Exercices — La lentille convergente

1. Les deux foyers sont sur l’axe optique, symétriques par rapport au centre optique $O$ :

• le foyer image $F'$ est situé après la lentille, à $4{,}0\ \text{cm}$ de $O$ ;
• le foyer objet $F$ est situé avant la lentille, à $4{,}0\ \text{cm}$ de $O$.

2. Les trois rayons particuliers du cours :

• un rayon passant par le centre optique $O$ n’est pas dévié ;
• un rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en passant par le foyer image $F'$ ;
• un rayon incident passant par le foyer objet $F$ émerge parallèle à l’axe optique.

Réflexe à retenir : deux rayons suffisent pour construire une image ; le troisième sert de vérification — les trois doivent se couper au même point $B'$.

1. La relation de conjugaison relie les positions de l’objet et de l’image :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$

Les grandeurs surlignées sont algébriques : négatives avant la lentille, positives après.

2. On isole $\dfrac{1}{\overline{OA'}}$ :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{5{,}0} + \dfrac{1}{-10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10}$

$\overline{OA'} = +10\ \text{cm}$

$\overline{OA'} > 0$ : l’image se forme $10\ \text{cm}$ après la lentille, elle est réelle (on peut la recueillir sur un écran).

Astuce de vérification : l’objet est ici placé à la distance $2f'$ de la lentille, et l’image se forme aussi à $2f'$ — c’est un cas particulier célèbre, où l’image a la même taille que l’objet. Attention à l’erreur classique : ne jamais oublier le signe moins de $\overline{OA}$.

1. Le grandissement est le rapport algébrique :

$\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

Application :

$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{50}{-25} = -2{,}0$

2. On en déduit la taille algébrique de l’image :

$\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -2{,}0 \times 1{,}0 = -2{,}0\ \text{cm}$

L’image mesure $2{,}0\ \text{cm}$ ; comme $\gamma < 0$, elle est renversée par rapport à l’objet, et comme $|\gamma| = 2{,}0 > 1$, elle est deux fois plus grande.

Réflexe à retenir : le signe de $\gamma$ donne le sens de l’image (négatif = renversée), sa valeur absolue donne le rapport des tailles (supérieure à 1 = agrandie).

1. Relation de conjugaison :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{4{,}0} + \dfrac{1}{-6{,}0} = \dfrac{3}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{12}$

$\overline{OA'} = +12\ \text{cm}$

2. Grandissement :

$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{12}{-6{,}0} = -2{,}0$

L’image est réelle ($\overline{OA'} > 0$), renversée ($\gamma < 0$) et deux fois plus grande que l’objet ($|\gamma| = 2{,}0$).

Astuce de vérification : l’objet est situé entre $f'$ et $2f'$ du centre optique ($4{,}0 < 6{,}0 < 8{,}0$) ; le cours prévoit dans ce cas une image réelle, renversée et agrandie — c’est exactement ce qu’on trouve ✓.

1. Relation de conjugaison :

$\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{5{,}0} + \dfrac{1}{-30} = \dfrac{6}{30} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6{,}0}$

$\overline{OA'} = +6{,}0\ \text{cm}$

L’image est réelle : il faut placer le capteur à $6{,}0\ \text{cm}$ derrière la lentille.

2. Grandissement :

$\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{6{,}0}{-30} = -0{,}20$

Taille de l’image :

$\overline{A'B'} = \gamma \times \overline{AB} = -0{,}20 \times 10 = -2{,}0\ \text{cm}$

L’image de la fleur mesure $2{,}0\ \text{cm}$ sur le capteur.

3. Comme $\gamma < 0$, l’image est renversée. Ce n’est pas un problème : l’appareil (ou le logiciel) retourne simplement l’image avant de l’afficher — exactement comme notre cerveau le fait avec l’image renversée qui se forme sur la rétine.

Astuce de vérification : l’objet est au-delà de $2f'$ ($30\ \text{cm} > 10\ \text{cm}$), donc le cours prévoit une image réelle, renversée et plus petite que l’objet — c’est bien le cas ($|\gamma| = 0{,}20 < 1$) ✓. Ce petit contrôle qualitatif prend dix secondes et détecte la plupart des erreurs de signe.