un échantillon est le nombre de désintégrations par seconde qui s’y produisent. Elle se mesure en becquerels ($\text{Bq}$) :

$1\ \text{Bq} = 1 \text{ désintégration par seconde}$

Ici, $A_0 = 6{,}4 \times 10^{8}\ \text{Bq}$ signifie que 640 millions de noyaux d’iode 131 se désintègrent chaque seconde dans l’échantillon.

2. On compte d’abord le nombre de demi-vies écoulées :

$\frac{32}{8{,}0} = 4 \text{ demi-vies}$

L’activité est donc divisée par $2^4 = 16$ :

$A = \frac{A_0}{2^4} = \frac{6{,}4 \times 10^{8}}{16} = 4{,}0 \times 10^{7}\ \text{Bq}$

Réflexe à retenir : l’activité suit exactement la même loi que le nombre de noyaux — tout raisonnement « divisé par 2 à chaque demi-vie » valable pour $N$ l’est aussi pour $A$.

1. On applique la relation du cours qui lie la constante radioactive à la demi-vie :

$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{30} = 2{,}3 \times 10^{-2}\ \text{an}^{-1}$

2. On applique la loi de décroissance à $t = 60$ ans :

$\lambda t = \frac{\ln 2}{30} \times 60 = 2\ln 2 \qquad \text{donc} \qquad e^{-\lambda t} = e^{-2\ln 2} = \frac{1}{2^2} = 0{,}25$

$N(60) = N_0\,e^{-\lambda t} = 8{,}0 \times 10^{15} \times 0{,}25 = 2{,}0 \times 10^{15} \text{ noyaux}$

3. Vérification sans formule : $60 = 2 \times 30$, il s’est écoulé 2 demi-vies, donc le nombre de noyaux a été divisé par $2^2 = 4$ :

$N = \frac{8{,}0 \times 10^{15}}{4} = 2{,}0 \times 10^{15} \text{ noyaux}$

Les deux méthodes concordent.

Réflexe à retenir : quand la durée est un multiple entier de $t_{1/2}$, le raisonnement « divisé par 2 à chaque demi-vie » est le moyen le plus rapide de vérifier ton calcul exponentiel — utilise-le systématiquement en contrôle.