Décrire un mouvement seconde : exercices corrigés (PDF)

Une balle qui roule, un avion qui vole, une cigogne qui migre : avant d’expliquer pourquoi un objet bouge, il faut savoir dire comment il bouge. C’est l’objet de ce chapitre, et la mécanique de 1re et de terminale repose sur lui. Tu y apprends à choisir le système et le référentiel, à réduire un objet à un seul point, à construire un vecteur vitesse avec deux positions voisines, puis à lire une chronophotographie. Les exercices 1 à 3 se font sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les exercices 4 et 5 sont des situations de contrôle, avec un corrigé rédigé comme au tableau. La suite du programme part de là : modéliser une action par une force, puis le principe d’inertie.

Décrire un mouvement

1Le système et le référentiel

Le système est l'objet dont on étudie le mouvement. Le référentiel est l'objet par rapport auquel on le décrit : le sol pour le référentiel terrestre, mais aussi un train, un bateau ou un avion.

« au repos » ou « en mouvement » : dans quel référentiel ?

Exemple : une passagère assise dans un tramway est au repos dans le référentiel du tramway, et en mouvement dans le référentiel terrestre.

Un référentiel qui se déplace sans tourner par rapport à un autre est en translation : passer de l'un à l'autre change en général la valeur de la vitesse du système, et parfois la forme de sa trajectoire.

2Un point et sa trajectoire

On décrit le système par le mouvement d'un seul de ses points. Cette modélisation fait perdre sa taille, sa forme et la rotation de ses parties.

La trajectoire est l'ensemble des positions successives du point, dans le référentiel choisi.

Les échelles du mouvement, c'est-à-dire l'ordre de grandeur des longueurs parcourues et des durées observées, fixent l'unité des relevés et la durée entre deux relevés.

3Le vecteur déplacement et le vecteur vitesse

v ≈ MM′ / Δt · v = MM′ / Δt

origine : le point M, la première des deux positions voisines ;
direction : celle de la droite (MM′) ; sens : de M vers M′ ;
valeur : v en m·s⁻¹, MM′ en m, Δt en s ; la flèche est tracée à une échelle choisie.

Entre deux positions qui ne sont pas voisines, le même quotient donne le vecteur vitesse moyenne. Conversion : une valeur en m·s⁻¹ multipliée par 3,6 donne la valeur en km·h⁻¹.

4Lire une chronophotographie

Deux positions voisines sont séparées par la même durée Δt : l'espacement des positions renseigne sur la valeur de la vitesse.

mouvement = forme de la trajectoire + évolution de la valeur

Exemples : rectiligne uniforme, rectiligne non uniforme, circulaire uniforme. Le vecteur vitesse ne reste constant que dans un mouvement rectiligne uniforme : ailleurs, sa direction, son sens ou sa valeur change.

La carte du chapitre : choisir le système et le référentiel, suivre un point, construire le vecteur vitesse, puis lire une chronophotographie.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Écris l’unité après chaque valeur, et mets les durées en secondes et les longueurs en mètres avant de calculer une vitesse. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Décrire un mouvement : le cours en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

Pour décrire un mouvement, on désigne d'abord le , c'est-à-dire l'objet étudié, puis le par rapport auquel on le décrit. On suit le plus souvent un seul point du système : cette modélisation fait perdre les informations sur sa taille, sa forme et la . La trajectoire est l'ensemble des positions successives du point ; elle peut être rectiligne, circulaire ou . Le vecteur déplacement d'un point qui revient à sa position de départ est . Le vecteur vitesse au point M s'approche par le vecteur déplacement de M à la position suivante M′, divisé par la ; il est tracé à partir du point . Sur une chronophotographie, des positions de plus en plus serrées signalent une valeur de vitesse qui . Le vecteur vitesse reste constant seulement dans un mouvement .

Exercice 4

Décrire un mouvement dans deux référentiels

★★★

Application directe : le ravitaillement en vol d'un avion de chasse

Un avion de chasse peut faire le plein de carburant en plein vol. Un avion ravitailleur déroule derrière lui un long tuyau, terminé par un panier ; le pilote du chasseur vient planter dans ce panier la perche fixée sur le nez de son avion. Pendant l’opération, le ravitailleur vole en ligne droite, à altitude constante et à vitesse de valeur constante. Le chasseur arrive par l’arrière, sur la même droite et dans le même sens, puis se rapproche lentement du panier.

