1re Physique-Chimie Exercices Gratuit

Exercices corrigés — La lentille convergente

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  1. Exercice 1 : Rayons, signes et nature de l'image
  2. Exercice 2 : La lentille au travail
  3. Exercice 3 : Le chapitre en un paragraphe
  4. Exercice 4 : Sur l'écran ou à travers la lentille
  5. Exercice 5 : Tester la relation de conjugaison
  6. Les trois réflexes à retenir

Un contrôle bientôt ? Faire mon plan de révision

Le capteur d’un appareil photo, l’écran d’un vidéoprojecteur, la rétine de ton œil : chaque fois, une image s’y forme grâce à une lentille convergente, ou à un ensemble que l’on modélise par une lentille convergente. En Première, deux relations fournies par l’énoncé permettent de calculer où se forme cette image et quelle est sa taille, et le signe des résultats dit si elle est réelle ou virtuelle, droite ou renversée. Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants sont des situations de contrôle, avec un corrigé rédigé comme au tableau.

Trois rayons pour construire l’image, deux relations pour la calculer

Construire l’image

  1. Un rayon qui arrive parallèle à l’axe optique ressort en passant par le foyer image F′.
  2. Un rayon qui passe par le centre optique O n’est pas dévié.
  3. Un rayon qui passe par le foyer objet F ressort parallèle à l’axe optique.

Les foyers F et F′ sont de part et d’autre de la lentille, à la distance f′ de O. Deux rayons suffisent pour placer B′, à leur croisement ; le troisième sert de vérification. A′ est sur l’axe, à la verticale de B′.

Calculer l’image

Les deux relations sont fournies par l’énoncé.

1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}

La relation de conjugaison donne la position de l’image.

γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}

Le grandissement γ\gamma (la lettre grecque gamma), sans unité, compare la taille de l’image à celle de l’objet.

Une barre au-dessus des lettres, comme dans OA‾\overline{OA}, signale une mesure algébrique : une longueur munie d’un signe. Sur l’axe, on la compte depuis O, positivement dans le sens de la lumière : pour un objet réel, OA‾\overline{OA} est négative, et la distance focale f′=OF′‾f' = \overline{OF'} est positive. Les hauteurs AB‾\overline{AB} et A′B′‾\overline{A'B'} se comptent positivement vers le haut.

Le signe de OA′‾\overline{OA'}

S’il est positif, l’image se forme après la lentille : elle est réelle, et on la recueille sur un écran.

S’il est négatif, l’image se forme du côté de l’objet : elle est virtuelle, et on la voit à travers la lentille.

Le grandissement γ\gamma

S’il est négatif, l’image est renversée ; s’il est positif, elle est droite.

Si sa valeur absolue est supérieure à 1, l’image est agrandie ; si elle est inférieure à 1, l’image est réduite.

La mise au point

L’image est nette quand l’écran est placé là où le prévoit la relation de conjugaison. Pour y arriver, on modifie la géométrie du montage, comme l’appareil photo qui déplace son objectif, ou la distance focale, comme l’œil dont le cristallin se bombe.

L’image d’un objet très éloigné se forme pratiquement dans le plan focal image : la distance entre la lentille et l’écran est alors très proche de f′.

L’axe optique est orienté dans le sens de la lumière, de gauche à droite. Sur le schéma, l’objet est à trois distances focales avant la lentille : l’image est réelle, renversée et deux fois plus petite que l’objet.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 1

Rayons, signes et nature de l'image

★★★

Quiz de compréhension du cours

  1. Sur un schéma, un rayon sort de la lentille parallèlement à l'axe optique. Par quel point est-il passé avant d'atteindre la lentille ?
  2. Après la lentille, les rayons issus d'un point B de l'objet s'écartent les uns des autres : ils ne se croisent nulle part. Que peut-on dire de l'image de B ?
  3. Un calcul avec la relation de conjugaison donne OA′ = −12 cm. Que peut-on en conclure ?
  4. Avec une loupe, on voit les lettres d'un journal droites et plus grandes qu'en réalité. Que peut-on dire du grandissement γ ?

Exercice 2

La lentille au travail

★★★

Quiz : mise au point, distance focale et mesures

  1. Un appareil photo, réglé sur un paysage lointain, photographie maintenant une fleur toute proche. Le capteur est fixe dans le boîtier. Comment l'objectif doit-il bouger pour que la photo reste nette ?
  2. Dans l'œil, la distance entre le cristallin et la rétine ne change pas. Comment l'œil fait-il la mise au point sur un objet proche ?
  3. Pour estimer rapidement la distance focale d'une lentille, on forme sur un écran l'image nette d'un objet, puis on mesure la distance entre la lentille et l'écran. Quel objet choisir ?
  4. Au laboratoire, on relève plusieurs couples de positions d'un objet et de son image nette. Que doit-on constater pour que la relation de conjugaison soit vérifiée ?

