Interactions fondamentales et champs 1re spé : exercices corrigés (PDF)

Une petite boule suspendue à un fil qui se précipite vers une baguette frottée, un satellite qui reste lié à la Terre à plus de 20 000 km d’altitude : deux situations très différentes, et deux lois qui se ressemblent beaucoup. La loi de Coulomb décrit la force entre deux charges, la loi de la gravitation la force entre deux masses. En Première, on les écrit sous forme de vecteurs, puis on introduit le champ, qui décrit l’action d’une charge ou d’une masse en tout point de l’espace, et les lignes de champ qui le représentent. Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz, dont un sur une carte de lignes de champ, et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants sont des situations de contrôle, avec un corrigé rédigé comme au tableau.

Le poids et la gravitation se travaillent dès la 3e, dans les exercices sur le poids et la gravitation ; le lien entre les forces et le mouvement vient au chapitre suivant, avec les exercices sur le mouvement d’un système. En Terminale, le champ de gravitation sert à étudier le mouvement des satellites, dans les exercices sur le champ de gravitation de Terminale.

Deux forces à distance, deux champs

Entre deux masses : la gravitation

F = G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^2}

\vec{F}_{A/B} = -G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^2}\,\vec{u}_{AB}

Deux corps de masses $m_A$ et $m_B$ , dont les centres sont à la distance $d$ , s’attirent. Les deux forces ont la même direction, la même valeur et des sens opposés. G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², masses en kg, d en m.

Entre deux charges : la loi de Coulomb

F = k \times \dfrac{|q_A \times q_B|}{d^2}

\vec{F}_{A/B} = k \times \dfrac{q_A \times q_B}{d^2}\,\vec{u}_{AB}

Deux charges $q_A$ et $q_B$ , en coulombs (C), se repoussent si elles ont le même signe et s’attirent sinon. La valeur se calcule avec les charges en valeur absolue. k = 9,0 × 10⁹ N·m²·C⁻².

Le vecteur unitaire $\vec{u}_{AB}$ a une longueur 1, sans unité, et va de A vers B : le signe du nombre qui le multiplie donne le sens de la force exercée par A sur B. Les deux lois ont la même forme : les charges jouent le rôle des masses, k celui de G.

De la force au champ

Le champ de gravitation

\vec{F} = m \times \vec{g} \qquad g = G \times \dfrac{M}{d^2}

Une masse $M$ crée en tout point un champ de gravitation $\vec{g}$ , dirigé vers elle, en N·kg⁻¹. Un corps de masse $m$ placé en ce point subit la force $\vec{F}$ . Près du sol, on lui assimile le champ de pesanteur, en négligeant l’effet de la rotation de la Terre : g ≈ 9,8 N·kg⁻¹.

Le champ électrostatique

\vec{F} = q \times \vec{E} \qquad E = k \times \dfrac{|Q|}{d^2}

Une charge $Q$ crée en tout point un champ électrostatique $\vec{E}$ , en N·C⁻¹, une unité équivalente au V·m⁻¹. Il s’éloigne de Q si elle est positive et se dirige vers elle si elle est négative. Une charge $q$ placée en ce point subit une force de même sens que le champ si q est positive, de sens opposé si elle est négative.

Une ligne de champ est tangente en chacun de ses points au vecteur champ, et orientée dans son sens. Les lignes du champ électrostatique partent des charges positives et vont vers les charges négatives ; celles du champ de gravitation vont vers la masse qui le crée. Là où elles se resserrent, le champ est plus intense. Des lignes parallèles, de même sens et régulièrement espacées décrivent un champ uniforme, comme le champ de pesanteur sur une petite région près du sol.