Données :

valeur de la vitesse du ravitailleur dans le référentiel terrestre : $v_{\text{R}} = 150\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ;
on attache au ravitailleur un axe orienté vers l’avant, dans le sens du vol, dont l’origine O est le panier ; on note $x$ l’abscisse de la pointe de la perche sur cet axe ;
à la date $t_0 = 0\ \text{s}$ , $x_0 = -12{,}0\ \text{m}$ ; à la date $t_1 = 4{,}00\ \text{s}$ , $x_1 = -4{,}0\ \text{m}$ ; entre ces deux dates, le chasseur se rapproche du panier à vitesse de valeur constante ;
valeur d’une vitesse : $v = \dfrac{d}{\Delta t}$ , avec $d$ la distance parcourue en $\text{m}$ et $\Delta t$ la durée en $\text{s}$ ; on en tire $d = v \times \Delta t$ ;
une valeur en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ multipliée par 3,6 donne la valeur en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ ;
deux déplacements portés par la même droite et de même sens s’ajoutent.

On étudie le mouvement du chasseur, modélisé par la pointe de sa perche. Nommer le système, puis deux référentiels utiles pour décrire son mouvement. Expliquer pourquoi le référentiel du ravitailleur est en translation par rapport au référentiel terrestre.
Convertir la valeur de la vitesse du ravitailleur en kilomètres par heure.
Que signifie le signe de $x_0$ ? Calculer le déplacement algébrique $\Delta x = x_1 - x_0$ de la perche entre $t_0$ et $t_1$ , puis la valeur de la vitesse du chasseur dans le référentiel du ravitailleur.
Calculer la distance parcourue par le panier dans le référentiel terrestre entre $t_0$ et $t_1$ , puis celle parcourue par le chasseur. En déduire la valeur de la vitesse du chasseur dans le référentiel terrestre.
Une fois la perche dans le panier, le chasseur garde la même place derrière le ravitailleur pendant le plein. Décrire alors son mouvement dans le référentiel du ravitailleur, puis dans le référentiel terrestre.

Voir le corrigé

1. Le système est l’avion de chasse, modélisé par un point : la pointe de sa perche. Deux référentiels sont utiles : le référentiel terrestre, attaché au sol, et le référentiel du ravitailleur, attaché à l’avion ravitailleur.

Le ravitailleur vole en ligne droite, à altitude constante, sans tourner : chaque segment que l’on tracerait sur lui, d’une aile à l’autre ou du nez à la queue, garde la même direction pendant le vol. Son référentiel est donc en translation par rapport au référentiel terrestre.

2. Pour passer des $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ aux $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ , on multiplie par 3,6 :

$v_{\text{R}} = 150\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \times 3{,}6 = 540\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$

3. Le signe moins de $x_0 = -12{,}0\ \text{m}$ indique que la pointe de la perche se trouve du côté opposé au sens de l’axe, c’est-à-dire derrière le panier, à $12{,}0\ \text{m}$ de lui. Le déplacement algébrique vaut l’abscisse d’arrivée moins l’abscisse de départ :

$\Delta x = x_1 - x_0 = (-4{,}0\ \text{m}) - (-12{,}0\ \text{m}) = +8{,}0\ \text{m}$

Le signe plus indique que la perche s’est déplacée dans le sens de l’axe, vers l’avant : elle s’est rapprochée du panier de $8{,}0\ \text{m}$ . Ce déplacement a duré $\Delta t = t_1 - t_0 = 4{,}00\ \text{s}$ . On note $v_{\text{rav}}$ la valeur de la vitesse du chasseur dans le référentiel du ravitailleur :

$v_{\text{rav}} = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{8{,}0\ \text{m}}{4{,}00\ \text{s}} = 2{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Dans le référentiel du ravitailleur, le chasseur avance lentement : $2{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , soit $7{,}2\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ , l’allure d’une marche rapide.

4. Dans le référentiel terrestre, le panier avance avec le ravitailleur, à la valeur de vitesse $v_{\text{R}}$ , pendant $\Delta t = 4{,}00\ \text{s}$ :

$d_{\text{R}} = v_{\text{R}} \times \Delta t = 150\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \times 4{,}00\ \text{s} = 600\ \text{m}$

Le chasseur avance de ces $600\ \text{m}$ avec le ravitailleur, et en plus de $8{,}0\ \text{m}$ par rapport à lui, dans le même sens : les deux déplacements s’ajoutent.

$d_{\text{C}} = 600\ \text{m} + 8{,}0\ \text{m} = 608\ \text{m}$

On note $v_{\text{sol}}$ la valeur de la vitesse du chasseur dans le référentiel terrestre :

$v_{\text{sol}} = \dfrac{d_{\text{C}}}{\Delta t} = \dfrac{608\ \text{m}}{4{,}00\ \text{s}} = 152\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Le même mouvement, observé dans deux référentiels, donne deux valeurs de vitesse très différentes : $2{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ dans le référentiel du ravitailleur, $152\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ dans le référentiel terrestre. Les deux vecteurs vitesse ont la même direction, celle de la ligne de vol, et le même sens, vers l’avant : seule leur valeur change.