Exercice 3

Le chapitre en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

Une lentille mince convergente a deux foyers, placés de part et d'autre de son centre optique O, à la distance f′. Après la lentille, un faisceau de rayons parallèles à l'axe optique converge au , situé . Les positions se repèrent par des mesures algébriques, comptées depuis O et positives dans le sens . Le foyer objet F, placé avant la lentille, a donc une mesure algébrique OF , comme la position d'un objet réel. Quand le calcul donne OA′ positive, l'image est  : on peut la recueillir sur un écran. Le grandissement γ donne le sens et la taille de l'image : s'il est négatif, l'image est , et si sa valeur absolue est inférieure à 1, l'image est .

Exercice 4

Sur l'écran ou à travers la lentille

★★★

Calculer, construire, puis interpréter un signe

Sur un banc d’optique, on aligne un objet lumineux ABAB, une lentille mince convergente de distance focale f′=10,0 cmf' = 10{,}0\ \text{cm} et un écran. L’objet a une hauteur AB‾=2,0 cm\overline{AB} = 2{,}0\ \text{cm} et son pied AA est sur l’axe optique. On le place d’abord à 15,0 cm15{,}0\ \text{cm} avant la lentille.

AFF′OB
Document : le banc d’optique vu de côté, l’objet à 15,0 cm de la lentille. Échelle : horizontalement, un carreau représente 5,0 cm ; verticalement, un carreau représente 1,0 cm.

Données : l’axe optique est orienté dans le sens de la lumière ; relation de conjugaison 1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'} ; grandissement γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}.

  1. Donner la valeur de la mesure algébrique OA‾\overline{OA} et justifier son signe.
  2. Calculer la position OA′‾\overline{OA'} de l’image. À quelle distance de la lentille faut-il placer l’écran pour obtenir une image nette ?
  3. Calculer le grandissement γ\gamma, puis la taille A′B′‾\overline{A'B'} de l’image. Décrire l’image : réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite.
  4. Reproduire le schéma sur une feuille à carreaux et construire l’image A′B′A'B' avec deux rayons particuliers issus de BB. Les résultats des questions 2 et 3 sont-ils confirmés ?
  5. On rapproche l’objet à 6,0 cm6{,}0\ \text{cm} de la lentille. On a beau déplacer l’écran, on n’obtient plus aucune image nette. Expliquer pourquoi à l’aide de la relation de conjugaison, puis calculer le grandissement et décrire l’image que l’on voit en regardant à travers la lentille.
Voir le corrigé

1. L’axe optique est orienté dans le sens de la lumière, de l’objet vers la lentille. L’objet est avant la lentille, à 15,0 cm15{,}0\ \text{cm} de OO : pour aller de OO à AA, on se déplace dans le sens opposé à l’axe. La mesure algébrique est donc négative :

OA‾=−15,0 cm\overline{OA} = -15{,}0\ \text{cm}

La distance focale, elle, est positive : f′=OF′‾=+10,0 cmf' = \overline{OF'} = +10{,}0\ \text{cm}.

2. On isole 1OA′‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} dans la relation de conjugaison, puis on remplace chaque grandeur par sa valeur, avec son signe :

1OA′‾=1f′+1OA‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}

1OA′‾=110,0 cm+1−15,0 cm\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{10{,}0\ \text{cm}} + \dfrac{1}{-15{,}0\ \text{cm}}

On réduit au même dénominateur :

1OA′‾=330,0 cm−230,0 cm=130,0 cm\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{3}{30{,}0\ \text{cm}} - \dfrac{2}{30{,}0\ \text{cm}} = \dfrac{1}{30{,}0\ \text{cm}}

On prend l’inverse :

OA′‾=+30,0 cm\overline{OA'} = +30{,}0\ \text{cm}

OA′‾\overline{OA'} est positive : l’image se forme après la lentille. Il faut placer l’écran à 30,0 cm30{,}0\ \text{cm} de la lentille. À la calculatrice, on peut calculer d’abord 1f′+1OA‾\dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}, puis prendre l’inverse du résultat.