La carte du chapitre. Avant de calculer, repère ce qui interagit, des masses ou des charges, et ce qu’on te demande : une force, qui s’exerce entre deux objets, ou un champ, créé par un seul.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Force, champ et lignes de champ : le cours en un paragraphe

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Le cours en un texte à trous

Une charge Q crée autour d'elle un champ électrostatique, et une masse M un champ de gravitation. Le champ en un point l'objet que l'on y place : c'est une propriété de l'espace autour de Q ou de M. Un objet de masse m placé dans un champ de gravitation subit une force de même sens que ce champ ; une charge q négative placée dans un champ électrostatique subit une force . La valeur d'un champ électrostatique s'exprime en , une unité équivalente au volt par mètre. En chaque point d'une ligne de champ, le vecteur champ est . Les lignes du champ de gravitation sont orientées . Là où les lignes de champ se resserrent, le champ est . Près du sol, sur une petite région, les lignes du champ de pesanteur sont des droites verticales : ce champ est uniforme.

Exercice 4

Appliquer la loi de Coulomb et représenter une force électrostatique

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Un pendule électrostatique : force, champ et poids

Un pendule électrostatique est formé d’une petite boule B, très légère et recouverte d’aluminium, suspendue à un fil isolant. On charge la boule B, puis on approche une seconde boule A, fixée sur une tige isolante et chargée elle aussi. La boule B s’écarte de la verticale et s’immobilise dans la position du schéma : les centres des deux boules sont alors à la même hauteur, à la distance $d$ l’un de l’autre.

Le pendule électrostatique à l’équilibre : le fil s’est incliné vers A, et les centres des deux boules sont à la même hauteur, à 3,0 cm l’un de l’autre.

Données : charge de la boule A $q_A = -5{,}0\ \text{nC}$ et charge de la boule B $q_B = +4{,}0\ \text{nC}$ , avec $1\ \text{nC} = 10^{-9}\ \text{C}$ ; distance entre les centres $d = 3{,}0\ \text{cm}$ ; masse de la boule B $m = 0{,}040\ \text{g}$ ; constante de Coulomb $k = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$ ; champ de pesanteur $g = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ . On modélise chaque boule par une charge ponctuelle placée en son centre. La force exercée par A sur B s’écrit $\vec{F}_{A/B} = k \times \dfrac{q_A \times q_B}{d^2}\,\vec{u}_{AB}$ , où $\vec{u}_{AB}$ est le vecteur unitaire, de longueur 1 et sans unité, dirigé de A vers B.

Sans calcul, donner le signe du produit $q_A \times q_B$ . En déduire, à l’aide de l’expression de $\vec{F}_{A/B}$ , la direction et le sens de la force exercée par A sur B. S’agit-il d’une attraction ou d’une répulsion ?
Calculer la valeur $F$ de cette force.
Calculer la valeur $E_A$ du champ électrostatique créé par la boule A au centre de la boule B, et préciser sa direction et son sens. Retrouver la valeur $F$ à partir de $E_A$ .
Calculer le poids $P$ de la boule B. Représenter, à partir du centre de B, les vecteurs $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{P}$ à l’échelle $1\ \text{cm}$ pour $1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{N}$ . Expliquer pourquoi le fil ne reste pas vertical.

Voir le corrigé

1. La charge $q_A$ est négative et la charge $q_B$ positive : le produit $q_A \times q_B$ est négatif. Dans l’expression de $\vec{F}_{A/B}$ , le nombre $k \times \dfrac{q_A \times q_B}{d^2}$ qui multiplie $\vec{u}_{AB}$ est donc négatif : $\vec{F}_{A/B}$ est de sens opposé à $\vec{u}_{AB}$ . La force a pour direction la droite (AB), qui joint les centres des deux boules, et elle est orientée de B vers A : la boule A attire la boule B. On retrouve la règle des signes : deux charges de signes contraires s’attirent.

