Exercices — Chute libre verticale sans vitesse initiale — exercice corrigé

1. La bille n’est soumise qu’à son poids (chute libre). La deuxième loi de Newton donne :

$m\vec{g} = m\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{a} = \vec{g}$

L’axe $Oz$ pointe vers le bas, comme $\vec{g}$ : donc $a_z = +g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$. (C’est tout l’intérêt de ce choix d’axe : pas de signe moins à traîner !)

2. On intègre $a_z$ par rapport au temps. La vitesse initiale est nulle (objet lâché, pas lancé), donc la constante d’intégration vaut 0 :

$v_z(t) = g\,t$

La vitesse augmente de $9{,}81~\text{m·s}^{-1}$ à chaque seconde de chute.

3. On intègre à nouveau. La position initiale est $z(0) = 0$ :

$z(t) = \dfrac{1}{2}g\,t^{2}$

Ce sont les deux formules clés de la chute libre sans vitesse initiale : $v = g\,t$ et $z = \frac{1}{2}g\,t^{2}$.

1. On applique $h = \dfrac{1}{2}g\,\Delta t^{2}$ :

$h = \dfrac{1}{2} \times 9{,}81 \times (1{,}5)^{2} = 11~\text{m}$

Le pont domine l’eau d’environ 11 m (l’équivalent d’un immeuble de 3 étages : voilà comment un simple chronomètre permet de mesurer une hauteur !).

2. La vitesse d’impact vaut :

$v = g\,\Delta t = 9{,}81 \times 1{,}5 = 15~\text{m·s}^{-1}$

Conversion : $15 \times 3{,}6 = 53~\text{km·h}^{-1}$. Une chute d’à peine 1,5 s suffit pour atteindre la vitesse d’une voiture en ville.

1. Le pot touche le sol quand $z(t_f) = h$ :

$\dfrac{1}{2}g\,t_f^{2} = h \quad \Rightarrow \quad t_f^{2} = \dfrac{2h}{g} \quad \Rightarrow \quad t_f = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

Application numérique :

$t_f = \sqrt{\dfrac{2 \times 20}{9{,}81}} = 2{,}0~\text{s}$

2. Première méthode : $v = g\,t_f = 9{,}81 \times 2{,}02 = 20~\text{m·s}^{-1}$.

Deuxième méthode : $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 20} = 20~\text{m·s}^{-1}$.

Les deux méthodes donnent bien le même résultat : environ 20 m·s⁻¹, soit 71 km·h⁻¹. La formule $v = \sqrt{2gh}$ est un raccourci précieux quand la durée n’est pas demandée.

1. Sur la Lune, il n’y a pas d’atmosphère, donc pas de frottements : les deux objets sont en chute libre et $\vec{a} = \vec{g}$ quelle que soit la masse. Sur Terre, la plume serait fortement freinée par l’air (grande surface, faible masse) : elle arriverait bien après le marteau. Ce n’est pas la gravité qui les départage, c’est l’air !

2. Sur la Lune :

$t_{Lune} = \sqrt{\dfrac{2h}{g_{Lune}}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}40}{1{,}62}} = 1{,}3~\text{s}$

3. Sur Terre :

$t_{Terre} = \sqrt{\dfrac{2h}{g_{Terre}}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}40}{9{,}81}} = 0{,}53~\text{s}$

La chute dure environ 2,5 fois plus longtemps sur la Lune : c’est le rapport $\sqrt{g_{Terre}/g_{Lune}} = \sqrt{9{,}81/1{,}62} \approx 2{,}5$. C’est pour cela que les astronautes semblent se déplacer « au ralenti » dans les vidéos des missions Apollo.