Mesure et incertitudes 1re spé : exercices corrigés (PDF)

Une mesure donne un nombre, mais ce nombre ne dit pas grand-chose tant qu’on ne sait pas à quel point on peut lui faire confiance : c’est l’objet de ce chapitre, et il ressert dans les séances de travaux pratiques de l’année, puis dans les nombreuses questions qui demandent d’exploiter une série de mesures ou de comparer un résultat à une valeur de référence. Par rapport à la seconde, la nouveauté est l’évaluation de type B : évaluer une incertitude-type à partir des caractéristiques de l’instrument, quand on n’a fait qu’une seule mesure.

Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants sont des situations de contrôle, avec des documents à exploiter, un relevé de travaux pratiques puis l’histogramme d’un contrôle de pièces, et un corrigé rédigé comme au tableau.

D’une série de mesures au résultat écrit

Mesurer plusieurs fois la même grandeur, dans les mêmes conditions, donne des valeurs légèrement différentes : c’est la variabilité de la mesure, et non une faute de manipulation. La valeur retenue est la moyenne de la série ; l’écart-type s, donné par la calculatrice ou le tableur, dit sur quelle largeur les valeurs s’étalent autour d’elle. L’instrument choisi et le protocole suivi influent sur cette largeur.

Type A : à partir d’une série

u(x) = s / √n

s est l’écart-type de la série, n son nombre de mesures. L’incertitude-type s’exprime dans l’unité de la grandeur mesurée. Elle est plus petite que s : la moyenne de plusieurs mesures est mieux connue qu’une mesure isolée.

Type B : à partir de l’instrument

u(x) donnée par l’instrument

Avec une seule mesure, aucun traitement statistique n’est possible. L’incertitude-type s’évalue alors autrement : notice du constructeur, graduation de l’instrument, tolérance annoncée pour une verrerie.

Écrire le résultat, puis le comparer

L’écriture du résultat

x = valeur ± u(x), avec l’unité

L’incertitude-type finale garde un seul chiffre significatif, arrondi par excès ; la valeur mesurée est arrondie au plus proche, au même rang. Dans un résultat, tous les chiffres écrits comptent, sauf les zéros placés en tête : 0,0860 g en compte trois.

La comparaison à une valeur de référence

Une valeur de référence est une valeur admise, obtenue ailleurs : une table, la notice d’un fabricant, un instrument plus fin. On compare l’écart entre la valeur mesurée et cette référence à l’incertitude-type. Écart plus petit que u(x) : le résultat est compatible. Écart de plusieurs incertitudes-types : il ne l’est pas. Entre les deux, on ne tranche pas, et on écrit pourquoi.

C’est l’incertitude-type qui décide du nombre de chiffres de la valeur, jamais la calculatrice :

v = 343,26 m·s⁻¹ ± 0,05 m·s⁻¹

La calculatrice affichait 343,264 m·s⁻¹ et une incertitude-type de 0,0473 m·s⁻¹. Arrondie par excès à un chiffre significatif, celle-ci vaut 0,05 m·s⁻¹ : la valeur s’arrête donc au centième.

La carte du chapitre. Un résultat de mesure n’est pas un nombre seul : c’est une valeur, une incertitude-type et une unité.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Le chapitre en un paragraphe

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Le cours en un texte à trous

Une série de mesures indépendantes d'une même grandeur donne des valeurs : c'est la variabilité de la mesure. On retient alors comme valeur mesurée, et l'écart-type s donne . Pour une série de n mesures, l'incertitude-type sur la moyenne vaut : c'est une évaluation de type . Pour une mesure unique faite avec un instrument dont les caractéristiques sont connues, c'est une évaluation de type . Le résultat s'écrit ensuite valeur ± u(x), avec l'unité : l'incertitude-type garde , et la valeur est arrondie au plus proche, . On conclut enfin en comparant l'écart à la référence et l'incertitude-type : si cet écart est , les deux valeurs sont compatibles.

