Exercices — Mesure et incertitudes

1. $12{,}5$ g : les trois chiffres 1, 2 et 5 comptent → $\mathbf{3}$ chiffres significatifs.

2. $0{,}040$ L : les zéros placés à gauche ne comptent pas, mais le zéro final compte. Chiffres significatifs : 4 et 0 → $\mathbf{2}$ chiffres significatifs.

3. $1{,}200 \times 10^{-2}$ mol·L⁻¹ : en écriture scientifique, tous les chiffres affichés comptent : 1, 2, 0 et 0 → $\mathbf{4}$ chiffres significatifs. La puissance de 10 ne compte pas.

Réflexe à retenir : zéros de gauche → jamais significatifs ; zéros de droite après la virgule → toujours significatifs.

1. La moyenne des 5 valeurs :

$\bar{T} = \frac{1{,}42 + 1{,}38 + 1{,}40 + 1{,}44 + 1{,}36}{5} = \frac{7{,}00}{5} = 1{,}40 \text{ s}$

2. C’est une évaluation de type A : elle s’appuie sur un traitement statistique de la série de mesures. Avec $n = 5$ :

$u(T) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}032}{\sqrt{5}} \approx 0{,}014 \text{ s}$

L’incertitude-type a la même unité que la grandeur mesurée (ici la seconde). Remarque : plus on répète la mesure ($n$ grand), plus $u(T)$ diminue — c’est tout l’intérêt de mesurer plusieurs fois !

1. On ne dispose que d’une seule mesure : impossible de faire un traitement statistique. L’incertitude-type est évaluée par une autre approche (ici la notice du constructeur) : c’est une évaluation de type B.

2. Le résultat s’écrit toujours valeur ± incertitude-type, avec l’unité :

$U = 4{,}72 \pm 0{,}05 \text{ V}$

3. L’incertitude-type délimite une zone de valeurs vraisemblables autour de $4{,}72$ V.

• $4{,}80$ V est proche de la valeur mesurée (écart de $0{,}08$ V, soit moins de $2 u(U)$) : c’est une valeur tout à fait possible de la tension.
• $6{,}5$ V est très éloignée (écart de $1{,}78$ V, soit plus de 35 fois $u(U)$) : ce n’est pas une valeur vraisemblable.

1. L’écart normalisé compare l’écart à la référence avec l’incertitude-type :

$z = \frac{|g - g_{\text{ref}}|}{u(g)}$

Le résultat est compatible avec la référence si $|z| \leq 2$, non compatible sinon.

2. Groupe A :

$z_A = \frac{|9{,}72 - 9{,}81|}{0{,}15} = \frac{0{,}09}{0{,}15} = 0{,}6$

$|z_A| = 0{,}6 \leq 2$ : le résultat du groupe A est compatible avec la valeur de référence. L’écart observé s’explique simplement par la variabilité de la mesure.

3. Groupe B :

$z_B = \frac{|9{,}45 - 9{,}81|}{0{,}10} = \frac{0{,}36}{0{,}10} = 3{,}6$

$|z_B| = 3{,}6 > 2$ : le résultat du groupe B est non compatible avec la référence. L’écart est trop grand pour être dû au hasard : il faut chercher une erreur systématique (chronomètre déclenché en retard, longueur du pendule mal mesurée, formule mal appliquée…). Le bon réflexe : vérifier le protocole et refaire la mesure, plutôt que de « forcer » le résultat.