3. Le grandissement se calcule avec les positions :

γ=OA′‾OA‾=+30,0 cm−15,0 cm=−2,00\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{+30{,}0\ \text{cm}}{-15{,}0\ \text{cm}} = -2{,}00

La taille de l’image s’en déduit :

A′B′‾=γ×AB‾=−2,00×2,0 cm=−4,0 cm\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -2{,}00 \times 2{,}0\ \text{cm} = -4{,}0\ \text{cm}

Chaque caractère de l’image se lit sur un signe ou sur une valeur :

  • OA′‾>0\overline{OA'} > 0 : l’image est réelle ;
  • γ<0\gamma < 0 : elle est renversée ;
  • ∣γ∣=2,00>1|\gamma| = 2{,}00 > 1 : elle est agrandie.

L’image est réelle, renversée et deux fois plus grande que l’objet : elle mesure 4,0 cm4{,}0\ \text{cm}.

4. On trace deux rayons issus de BB : le rayon 1, parallèle à l’axe, ressort en passant par F′F' ; le rayon 2, qui passe par OO, n’est pas dévié. Ils se coupent en B′B', et A′A' est sur l’axe, à la verticale de B′B'.

123AFF′OBA′B′
Les rayons 1 et 2 suffisent à placer B′ ; le rayon 3, qui passe par F, passe lui aussi par B′. Même échelle : un carreau pour 5,0 cm horizontalement et pour 1,0 cm verticalement.

On lit B′B' six carreaux après la lentille et quatre carreaux sous l’axe :

OA′‾=6×5,0 cm=30 cm\overline{OA'} = 6 \times 5{,}0\ \text{cm} = 30\ \text{cm}

A′B′‾=−4×1,0 cm=−4,0 cm\overline{A'B'} = -4 \times 1{,}0\ \text{cm} = -4{,}0\ \text{cm}

Le rayon 3, qui passe par FF, ressort parallèle à l’axe et passe lui aussi par B′B'. La construction confirme les résultats des questions 2 et 3, à la précision du tracé près. Elle montre aussi d’où vient la deuxième écriture du grandissement : le rayon 2 et l’axe se coupent en OO, et les segments ABAB et A′B′A'B' sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}.

5. L’objet est maintenant à 6,0 cm6{,}0\ \text{cm} avant la lentille : OA‾=−6,0 cm\overline{OA} = -6{,}0\ \text{cm}. Comme 6,0 cm<10,0 cm6{,}0\ \text{cm} < 10{,}0\ \text{cm}, il se trouve entre le foyer objet FF et la lentille.

1OA′‾=110,0 cm+1−6,0 cm\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{10{,}0\ \text{cm}} + \dfrac{1}{-6{,}0\ \text{cm}}

On réduit au même dénominateur, puis on simplifie :

1OA′‾=330 cm−530 cm=−230 cm\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{3}{30\ \text{cm}} - \dfrac{5}{30\ \text{cm}} = -\dfrac{2}{30\ \text{cm}}

1OA′‾=−115 cm\dfrac{1}{\overline{OA'}} = -\dfrac{1}{15\ \text{cm}}

On prend l’inverse :

OA′‾=−15 cm\overline{OA'} = -15\ \text{cm}

OA′‾\overline{OA'} est négative : l’image se forme avant la lentille, du côté de l’objet, à 15 cm15\ \text{cm} de OO. Après la lentille, les rayons divergent et ne se croisent nulle part : aucun écran ne peut recueillir l’image, qui est virtuelle. C’est pourquoi l’écran reste sans image nette, quelle que soit sa position.

γ=OA′‾OA‾=−15 cm−6,0 cm=+2,5\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{-15\ \text{cm}}{-6{,}0\ \text{cm}} = +2{,}5

A′B′‾=γ×AB‾=2,5×2,0 cm=+5,0 cm\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = 2{,}5 \times 2{,}0\ \text{cm} = +5{,}0\ \text{cm}

En regardant à travers la lentille, on voit une image virtuelle, droite (γ>0\gamma > 0) et agrandie (∣γ∣=2,5>1|\gamma| = 2{,}5 > 1), haute de 5,0 cm5{,}0\ \text{cm} : la lentille fonctionne comme une loupe.

123AFF′OBA′B′
Objet à 6,0 cm de la lentille, entre F et O : les rayons émergents s’écartent. Leurs prolongements, en pointillés, se croisent en B′, du côté de l’objet : l’image A′B′ est virtuelle. Même échelle.