Exercice 4

L'épaisseur d'une feuille de papier

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Un relevé de travaux pratiques à exploiter

En travaux pratiques, six binômes mesurent l’épaisseur d’une feuille de papier prise dans une même ramette. Le protocole est le même pour tous : mesurer au réglet gradué au millimètre l’épaisseur d’une pile de $500$ feuilles, puis diviser cette épaisseur par $500$ . Voici les six épaisseurs obtenues, en micromètres.

Binôme	1	2	3	4	5	6
$e$ (µm)	103	104	102	103	104	103

Données : $1\ \text{µm} = 10^{-6}\ \text{m}$ . La calculatrice donne, pour cette série, un écart-type $s = 0{,}75\ \text{µm}$ . La fiche technique de la ramette annonce une épaisseur de $103\ \text{µm}$ . On rappelle l’incertitude-type sur la moyenne d’une série de $n$ mesures : $u(e) = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ .

Expliquer pourquoi les six binômes n’obtiennent pas la même valeur, puis pourquoi le protocole fait mesurer une pile de $500$ feuilles plutôt qu’une seule feuille.
Calculer l’épaisseur moyenne $\bar{e}$ de la série.
Calculer l’incertitude-type $u(e)$ , puis l’arrondir selon la convention du cours.
Écrire le résultat de la mesure.
Comparer ce résultat à l’épaisseur annoncée par la fiche technique.

Voir le corrigé

1. Chaque binôme pose le réglet contre la pile, puis lit une graduation : ces deux gestes ne se reproduisent pas à l’identique d’un binôme à l’autre, et la pile elle-même est plus ou moins tassée. Les six valeurs sont donc légèrement différentes : c’est la variabilité de la mesure, et non une faute de manipulation.

Une feuille seule mesure environ $0{,}1\ \text{mm}$ , soit dix fois moins que la plus petite graduation du réglet : elle n’est pas mesurable ainsi. La pile de $500$ feuilles, elle, mesure une cinquantaine de millimètres, une longueur que le réglet mesure bien. En divisant ensuite par $500$ , l’écart de lecture est divisé par $500$ lui aussi : les six épaisseurs correspondent aux lectures $51{,}0\ \text{mm}$ , $51{,}5\ \text{mm}$ et $52{,}0\ \text{mm}$ sur la pile.

2. La moyenne est la somme des six valeurs divisée par leur nombre :

$\bar{e} = \frac{103\ \text{µm} + 104\ \text{µm} + 102\ \text{µm} + 103\ \text{µm} + 104\ \text{µm} + 103\ \text{µm}}{6} = \frac{619\ \text{µm}}{6} \approx 103{,}17\ \text{µm}$

On garde ici deux chiffres de plus que les mesures : c’est une valeur intermédiaire, qui sera arrondie une fois l’incertitude-type connue.

3. La série compte $n = 6$ mesures, d’écart-type $s = 0{,}75\ \text{µm}$ :

$u(e) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}75\ \text{µm}}{\sqrt{6}} \approx 0{,}31\ \text{µm}$

L’incertitude-type finale garde un seul chiffre significatif, arrondi par excès : on monte au chiffre supérieur pour ne pas sous-estimer l’incertitude, et $0{,}31\ \text{µm}$ devient $u(e) = 0{,}4\ \text{µm}$ .

4. L’incertitude-type porte sur le dixième de micromètre : la moyenne est arrondie au plus proche, au même rang, et l’unité accompagne les deux nombres.

$e = 103{,}2\ \text{µm} \pm 0{,}4\ \text{µm}$

5. L’écart entre la valeur mesurée et l’épaisseur annoncée vaut $103{,}2\ \text{µm} - 103\ \text{µm} = 0{,}2\ \text{µm}$ . Cet écart est plus petit que l’incertitude-type $0{,}4\ \text{µm}$ : le résultat de la classe est compatible avec la valeur annoncée par la fiche technique.

