Exercices — Mouvement dans un champ de gravitation

1. D’après la loi de gravitation universelle :

$F = G\,\frac{M_T\,m}{r^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 6{,}0 \times 10^{24} \times 1{,}0 \times 10^3}{\left(7{,}0 \times 10^6\right)^2}$

$F = \frac{4{,}0 \times 10^{17}}{4{,}9 \times 10^{13}} = 8{,}2 \times 10^3\ \text{N}$

2. La force $\vec{F}$ est dirigée selon la droite qui joint le centre de la Terre au satellite, et orientée vers le centre de la Terre (force attractive) : on dit qu’elle est centripète.

Astuce de vérification : sépare toujours puissances de 10 et chiffres. Ici $10^{-11+24+3-13} = 10^3$, et $\frac{6{,}67 \times 6{,}0}{49} \approx 0{,}82$, d’où $8{,}2 \times 10^3$ ✓.

1. Les trois lois de Kepler :

• 1re loi (loi des orbites) : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers ;
• 2e loi (loi des aires) : le segment reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales (la planète va donc plus vite près du Soleil) ;
• 3e loi (loi des périodes) : le rapport $\dfrac{T^2}{a^3}$ est le même pour toutes les planètes du système solaire ($T$ : période de révolution, $a$ : demi-grand axe de l’ellipse).

2. Pour une orbite circulaire, l’ellipse devient un cercle : le demi-grand axe $a$ est remplacé par le rayon $r$ de l’orbite :

$\frac{T^2}{r^3} = \text{constante} = \frac{4\pi^2}{G\,M}$

où $M$ est la masse de l’astre attracteur.

Réflexe à retenir : la constante de la 3e loi ne dépend que de l’astre central (le Soleil pour les planètes, la Terre pour ses satellites) — jamais de l’astre qui tourne.

1. On applique la formule :

$v = \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 6{,}0 \times 10^{24}}{7{,}0 \times 10^6}} = \sqrt{5{,}7 \times 10^7} = 7{,}6 \times 10^3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

soit environ $7{,}6\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ (plus de 27 000 km/h !).

2. La masse du satellite n’apparaît pas dans la formule : à une altitude donnée, tous les satellites ont la même vitesse, qu’ils pèsent 100 kg ou 10 tonnes. Seuls comptent la masse de l’astre central et le rayon de l’orbite.

Astuce de vérification : ordre de grandeur à connaître — la vitesse d’un satellite en orbite basse autour de la Terre est de l’ordre de 8 km/s. Si tu trouves 8 m/s ou 8 000 km/s, cherche l’erreur de puissance de 10.

1. Le mouvement étant circulaire uniforme, le satellite parcourt le périmètre de l’orbite ($2\pi r$) pendant une période :

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \times 7{,}0 \times 10^6}{7{,}6 \times 10^3} = 5{,}8 \times 10^3\ \text{s}$

2. On convertit :

$T = \frac{5{,}8 \times 10^3}{60} \approx 97\ \text{min}$

soit environ 1 h 37 min par tour de Terre.

Astuce de vérification : ordre de grandeur à retenir — un satellite en orbite basse (comme l’ISS) fait le tour de la Terre en environ 1 h 30. Ton résultat doit s’en approcher ✓.

1. On isole $r^3$ dans la troisième loi de Kepler :

$r^3 = \frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2} = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 6{,}0 \times 10^{24} \times \left(86\,164\right)^2}{4\pi^2} = 7{,}5 \times 10^{22}\ \text{m}^3$

puis on prend la racine cubique :

$r = \left(7{,}5 \times 10^{22}\right)^{1/3} = 4{,}2 \times 10^7\ \text{m}$

2. Le rayon $r$ est mesuré depuis le centre de la Terre. L’altitude se compte depuis le sol :

$h = r - R_T = 4{,}2 \times 10^7 - 6{,}4 \times 10^6 = 3{,}6 \times 10^7\ \text{m} = 36\,000\ \text{km}$

Réflexe à retenir : l’altitude du satellite géostationnaire, 36 000 km, est un résultat archi-classique du bac — connaître cet ordre de grandeur te permet de vérifier ton calcul en un coup d’œil. Et attention au piège : ne confonds jamais rayon d’orbite $r$ et altitude $h = r - R_T$.