Réflexe à retenir : le signe de OA′‾\overline{OA'} dit où chercher l’image, sur un écran (OA′‾>0\overline{OA'} > 0) ou à travers la lentille (OA′‾<0\overline{OA'} < 0) ; le signe de γ\gamma dit si elle est droite ou renversée.

Exercice 5

Tester la relation de conjugaison

★★★

Type contrôle, avec des mesures de TP à exploiter

Lors d’une séance de travaux pratiques, Inès et Hugo étudient une lentille mince convergente dont la distance focale n’est pas indiquée. Ils suivent le protocole du document 1.

Document 1 - Le protocole

  • Étape 1 : former sur un écran l’image nette d’un immeuble éloigné, vu par la fenêtre, puis mesurer la distance entre la lentille et l’écran. Inès et Hugo trouvent 12,8 cm12{,}8\ \text{cm}.
  • Étape 2 : sur le banc d’optique, placer un objet lumineux à une distance dd de la lentille, déplacer l’écran jusqu’à obtenir l’image la plus nette, puis mesurer la distance d′d' entre la lentille et l’écran. Recommencer pour plusieurs valeurs de dd.

Document 2 - Les mesures de l’étape 2 (distances lues à la règle)

Mesuredd (cm)d′d' (cm)
120,020{,}033,833{,}8
225,025{,}024,824{,}8
330,030{,}021,621{,}6
440,040{,}018,118{,}1
550,050{,}016,616{,}6
675,075{,}015,115{,}1

Document 3 - Le graphique. Pour chaque mesure, Inès et Hugo calculent x=1OA‾x = \dfrac{1}{\overline{OA}} et y=1OA′‾y = \dfrac{1}{\overline{OA'}} en m−1\text{m}^{-1}, puis tracent yy en fonction de xx. Le logiciel de traitement des données modélise les points par une droite d’équation y=a x+by = a\,x + b, avec a=1,00a = 1{,}00 et b=8,00 m−1b = 8{,}00\ \text{m}^{-1}.

−6−5−4−3−2−10123456789 x = 1/OA (m⁻¹) y = 1/OA′ (m⁻¹)
Document 3 : chaque point correspond à une mesure, avec x = 1/OA et y = 1/OA′ en m⁻¹. La droite est celle que le logiciel a modélisée. L’axe des ordonnées est tracé à droite, en x = 0, puisque les x sont tous négatifs.

Données : l’axe optique est orienté dans le sens de la lumière ; relation de conjugaison 1OA′‾−1OA‾=1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'} ; 1 m=100 cm1\ \text{m} = 100\ \text{cm}.

  1. Expliquer pourquoi l’étape 1 donne une estimation de la distance focale f′f' de la lentille.
  2. Pour la mesure 1, donner OA‾\overline{OA} et OA′‾\overline{OA'} en mètres, avec leur signe. Calculer les coordonnées xx et yy du point correspondant, puis repérer ce point sur le graphique.
  3. Montrer que, si la relation de conjugaison est vérifiée, les points du graphique sont alignés sur une droite de coefficient directeur 11 et d’ordonnée à l’origine 1f′\dfrac{1}{f'}.
  4. La modélisation du document 3 permet-elle de dire que la relation de conjugaison est vérifiée ? En déduire la distance focale f′f' de la lentille, puis la comparer à l’estimation de l’étape 1.
  5. Inès place maintenant l’objet à 1,00 m1{,}00\ \text{m} de la lentille. À quelle distance de la lentille doit-elle placer l’écran pour obtenir une image nette ?
Voir le corrigé

1. Les rayons issus d’un point très éloigné arrivent sur la lentille presque parallèles entre eux. La lentille les fait converger dans son plan focal image : l’image nette de l’immeuble se forme pratiquement à la distance f′f' de la lentille. La distance mesurée entre la lentille et l’écran est donc une estimation de la distance focale : f′≈12,8 cmf' \approx 12{,}8\ \text{cm}.

2. L’axe est orienté dans le sens de la lumière. L’objet est avant la lentille : sa mesure algébrique est négative. L’image nette, recueillie sur l’écran, est après la lentille : sa mesure algébrique est positive. Pour la mesure 1 :

OA‾=−20,0 cm=−0,200 m\overline{OA} = -20{,}0\ \text{cm} = -0{,}200\ \text{m}

OA′‾=+33,8 cm=+0,338 m\overline{OA'} = +33{,}8\ \text{cm} = +0{,}338\ \text{m}

On en déduit les coordonnées du point :

x=1OA‾=1−0,200 m=−5,00 m−1x = \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{-0{,}200\ \text{m}} = -5{,}00\ \text{m}^{-1}

y=1OA′‾=10,338 m=2,96 m−1y = \dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{0{,}338\ \text{m}} = 2{,}96\ \text{m}^{-1}

C’est le point le plus à gauche du graphique.