Le résultat de la série, placé sur l’axe des épaisseurs : la valeur annoncée par la fiche technique tombe à l’intérieur de la zone du résultat.

Réflexe à retenir : une comparaison confronte deux nombres de même unité, l’écart à la référence d’un côté, l’incertitude-type de l’autre. Un écart plus petit que $u(e)$ ne prouve pas que la mesure est juste : il dit que la valeur de référence est vraisemblable au vu de cette mesure.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Le contrôle d'un lot de billes

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Type contrôle, avec deux documents à exploiter

Un atelier reçoit un lot de billes d’acier et contrôle leur diamètre avant de les monter. Au laboratoire du lycée, dix élèves mesurent chacun une fois le diamètre de la même bille, avec le même pied à coulisse, l’instrument qui lit une épaisseur ou un diamètre au centième de millimètre. Le document 2 range leurs dix mesures par classes de $0{,}01\ \text{mm}$ .

Document 1 : extrait de la fiche du fournisseur.

Bille d’acier	Référence BA-800
Diamètre nominal	8,00 mm
Tolérance	± 0,05 mm
Matière	acier inoxydable

Document 2 : les dix mesures du diamètre de la même bille, rangées par classes de 0,01 mm. La hauteur d’un bâton est le nombre de mesures tombées dans sa classe.

Données : le tableur donne, pour cette série de dix mesures, un écart-type $s = 0{,}012\ \text{mm}$ . Pour une mesure unique faite avec le réglet gradué au millimètre, le constructeur du réglet indique une incertitude-type de $0{,}3\ \text{mm}$ . On rappelle l’incertitude-type sur la moyenne d’une série de $n$ mesures : $u(d) = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ . Le diamètre nominal est le diamètre visé par le fournisseur, et la tolérance l’écart maximal qu’il admet autour de cette valeur.

Décrire ce que montre l’histogramme, puis expliquer pourquoi dix mesures de la même bille ne donnent pas toutes le même nombre.
Calculer le diamètre moyen $\bar{d}$ de la série.
Calculer l’incertitude-type $u(d)$ sur cette moyenne, puis écrire le résultat de la mesure. S’agit-il d’une évaluation de type A ou de type B ?
Comparer ce résultat au diamètre nominal annoncé par le fournisseur.
Un opérateur pressé mesure la même bille une seule fois, au réglet, et lit $8{,}0\ \text{mm}$ . Écrire son résultat, préciser de quel type d’évaluation il s’agit, puis expliquer pourquoi cette mesure ne permet pas de contrôler la tolérance annoncée.

Voir le corrigé

1. L’histogramme range les dix mesures en cinq classes, de $7{,}98\ \text{mm}$ à $8{,}02\ \text{mm}$ : une mesure dans la classe $7{,}98\ \text{mm}$ , deux dans la classe $7{,}99\ \text{mm}$ , trois dans la classe $8{,}00\ \text{mm}$ , trois dans la classe $8{,}01\ \text{mm}$ et une dans la classe $8{,}02\ \text{mm}$ . Les mesures se concentrent au milieu et se raréfient sur les bords : la série est resserrée, elle s’étale sur $0{,}04\ \text{mm}$ en tout.

La bille, elle, ne change pas d’une mesure à l’autre. Ce qui change, c’est l’opération de mesure : chaque élève serre le pied à coulisse un peu différemment, le place sur un diamètre un peu différent et lit la graduation à sa façon. C’est la variabilité de la mesure.

