Exercices — Études énergétiques en mécanique

1. L’énergie cinétique d’un système de masse $m$ animé d’une vitesse $v$ est :

$E_c = \dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{1}{2} \times 1200 \times (20)^2 = 600 \times 400 = 2{,}4 \times 10^5\ \text{J}$

2. La vitesse intervient au carré : si $v$ double, $v^2$ est multiplié par 4, donc $E_c$ est multipliée par 4 :

$E_c' = 4 \times 2{,}4 \times 10^5 = 9{,}6 \times 10^5\ \text{J}$

Réflexe à retenir : c’est pour cela qu’un choc à $100\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ est quatre fois plus violent qu’à $50\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}$. Et attention en contrôle : la vitesse doit toujours être en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ avant d’entrer dans la formule.

1. En prenant une altitude de référence où $E_{pp} = 0$ :

$E_{pp} = m \times g \times z$

avec $z$ l’altitude du système par rapport à la référence choisie.

2. En choisissant le refuge comme référence ($z = 0$), le sommet est à $z = 500\ \text{m}$ :

$\Delta E_{pp} = m \times g \times z = 70 \times 10 \times 500 = 3{,}5 \times 10^5\ \text{J}$

Réflexe à retenir : seule la variation d’énergie potentielle a un sens physique. Tu peux placer le zéro où tu veux (souvent au point le plus bas du problème) : choisis-le pour simplifier les calculs, et dis-le clairement sur ta copie.

1. La force est dans le sens du déplacement, donc $\alpha = 0$ et $\cos\alpha = 1$ :

$W_{AB}(\vec{F}) = F \times AB \times \cos 0 = 50 \times 8{,}0 \times 1 = 4{,}0 \times 10^2\ \text{J}$

Le travail est positif : la force est motrice.

2. Le poids est vertical et le déplacement horizontal : $\alpha = 90°$ et $\cos 90° = 0$, donc

$W_{AB}(\vec{P}) = 0\ \text{J}$

Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille pas.

3. La force de frottement est opposée au déplacement : $\alpha = 180^\circ$ et $\cos 180^\circ = -1$ :

$W_{AB}(\vec{f}) = f \times AB \times \cos 180^\circ = 20 \times 8{,}0 \times (-1) = -1{,}6 \times 10^2\ \text{J}$

Le travail est négatif : la force est résistante.

Astuce de vérification : avant tout calcul, demande-toi si la force aide le mouvement (travail positif), le freine (négatif) ou lui est perpendiculaire (nul). Le signe de ton résultat doit confirmer cette intuition.

1. Pour une chute verticale vers le bas, le poids est moteur et son travail vaut :

$W(\vec{P}) = m \times g \times h = 0{,}50 \times 10 \times 5{,}0 = 25\ \text{J}$

2. Le théorème de l’énergie cinétique dit que la variation d’énergie cinétique entre deux points est égale à la somme des travaux des forces appliquées :

$\Delta E_c = E_{c,\text{final}} - E_{c,\text{initial}} = \sum W$

Ici la seule force est le poids, et la balle part sans vitesse ($E_{c,\text{initial}} = 0$) :

$\dfrac{1}{2} m v^2 - 0 = W(\vec{P}) = 25\ \text{J}$

$v = \sqrt{\dfrac{2 \times 25}{0{,}50}} = \sqrt{100} = 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Astuce de vérification : la masse se simplifie en réalité ($v = \sqrt{2gh}$), donc la vitesse de chute ne dépend pas de la masse — c’est un bon moyen de contrôler ton résultat : $\sqrt{2 \times 10 \times 5{,}0} = 10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ✓.

1. L’énergie mécanique est la somme $E_m = E_c + E_{pp}$. Sans frottement, elle se conserve : l’énergie potentielle du départ se transforme entièrement en énergie cinétique. En prenant le bas de la pente comme référence des altitudes :

$E_{m,\text{départ}} = E_{m,\text{arrivée}} \quad \Longrightarrow \quad m g h = \dfrac{1}{2} m v^2$

$v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 3{,}2} = \sqrt{64} = 8{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

2. On calcule l’énergie mécanique au départ et à l’arrivée :

• au départ : $E_m = m g h = 40 \times 10 \times 3{,}2 = 1{,}28 \times 10^3\ \text{J}$ ;
• à l’arrivée : $E_m = \dfrac{1}{2} m v^2 = \dfrac{1}{2} \times 40 \times (6{,}0)^2 = 7{,}2 \times 10^2\ \text{J}$.

D’où :

$\Delta E_m = 720 - 1280 = -5{,}6 \times 10^2\ \text{J}$

L’énergie mécanique diminue : les frottements (neige, air) ont un travail négatif et dissipent $560\ \text{J}$ sous forme d’énergie thermique. On a d’ailleurs $\Delta E_m = W(\vec{f})$.

Réflexe à retenir : $E_m$ se conserve seulement en l’absence de frottements. Si l’énoncé mentionne des frottements, la variation d’énergie mécanique est égale au travail de ces frottements — et elle est forcément négative.