2. On convertit d’abord en unités du système international : $q_A = -5{,}0 \times 10^{-9}\ \text{C}$ , $q_B = 4{,}0 \times 10^{-9}\ \text{C}$ et $d = 3{,}0\ \text{cm} = 3{,}0 \times 10^{-2}\ \text{m}$ . D’après la loi de Coulomb, avec les charges en valeur absolue :

$F = k \times \dfrac{|q_A \times q_B|}{d^2}$

$F = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2} \times \dfrac{5{,}0 \times 10^{-9}\ \text{C} \times 4{,}0 \times 10^{-9}\ \text{C}}{(3{,}0 \times 10^{-2}\ \text{m})^2}$

$F = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2} \times \dfrac{2{,}0 \times 10^{-17}\ \text{C}^2}{9{,}0 \times 10^{-4}\ \text{m}^2} = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \text{N}$

3. La boule A crée autour d’elle un champ électrostatique. Au centre de B, à la distance $d$ de A, sa valeur est :

$E_A = k \times \dfrac{|q_A|}{d^2}$

$E_A = 9{,}0 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2} \times \dfrac{5{,}0 \times 10^{-9}\ \text{C}}{(3{,}0 \times 10^{-2}\ \text{m})^2} = 5{,}0 \times 10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

La charge $q_A$ est négative : le champ qu’elle crée est dirigé vers elle. Au centre de B, $\vec{E}_A$ a donc pour direction la droite (AB), et il est orienté de B vers A.

La boule B, placée dans ce champ, subit la force $\vec{F}_{A/B} = q_B \times \vec{E}_A$ . Comme $q_B$ est positive, la force a le sens du champ, vers A, et sa valeur vaut :

$F = |q_B| \times E_A = 4{,}0 \times 10^{-9}\ \text{C} \times 5{,}0 \times 10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1} = 2{,}0 \times 10^{-4}\ \text{N}$

On retrouve la valeur de la question 2. Le champ $E_A$ ne dépend que de la boule A et de la distance : il garderait la même valeur si l’on remplaçait B par une autre boule chargée, et seule la force changerait.

4. Le poids de B se calcule avec le champ de pesanteur, la masse étant convertie en kilogrammes : $m = 0{,}040\ \text{g} = 4{,}0 \times 10^{-5}\ \text{kg}$ .

$P = m \times g = 4{,}0 \times 10^{-5}\ \text{kg} \times 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} = 3{,}9 \times 10^{-4}\ \text{N}$

À l’échelle $1\ \text{cm}$ pour $1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{N}$ , la flèche de $\vec{F}_{A/B}$ mesure $2{,}0\ \text{cm}$ , horizontale et dirigée vers A ; celle de $\vec{P}$ mesure $3{,}9\ \text{cm}$ , verticale et dirigée vers le bas. Les deux flèches partent du centre de B.

Les deux forces exercées sur la boule B, à l’échelle 1 cm pour 1,0 × 10⁻⁴ N : la force électrostatique exercée par A, horizontale vers A (2,0 cm), et le poids, vertical vers le bas (3,9 cm).

Sans la boule A, la boule B ne subit que son poids et la force exercée par le fil, toutes deux verticales : le fil reste vertical. Avec la boule A, une force horizontale s’y ajoute, et sa valeur est du même ordre de grandeur que le poids, environ la moitié :

$\dfrac{F}{P} = \dfrac{2{,}0 \times 10^{-4}\ \text{N}}{3{,}9 \times 10^{-4}\ \text{N}} \approx 0{,}51$

Cette force tire la boule vers A : le fil s’incline de ce côté, jusqu’à une nouvelle position d’équilibre.

Réflexe à retenir : calcule la valeur d’une force électrostatique avec les charges en valeur absolue, puis trouve son sens à part, avec le signe du produit $q_A \times q_B$ ou avec la règle des signes.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Calculer le champ de gravitation de la Terre en altitude

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Type contrôle, avec la carte du champ et les données d'un satellite

Les satellites Galileo forment le système européen de positionnement par satellites : leurs signaux permettent, par exemple, à un téléphone de calculer sa position. Ils tournent autour de la Terre à environ 23 200 km d’altitude. Le document représente quelques lignes du champ de gravitation créé par la Terre, dans un plan qui passe par son centre O et par l’un de ces satellites, noté S.