5. Dans le référentiel du ravitailleur, la pointe de la perche garde la même position, $x = 0\ \text{m}$ : le chasseur est au repos, et son vecteur vitesse est nul.

Dans le référentiel terrestre, le chasseur avance avec le ravitailleur : en ligne droite, à vitesse de valeur constante, $150\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Son mouvement est rectiligne uniforme.

Réflexe à retenir : une description de mouvement commence par le référentiel, « dans le référentiel du ravitailleur… », « dans le référentiel terrestre… ». Quand un référentiel est en translation par rapport à un autre, la valeur de la vitesse du système change en général de l’un à l’autre.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Exploiter une chronophotographie et représenter des vecteurs vitesse

★★★

Type évaluation, avec une chronophotographie à exploiter

Sur un green de golf, une joueuse tente un putt : elle frappe doucement la balle, qui roule sur l’herbe rase jusqu’au trou. En roulant, la balle tourne sur elle-même. Une caméra fixée au-dessus du green filme la scène ; un logiciel superpose une image de la balle toutes les $200\ \text{ms}$ , et un mètre ruban a été posé le long de la trajectoire, son zéro sous la première position.

Document 1 - La chronophotographie du putt, vue de dessus : une image de la balle toutes les 200 ms. Le zéro du mètre ruban est placé sous la position M0.

Document 2 - Le relevé du logiciel de pointage. Abscisse $x$ du centre de la balle, mesurée le long du mètre ruban à partir de la position M₀.

Position	$x$ ( $\text{m}$ )
M₀	$0{,}000$
M₁	$0{,}310$
M₂	$0{,}600$
M₃	$0{,}870$
M₄	$1{,}120$
M₅	$1{,}350$
M₆	$1{,}560$
M₇	$1{,}750$
M₈	$1{,}920$

Données :

$1\ \text{ms} = 10^{-3}\ \text{s}$ ;
le vecteur vitesse au point $\text{M}_i$ (où $i$ est le numéro de la position) s’approche par $\vec{v}_i \approx \dfrac{\overrightarrow{\text{M}_i\text{M}_{i+1}}}{\Delta t}$ ; sa valeur vaut $v_i = \dfrac{\text{M}_i\text{M}_{i+1}}{\Delta t}$ , où $\text{M}_i\text{M}_{i+1}$ est la distance entre la position $\text{M}_i$ et la suivante ;
échelle des vitesses imposée : $1{,}0\ \text{cm}$ pour $0{,}50\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ .

Nommer le système et le référentiel d’étude. On modélise la balle par son centre : quelle information sur le mouvement de la balle cette modélisation fait-elle perdre ?
Convertir en secondes la durée $\Delta t$ qui sépare deux positions voisines. Nommer la trajectoire du centre de la balle, en justifiant à l’aide du document 1.
Sans calcul, indiquer comment évolue la valeur de la vitesse de la balle au cours du putt, en justifiant. Caractériser ensuite son mouvement par une phrase complète.
Calculer les valeurs $v_1$ et $v_6$ de la vitesse de la balle aux positions M₁ et M₆.
Avec l’échelle imposée, calculer la longueur des flèches qui représentent $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_6$ , puis décrire le vecteur $\vec{v}_1$ : origine, direction, sens et valeur.
Décrire la variation du vecteur vitesse entre M₁ et M₆. Un spectateur affirme : « la balle roule droit, donc sa vitesse ne change pas ». Expliquer son erreur.

Voir le corrigé

1. Le système est la balle de golf. On la filme depuis une caméra fixée au-dessus du green : on décrit son mouvement par rapport au sol, dans le référentiel terrestre.

En suivant seulement son centre, on perd la rotation de la balle sur elle-même : en roulant, elle tourne, mais le centre, lui, avance sans tourner. On perd aussi sa taille. Un point de la surface de la balle aurait une trajectoire bien plus compliquée, qui monte et descend en avançant : c’est pour cela que l’on précise le point suivi.

2. On convertit les millisecondes en secondes :

$\Delta t = 200\ \text{ms} = 200 \times 10^{-3}\ \text{s} = 0{,}200\ \text{s}$

Sur le document 1, les positions M₀ à M₈ sont alignées le long du mètre ruban : la trajectoire du centre de la balle est une droite. Elle est rectiligne dans le référentiel terrestre.

