Exercices — Mouvement dans un champ électrique uniforme — exercice corrigé

1. La valeur de la force est :

$F = |q|\,E = 1{,}60 \times 10^{-19} \times 1{,}0 \times 10^{4} = 1{,}6 \times 10^{-15}~\text{N}$

La charge de l’électron est négative ($q = -e$) : la force $\vec{F} = q\vec{E}$ est donc de sens opposé à $\vec{E}$.

2. Le poids vaut :

$P = m_e\,g = 9{,}11 \times 10^{-31} \times 9{,}81 = 8{,}9 \times 10^{-30}~\text{N}$

Comparons : $\dfrac{F}{P} = \dfrac{1{,}6 \times 10^{-15}}{8{,}9 \times 10^{-30}} \approx 2 \times 10^{14}$.

La force électrique est environ 200 000 milliards de fois plus grande que le poids : on peut le négliger sans remords. C’est une justification à savoir rédiger, elle rapporte des points.

3. Deuxième loi de Newton avec la seule force électrique :

$a = \dfrac{F}{m_e} = \dfrac{1{,}6 \times 10^{-15}}{9{,}11 \times 10^{-31}} = 1{,}8 \times 10^{15}~\text{m·s}^{-2}$

Une accélération colossale — sans commune mesure avec $g$ ! C’est pour cela que les électrons atteignent très vite des vitesses énormes dans les tubes et les accélérateurs.

1. Les deux charges ont la même valeur absolue $e$, donc les deux forces ont la même valeur :

$F = e\,E = 1{,}60 \times 10^{-19} \times 5{,}0 \times 10^{3} = 8{,}0 \times 10^{-16}~\text{N}$

Elles ont la même direction (celle de $\vec{E}$) mais des sens opposés : le proton ($q = +e$) est poussé dans le sens de $\vec{E}$, l’électron ($q = -e$) dans le sens contraire.

2. Pour le proton :

$a_p = \dfrac{F}{m_p} = \dfrac{8{,}0 \times 10^{-16}}{1{,}67 \times 10^{-27}} = 4{,}8 \times 10^{11}~\text{m·s}^{-2}$

Pour l’électron :

$a_e = \dfrac{F}{m_e} = \dfrac{8{,}0 \times 10^{-16}}{9{,}11 \times 10^{-31}} = 8{,}8 \times 10^{14}~\text{m·s}^{-2}$

Conclusion : même force, mais l’électron, environ 1836 fois plus léger, subit une accélération environ 1836 fois plus grande. Contrairement au champ de pesanteur (où $\vec{a} = \vec{g}$ pour tous), l’accélération dépend ici du rapport $\dfrac{|q|}{m}$ de la particule.

1. Dans les deux cas, la particule subit une force constante verticale, donc une accélération constante, avec une vitesse initiale horizontale. Les équations sont les mêmes que pour la balle qui roule de la table : il suffit de remplacer $g$ par $a = \dfrac{|q|E}{m}$. La trajectoire sera donc une parabole.

2. Mouvement uniforme sur $Ox$, uniformément accéléré sur $Oy$ (vers le bas) :

$\begin{cases} x(t) = v_0\,t \\ y(t) = -\dfrac{1}{2}a\,t^{2} \end{cases}$

3. Durée de traversée : $x(t_S) = L$ donne :

$t_S = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{5{,}0 \times 10^{-2}}{2{,}0 \times 10^{7}} = 2{,}5 \times 10^{-9}~\text{s}$

Soit 2,5 nanosecondes ! Déviation verticale à la sortie :

$|y(t_S)| = \dfrac{1}{2} \times 1{,}8 \times 10^{15} \times (2{,}5 \times 10^{-9})^{2} = 5{,}6 \times 10^{-3}~\text{m} \approx 5{,}6~\text{mm}$

Quelques millimètres suffisent : c’était le principe de la déviation du faisceau dans les anciens téléviseurs à tube cathodique et dans les oscilloscopes analogiques.

1. Le proton (charge $+e$) subit la force constante $\vec{F} = e\vec{E}$, de même sens que $\vec{E}$ et que sa vitesse : la trajectoire reste rectiligne et l’accélération est constante :

$a = \dfrac{eE}{m_p} = \dfrac{1{,}60 \times 10^{-19} \times 2{,}0 \times 10^{4}}{1{,}67 \times 10^{-27}} = 1{,}9 \times 10^{12}~\text{m·s}^{-2}$

2. Avec un axe $Ox$ dans le sens du mouvement, $v(0) = 0$ et $x(0) = 0$ :

$v(t) = a\,t \qquad x(t) = \dfrac{1}{2}a\,t^{2}$

À la distance $d$ : $t_d = \sqrt{\dfrac{2d}{a}}$, et donc :

$v = a\,t_d = a\sqrt{\dfrac{2d}{a}} = \sqrt{2ad}$

(Exactement la même formule que $v = \sqrt{2gh}$ pour la chute libre — l’analogie fonctionne jusqu’au bout !)

3. Application numérique :

$v = \sqrt{2 \times 1{,}9 \times 10^{12} \times 0{,}10} = 6{,}2 \times 10^{5}~\text{m·s}^{-1}$

En 10 cm, le proton atteint environ 620 km·s⁻¹ : c’est le principe de base des accélérateurs linéaires de particules.