Document : quelques lignes du champ de gravitation créé par la Terre, dans un plan qui passe par son centre O et par le satellite S. Le vecteur u est le vecteur unitaire dirigé de O vers S.

Donnée	Valeur
Masse d’un satellite Galileo de première génération	$m \approx 7{,}3 \times 10^{2}\ \text{kg}$
Altitude du satellite	$h = 2{,}32 \times 10^{4}\ \text{km}$
Masse de la Terre	$M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}$
Rayon de la Terre	$R_T = 6{,}37 \times 10^{3}\ \text{km}$
Constante de gravitation	$G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$
Champ de pesanteur au sol	$g_0 = 9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

Données : pour le calcul, tout se passe comme si la masse de la Terre était concentrée en son centre O. Le champ de gravitation créé par la Terre en un point situé à la distance $d$ de O s’écrit $\vec{g} = -G \times \dfrac{M_T}{d^2}\,\vec{u}$ , où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire dirigé de O vers ce point.

Caractériser la ligne de champ qui passe par S : quelle est sa direction, et dans quel sens est-elle orientée ? En déduire la direction et le sens du vecteur champ de gravitation $\vec{g}_S$ au point S, puis vérifier que l’expression de $\vec{g}$ donne le même sens.
Exprimer la distance $d$ entre le centre O de la Terre et le satellite en fonction de $R_T$ et de $h$ , puis la calculer en mètres.
Calculer la valeur $g_S$ du champ de gravitation au point S. Combien de fois est-elle plus petite que la valeur $g_0$ du champ de pesanteur au sol ?
Calculer la valeur $F$ de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite. Quelles sont la valeur, la direction et le sens de la force exercée par le satellite sur la Terre ?
Deux élèves discutent. Le premier affirme : « à cette altitude, le satellite échappe à la gravitation de la Terre ». Le second ajoute : « le champ de gravitation de la Terre est uniforme, il a donc la même valeur au sol et au niveau du satellite ». Discuter chacune de ces deux affirmations à l’aide des résultats et du document.

Voir le corrigé

1. Sur le document, les lignes de champ sont des droites qui convergent vers le centre O de la Terre. La ligne qui passe par S est donc la droite (OS), et elle est orientée de S vers O, vers la Terre. En S, le vecteur champ est tangent à la ligne et orienté dans son sens : $\vec{g}_S$ a pour direction la droite (OS) et il est dirigé de S vers O.

En S, le vecteur champ de gravitation est tangent à la ligne de champ, la droite OS, et orienté comme elle : vers O, le centre de la Terre.

Dans l’expression $\vec{g} = -G \times \dfrac{M_T}{d^2}\,\vec{u}$ , le nombre $-G \times \dfrac{M_T}{d^2}$ est négatif, puisque $G$ , $M_T$ et $d^2$ sont positifs : $\vec{g}$ est de sens opposé à $\vec{u}$ . Comme $\vec{u}$ va de O vers S, $\vec{g}_S$ va de S vers O : les deux méthodes concordent. Le champ de gravitation est dirigé vers la masse qui le crée.

2. Le satellite est à l’altitude $h$ au-dessus du sol, et le sol est à la distance $R_T$ du centre : $d = R_T + h$ . On convertit en mètres, $R_T = 6{,}37 \times 10^{3}\ \text{km} = 6{,}37 \times 10^{6}\ \text{m}$ et $h = 2{,}32 \times 10^{4}\ \text{km} = 2{,}32 \times 10^{7}\ \text{m}$ , puis :

$d = R_T + h = 6{,}37 \times 10^{6}\ \text{m} + 2{,}32 \times 10^{7}\ \text{m} = 2{,}957 \times 10^{7}\ \text{m}$

On garde ce chiffre supplémentaire pour la suite du calcul, et on arrondira le résultat final.