3. Sur le document 1, les positions se resserrent de M₀ à M₈. Or deux positions voisines sont séparées par la même durée $\Delta t$ : la balle parcourt une distance de plus en plus petite pendant chaque intervalle. La valeur de sa vitesse diminue.

Phrase complète : dans le référentiel terrestre, le centre de la balle a un mouvement rectiligne non uniforme, et la valeur de sa vitesse diminue.

4. La distance entre M₁ et M₂ est l’écart de leurs abscisses, lues dans le document 2 :

$\text{M}_1\text{M}_2 = x_2 - x_1 = 0{,}600\ \text{m} - 0{,}310\ \text{m} = 0{,}290\ \text{m}$

$v_1 = \dfrac{\text{M}_1\text{M}_2}{\Delta t} = \dfrac{0{,}290\ \text{m}}{0{,}200\ \text{s}} = 1{,}45\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

De même, entre M₆ et la position suivante, M₇ :

$\text{M}_6\text{M}_7 = x_7 - x_6 = 1{,}750\ \text{m} - 1{,}560\ \text{m} = 0{,}190\ \text{m}$

$v_6 = \dfrac{\text{M}_6\text{M}_7}{\Delta t} = \dfrac{0{,}190\ \text{m}}{0{,}200\ \text{s}} = 0{,}950\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

5. Avec l’échelle imposée, $1{,}0\ \text{cm}$ de flèche représente $0{,}50\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ : la longueur $\ell$ d’une flèche vaut la valeur de la vitesse divisée par $0{,}50\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , multipliée par $1{,}0\ \text{cm}$ .

$\ell_1 = \dfrac{1{,}45\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{0{,}50\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}} \times 1{,}0\ \text{cm} = 2{,}9\ \text{cm}$

$\ell_6 = \dfrac{0{,}950\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{0{,}50\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}} \times 1{,}0\ \text{cm} = 1{,}9\ \text{cm}$

Le vecteur $\vec{v}_1$ se décrit par ses quatre éléments :

origine : la position M₁ ;
direction : celle de la droite (M₁M₂), c’est-à-dire la trajectoire, le long du mètre ruban ;
sens : de M₁ vers M₂, vers le trou ;
valeur : $v_1 = 1{,}45\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ , représentée par une flèche de $2{,}9\ \text{cm}$ .

Sur la figure ci-dessous, les deux flèches sont tracées avec l’échelle dessinée sous la photo, qui garde leurs proportions ; sur ta copie, à l’échelle imposée, elles mesurent $2{,}9\ \text{cm}$ et $1{,}9\ \text{cm}$ .

Les vecteurs vitesse v1 et v6, tracés à partir de M1 et de M6 avec la même échelle des vitesses.

6. Entre M₁ et M₆, la direction du vecteur vitesse ne change pas : c’est celle de la trajectoire, une droite. Son sens ne change pas non plus : la balle va vers le trou. Sa valeur diminue, de $1{,}45\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ en M₁ à $0{,}950\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ en M₆ : le vecteur vitesse varie, par sa valeur seule.

Le spectateur confond deux choses. « Rouler droit » concerne la forme de la trajectoire : elle est bien rectiligne. Mais la valeur de la vitesse, elle, diminue, comme le montrent les positions de plus en plus serrées et le calcul de la question 4. Une trajectoire droite ne dit rien de la valeur de la vitesse.

Réflexe à retenir : sur une chronophotographie, on répond à deux questions séparées. Les positions sont-elles alignées ? C’est la forme de la trajectoire. Les espacements sont-ils égaux ? C’est l’évolution de la valeur de la vitesse. Pour une valeur précise, on prend deux positions voisines et la durée $\Delta t$ qui les sépare.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

D’abord le référentiel. « Au repos » ou « en mouvement », une valeur de vitesse, une forme de trajectoire : chaque description se rapporte à un référentiel, que l’on nomme dans la phrase. Quand un référentiel est en translation par rapport à un autre, la valeur de la vitesse change en général de l’un à l’autre.
Deux positions voisines pour un vecteur vitesse. Le vecteur vitesse au point M s’approche par $\overrightarrow{\text{MM}'}$ divisé par $\Delta t$ : il part de M, a la direction et le sens de M vers M′, et sa valeur $\dfrac{\text{MM}'}{\Delta t}$ se trace à une échelle écrite sur la figure.
Deux mots pour un mouvement. Rectiligne, circulaire ou curviligne pour la trajectoire ; uniforme ou non uniforme pour la valeur de la vitesse. L’un ne se déduit pas de l’autre.

Exercices corrigés — Décrire un mouvement

Choisir un système, un référentiel et les échelles d'un mouvement

Caractériser une trajectoire et le vecteur vitesse