Exercices corrigés — Mouvement dans un champ de pesanteur

1. Bilan des forces et accélération. Frottements négligés : la balle n’est soumise qu’à son poids $\vec{P} = m\vec{g}$. La deuxième loi de Newton s’écrit :

$\sum \vec{F} = m\vec{a} \quad \Rightarrow \quad m\vec{g} = m\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{a} = \vec{g}$

La masse se simplifie : elle ne joue aucun rôle ! Avec $Oz$ vers le haut :

$\vec{a} \begin{cases} a_x = 0 \\ a_z = -g \end{cases}$

2. Vitesse. L’accélération est la dérivée de la vitesse : on intègre chaque coordonnée, puis on détermine les constantes avec la condition initiale $\vec{v}(0) = \vec{v}_0$ (horizontale, donc $v_x(0) = v_0$ et $v_z(0) = 0$) :

$\vec{v}(t) \begin{cases} v_x(t) = v_0 \\ v_z(t) = -g\,t \end{cases}$

La vitesse horizontale reste constante ; la vitesse verticale croît (vers le bas) au cours de la chute.

3. Position. On intègre encore, avec la position initiale $x(0) = 0$ et $z(0) = h$ :

$\begin{cases} x(t) = v_0\,t \\ z(t) = -\dfrac{1}{2}g\,t^{2} + h \end{cases}$

Soit numériquement : $x(t) = 8{,}0\,t$ et $z(t) = -4{,}905\,t^{2} + 1{,}80$.

La méthode à retenir (elle est identique dans tous les exercices de ce chapitre) : bilan des forces → 2e loi de Newton → $\vec{a}$ → intégration → $\vec{v}(t)$ → intégration → position, en utilisant les conditions initiales à chaque étape.

1. En dérivant $z(t)$ (ou en intégrant $a_z = -g$) :

$v_z(t) = -g\,t + v_0 \sin\alpha$

Au sommet, la balle ne monte plus et ne descend pas encore : $v_z = 0$ (attention, la vitesse totale n’est pas nulle : il reste la composante horizontale !).

2. On résout $v_z(t_S) = 0$ :

$t_S = \dfrac{v_0 \sin\alpha}{g} = \dfrac{10{,}0 \times \sin 45°}{9{,}81} = 0{,}72~\text{s}$

3. On reporte $t_S$ dans $z(t)$ :

$z_{max} = -\dfrac{1}{2} \times 9{,}81 \times (0{,}721)^{2} + 10{,}0 \times \sin 45° \times 0{,}721 = 2{,}5~\text{m}$

La balle culmine à 2,5 m au-dessus du sol. Réflexe utile : la condition « sommet » se traduit toujours par $v_z = 0$, jamais par $v = 0$.

1. On compare avec les équations générales $x(t) = v_{0x}\,t$ et $z(t) = -\frac{1}{2}g\,t^{2} + v_{0z}\,t$ :

$v_{0x} = 5{,}2~\text{m·s}^{-1} \qquad v_{0z} = 3{,}0~\text{m·s}^{-1}$

2. La valeur de la vitesse initiale s’obtient avec le théorème de Pythagore :

$v_0 = \sqrt{v_{0x}^{2} + v_{0z}^{2}} = \sqrt{5{,}2^{2} + 3{,}0^{2}} = 6{,}0~\text{m·s}^{-1}$

Et l’angle de tir :

$\tan\alpha = \dfrac{v_{0z}}{v_{0x}} = \dfrac{3{,}0}{5{,}2} \quad \Rightarrow \quad \alpha = 30°$

3. Le coefficient de $t^{2}$ dans $z(t)$ vaut $-\frac{g}{2}$ :

$\dfrac{g}{2} = 4{,}905 \quad \Rightarrow \quad g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$

C’est bien la valeur du champ de pesanteur terrestre. Ce sens de lecture « équations → conditions initiales » tombe très souvent au bac : entraîne-toi dans les deux sens !

1. Même méthode qu’à l’exercice 1 : $\vec{a} = \vec{g}$, vitesse initiale horizontale, d’où :

$\begin{cases} x(t) = v_0\,t \\ z(t) = -\dfrac{1}{2}g\,t^{2} \end{cases}$

2. La bille touche le sol quand $z = -h$ :

$-\dfrac{1}{2}g\,t_f^{2} = -h \quad \Rightarrow \quad t_f = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}20}{9{,}81}} = 0{,}49~\text{s}$

Remarque clé : cette durée ne dépend pas de $v_0$ — que la bille roule vite ou lentement, elle tombe pendant la même durée !

3. À cette date, $x(t_f) = d$ :

$v_0 = \dfrac{d}{t_f} = \dfrac{0{,}60}{0{,}495} = 1{,}2~\text{m·s}^{-1}$

4. À l’impact : $v_x = v_0 = 1{,}21~\text{m·s}^{-1}$ et $v_z = -g\,t_f = -9{,}81 \times 0{,}495 = -4{,}85~\text{m·s}^{-1}$, d’où :

$v = \sqrt{v_x^{2} + v_z^{2}} = \sqrt{1{,}21^{2} + 4{,}85^{2}} = 5{,}0~\text{m·s}^{-1}$

La bille arrive au sol à 5,0 m·s⁻¹, soit environ 18 km·h⁻¹.