3. La valeur du champ de gravitation en S est :

$g_S = G \times \dfrac{M_T}{d^2}$

$g_S = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2} \times \dfrac{5{,}97 \times 10^{24}\ \text{kg}}{(2{,}957 \times 10^{7}\ \text{m})^2} = 0{,}455\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$

Pour comparer, on calcule le rapport des deux valeurs :

$\dfrac{g_0}{g_S} = \dfrac{9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}}{0{,}455\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}} \approx 22$

Au niveau du satellite, le champ de gravitation est environ 22 fois plus faible qu’au sol. C’est l’effet de l’inverse du carré de la distance : le satellite est environ 4,64 fois plus loin du centre de la Terre qu’un objet posé au sol, et $4{,}64^2 \approx 21{,}5$ , soit environ 22.

4. Le satellite, de masse $m$ , est placé dans le champ de gravitation de la Terre :

$F = m \times g_S = 7{,}3 \times 10^{2}\ \text{kg} \times 0{,}455\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1} \approx 3{,}3 \times 10^{2}\ \text{N}$

Les deux forces d’une interaction ont la même direction, la même valeur et des sens opposés : le satellite attire la Terre avec une force de valeur $3{,}3 \times 10^{2}\ \text{N}$ , portée par la droite (OS) et dirigée de O vers S.

5. La première affirmation est fausse. À l’altitude du satellite, le champ de gravitation vaut $0{,}455\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ : il est plus faible qu’au sol, mais il n’est pas nul, et la Terre exerce sur le satellite une force d’environ $3{,}3 \times 10^{2}\ \text{N}$ . La valeur du champ diminue quand on s’éloigne de la Terre, comme l’inverse du carré de la distance, mais elle ne devient pas nulle. C’est même cette force qui retient le satellite autour de la Terre ; le mouvement des satellites s’étudie en Terminale.

La seconde affirmation est fausse elle aussi. Un champ uniforme a la même direction, le même sens et la même valeur en tout point. Ici, la valeur passe d’environ $9{,}8\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ au sol à $0{,}455\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ au niveau du satellite, et sur le document les lignes de champ ne sont pas parallèles : elles convergent vers O, donc la direction du champ change d’un point à l’autre. On ne peut considérer le champ de pesanteur comme uniforme que sur une petite région près du sol, où les lignes sont pratiquement parallèles et la valeur pratiquement la même.

Réflexe à retenir : dans $g = G \times \dfrac{M}{d^2}$ , $d$ est la distance au centre de l’astre, pas l’altitude. Avec l’altitude seule, on trouverait ici $0{,}740\ \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}$ , une valeur trop grande d’environ 60 %.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

Masses ou charges, force ou champ ? Avant d’écrire une formule, repère ce qui interagit : des masses, avec la loi de la gravitation et la constante $G$ , ou des charges, avec la loi de Coulomb et la constante $k$ . Une force fait intervenir deux objets ; un champ n’en fait intervenir qu’un seul, celui qui le crée.
La valeur d’abord, le sens ensuite. Calcule la valeur avec les charges en valeur absolue, puis trouve le sens à part : avec le signe des charges et le vecteur unitaire $\vec{u}_{AB}$ , ou sur une carte, en suivant la flèche de la ligne de champ, à laquelle le vecteur champ est tangent.
Convertis en unités du système international avant de calculer. Les nanocoulombs en coulombs, les centimètres et les kilomètres en mètres : la distance est élevée au carré, et une distance laissée en centimètres donnerait une force $10^4$ fois trop petite. La carte en haut de page rappelle les relations du chapitre.

Exercices corrigés — Interactions fondamentales et champs

Interpréter une expérience d'électrostatique

Lire une carte de lignes de champ électrostatique