3. On isole 1OA′‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} dans la relation de conjugaison :

1OA′‾=1OA‾+1f′\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\overline{OA}} + \dfrac{1}{f'}

Avec x=1OA‾x = \dfrac{1}{\overline{OA}} et y=1OA′‾y = \dfrac{1}{\overline{OA'}}, cette relation s’écrit :

y=1×x+1f′y = 1 \times x + \dfrac{1}{f'}

La distance focale ne dépend que de la lentille : 1f′\dfrac{1}{f'} est une constante. yy est donc une fonction affine de xx. Si la relation de conjugaison est vérifiée, les points sont alignés sur une droite de coefficient directeur 11 et d’ordonnée à l’origine 1f′\dfrac{1}{f'}.

4. Les points sont alignés, et la droite modélisée a pour coefficient directeur a=1,00a = 1{,}00 : c’est la valeur que prévoit la relation de conjugaison. La relation est donc vérifiée, aux erreurs de mesure près. L’ordonnée à l’origine est alors égale à 1f′\dfrac{1}{f'} :

1f′=b=8,00 m−1\dfrac{1}{f'} = b = 8{,}00\ \text{m}^{-1}

f′=18,00 m−1=0,125 m=12,5 cmf' = \dfrac{1}{8{,}00\ \text{m}^{-1}} = 0{,}125\ \text{m} = 12{,}5\ \text{cm}

−6−5−4−3−2−10123456789 x = 1/OA (m⁻¹) y = 1/OA′ (m⁻¹) mesure 1 b = 8,00
Le point de la mesure 1 a pour coordonnées x = −5,00 m⁻¹ et y = 2,96 m⁻¹. La droite coupe l’axe des ordonnées, tracé à droite puisque les x sont négatifs, en y = b = 8,00 m⁻¹.

L’estimation de l’étape 1, 12,8 cm12{,}8\ \text{cm}, est proche de cette valeur : l’écart de 0,3 cm0{,}3\ \text{cm} est de l’ordre de la précision avec laquelle on repère l’image la plus nette sur l’écran. Les deux méthodes donnent des résultats cohérents.

5. L’objet est avant la lentille : OA‾=−1,00 m\overline{OA} = -1{,}00\ \text{m}. On utilise la relation de conjugaison avec 1f′=8,00 m−1\dfrac{1}{f'} = 8{,}00\ \text{m}^{-1} :

1OA′‾=1f′+1OA‾\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}}

1OA′‾=8,00 m−1+1−1,00 m\dfrac{1}{\overline{OA'}} = 8{,}00\ \text{m}^{-1} + \dfrac{1}{-1{,}00\ \text{m}}

1OA′‾=8,00 m−1−1,00 m−1=7,00 m−1\dfrac{1}{\overline{OA'}} = 8{,}00\ \text{m}^{-1} - 1{,}00\ \text{m}^{-1} = 7{,}00\ \text{m}^{-1}

OA′‾=17,00 m−1=0,143 m=14,3 cm\overline{OA'} = \dfrac{1}{7{,}00\ \text{m}^{-1}} = 0{,}143\ \text{m} = 14{,}3\ \text{cm}

L’écran doit être placé à 14,3 cm14{,}3\ \text{cm} de la lentille.

Réflexe à retenir : une distance lue à la règle est positive. Avant tout calcul, on lui donne le signe de sa mesure algébrique : négatif pour l’objet, positif pour une image recueillie sur un écran.

Les trois réflexes à retenir

  1. Place les signes avant de calculer. L’axe est orienté dans le sens de la lumière : un objet réel est avant la lentille, donc OA‾\overline{OA} est négative. Une distance lue à la règle prend le signe qui correspond au côté de la lentille où se trouve le point.
  2. Calcule d’abord 1OA′‾\dfrac{1}{\overline{OA'}}, puis prends l’inverse. La dernière ligne doit donner une longueur, avec son unité : un résultat en cm−1\text{cm}^{-1} signale que l’inversion manque.
  3. Lis les signes pour décrire l’image. Le signe de OA′‾\overline{OA'} dit si elle est réelle ou virtuelle, celui de γ\gamma si elle est droite ou renversée, et la valeur absolue de γ\gamma si elle est agrandie ou réduite. La carte en haut de page les résume.

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