Exercices corrigés — Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme

1. Entre les armatures, le champ $\vec{E}$ est uniforme : même direction, même sens et même valeur en tout point. Il est perpendiculaire aux armatures et orienté de l’armature positive vers l’armature négative.

2. Attention à la conversion : $d = 2{,}0~\text{cm} = 2{,}0 \times 10^{-2}~\text{m}$.

$E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{500}{2{,}0 \times 10^{-2}} = 2{,}5 \times 10^{4}~\text{V·m}^{-1}$

3. $E = U/d$ : si $d$ est divisée par 2 à $U$ constante, le champ est doublé : $E' = 5{,}0 \times 10^{4}~\text{V·m}^{-1}$. Rapprocher les armatures intensifie le champ — à retenir pour discuter les résultats d’un exercice.

1. L’électron subit la seule force électrique, de valeur $F = eE$. Son accélération vaut :

$a = \dfrac{eE}{m_e} = \dfrac{1{,}60 \times 10^{-19} \times 2{,}0 \times 10^{3}}{9{,}11 \times 10^{-31}} = 3{,}5 \times 10^{14}~\text{m·s}^{-2}$

Force constante perpendiculaire à $\vec{v}_0$ : la situation est analogue au projectile dans le champ de pesanteur, la trajectoire est une parabole (incurvée vers l’armature positive, car la charge de l’électron est négative).

2. Mouvement uniforme selon $Ox$, uniformément accéléré selon $Oy$ :

$\begin{cases} x(t) = v_0\,t \\ y(t) = \dfrac{1}{2}a\,t^{2} \end{cases}$

L’électron sort quand $x = L$ :

$t_S = \dfrac{L}{v_0} = \dfrac{8{,}0 \times 10^{-2}}{1{,}5 \times 10^{7}} = 5{,}3 \times 10^{-9}~\text{s}$

3. On reporte dans $y(t)$ :

$y_S = \dfrac{1}{2} \times 3{,}5 \times 10^{14} \times (5{,}33 \times 10^{-9})^{2} = 5{,}0 \times 10^{-3}~\text{m} = 5{,}0~\text{mm}$

L’électron est dévié de 5,0 mm pendant la traversée. En modulant la tension (donc $E$), on contrôle la déviation : c’est ainsi que les oscilloscopes analogiques dessinaient les signaux à l’écran.

1. Le travail de la force électrique entre les armatures vaut $W = eU$. D’après le théorème de l’énergie cinétique, comme l’électron part du repos :

$E_c = e\,U = 1{,}60 \times 10^{-19} \times 1{,}0 \times 10^{3} = 1{,}6 \times 10^{-16}~\text{J}$

(Cette énergie vaut exactement 1000 eV = 1 keV : l’électronvolt est fait pour ça.)

2. On écrit $E_c = \dfrac{1}{2}m_e v^{2}$ et on isole $v$ :

$v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m_e}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 1{,}6 \times 10^{-16}}{9{,}11 \times 10^{-31}}} = 1{,}9 \times 10^{7}~\text{m·s}^{-1}$

Presque 19 000 km·s⁻¹ (environ 6 % de la vitesse de la lumière) avec une simple tension de 1000 V : voilà pourquoi les champs électriques sont l’outil de base pour accélérer les particules.

1. Avec $d = 0{,}40~\text{m}$ :

$E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{2{,}0 \times 10^{5}}{0{,}40} = 5{,}0 \times 10^{5}~\text{V·m}^{-1}$

2. L’énergie cinétique acquise vaut :

$E_c = e\,U = 1{,}60 \times 10^{-19} \times 2{,}0 \times 10^{5} = 3{,}2 \times 10^{-14}~\text{J}$

En électronvolts : $E_c = \dfrac{3{,}2 \times 10^{-14}}{1{,}60 \times 10^{-19}} = 2{,}0 \times 10^{5}~\text{eV} = 200~\text{keV}$.

(Logique : une charge $e$ accélérée sous $U$ volts gagne exactement $U$ électronvolts.)

3. On isole $v$ dans $E_c = \dfrac{1}{2}m_p v^{2}$ :

$v = \sqrt{\dfrac{2E_c}{m_p}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 3{,}2 \times 10^{-14}}{1{,}67 \times 10^{-27}}} = 6{,}2 \times 10^{6}~\text{m·s}^{-1}$

Soit environ 6200 km·s⁻¹ après un seul étage. En enchaînant les étages, on atteint des énergies bien plus grandes.

4. Ce principe est utilisé dans les accélérateurs de particules (comme le LHC au CERN, dont les premiers étages sont des accélérateurs linéaires), mais aussi en protonthérapie pour traiter certains cancers, ou dans les implanteurs ioniques qui fabriquent les puces électroniques.