2. La moyenne est la somme des dix valeurs divisée par leur nombre. En regroupant les mesures par classes :

$\bar{d} = \frac{7{,}98\ \text{mm} + 2 \times 7{,}99\ \text{mm} + 3 \times 8{,}00\ \text{mm} + 3 \times 8{,}01\ \text{mm} + 8{,}02\ \text{mm}}{10} = \frac{80{,}01\ \text{mm}}{10} = 8{,}001\ \text{mm}$

3. La série compte $n = 10$ mesures, d’écart-type $s = 0{,}012\ \text{mm}$ :

$u(d) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}012\ \text{mm}}{\sqrt{10}} \approx 0{,}0038\ \text{mm}$

Un seul chiffre significatif, arrondi par excès : $u(d) = 0{,}004\ \text{mm}$ . L’incertitude-type porte sur le millième de millimètre, rang auquel la moyenne est déjà donnée :

$d = 8{,}001\ \text{mm} \pm 0{,}004\ \text{mm}$

L’incertitude-type a été obtenue à partir de la dispersion d’une série de mesures répétées : c’est une évaluation de type A. Elle décrit la dispersion des mesures entre elles ; elle ne dit rien d’un éventuel décalage du pied à coulisse, qui se vérifie en le remettant à zéro avant la série.

La moyenne de la série et la zone du résultat, reportées sur l’histogramme : les dix mesures s’étalent sur une largeur bien plus grande que cette zone.

4. L’écart entre la valeur mesurée et le diamètre nominal vaut $8{,}001\ \text{mm} - 8{,}00\ \text{mm} = 0{,}001\ \text{mm}$ . Il est plus petit que l’incertitude-type $0{,}004\ \text{mm}$ : le résultat est compatible avec le diamètre nominal annoncé. La bille respecte de plus largement la tolérance, puisque le résultat tout entier, de $7{,}997\ \text{mm}$ à $8{,}005\ \text{mm}$ , tient dans l’intervalle allant de $7{,}95\ \text{mm}$ à $8{,}05\ \text{mm}$ . Ce contrôle porte sur une seule bille : il ne dit rien des autres billes du lot, qu’il faudrait mesurer à leur tour.

5. Avec une seule mesure, aucun écart-type ne peut être calculé : l’incertitude-type vient des caractéristiques de l’instrument, donnée par son constructeur. C’est une évaluation de type B, et elle vaut ici $u(d) = 0{,}3\ \text{mm}$ :

$d = 8{,}0\ \text{mm} \pm 0{,}3\ \text{mm}$

Ce résultat situe le diamètre entre $7{,}7\ \text{mm}$ et $8{,}3\ \text{mm}$ . La tolérance du fournisseur, elle, n’admet qu’un écart de $0{,}05\ \text{mm}$ autour de $8{,}00\ \text{mm}$ : l’incertitude-type de la mesure au réglet vaut six fois cet écart. Cette mesure ne permet donc pas de dire si la bille respecte la tolérance ; l’instrument n’est pas assez fin pour la question posée.

Les deux mesures de la même bille, sur le même axe, avec la zone de tolérance du fournisseur : la zone du résultat au réglet déborde largement de cette tolérance.

Réflexe à retenir : choisir un instrument, c’est choisir une incertitude. Avant de mesurer, compare l’incertitude-type attendue à l’écart que la question demande de trancher : si l’incertitude-type est la plus grande des deux, la mesure ne tranchera pas.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

La calculatrice donne $s$ , pas $u(x)$ . La division par $\sqrt{n}$ s’écrit sur la copie : sans elle, l’incertitude annoncée est celle d’une mesure isolée, et non celle de la moyenne de la série.
C’est l’incertitude-type qui décide des chiffres de la valeur. Un seul chiffre significatif pour l’incertitude-type, arrondi par excès ; la valeur arrondie au plus proche, au même rang ; l’unité sur les deux nombres.
Comparer, c’est confronter un écart à une incertitude-type. Écart plus petit que $u(x)$ : le résultat est compatible avec la valeur de référence. Écart de plusieurs incertitudes-types : il ne l’est pas, et la cause est à chercher. La carte en haut de page résume les trois cas.

Exercices corrigés — Mesure et incertitudes

D'où viennent les écarts entre deux mesures

Type A, type B, et l'écriture du résultat