Exercices — Combinatoire et dénombrement

1. Les trois choix sont successifs et indépendants : d’après le principe multiplicatif,

$3 \times 4 \times 2 = 24\ \text{menus}$

2. Un code est un 4-uplet d’éléments de l’ensemble $\{0 ; 1 ; \dots ; 9\}$, qui compte 10 éléments. Chaque chiffre offre 10 possibilités, indépendamment des autres :

$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10\ 000\ \text{codes}$

Réflexe à retenir : le nombre de $k$-uplets d’un ensemble à $n$ éléments est $n^k$. Dès que tu peux décomposer un choix en étapes successives, multiplie les nombres de possibilités.

1. Par définition, $n!$ est le produit de tous les entiers de 1 à $n$ :

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

2. Ranger les 5 livres, c’est choisir une permutation de ces 5 objets : 5 choix pour le premier emplacement, puis 4, puis 3, puis 2, puis 1 :

$5! = 120\ \text{rangements}$

3. Un ordre d’arrivée est une permutation des 4 coureurs :

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\ \text{ordres possibles}$

Réflexe à retenir : « ranger », « ordonner », « classer sans ex æquo » $n$ objets tous distincts = permutation = $n!$.

On choisit successivement, sans répétition et en tenant compte de l’ordre :

• 8 possibilités pour la médaille d’or ;
• puis 7 possibilités pour l’argent (le vainqueur n’est plus disponible) ;
• puis 6 possibilités pour le bronze.

D’après le principe multiplicatif :

$8 \times 7 \times 6 = 336\ \text{podiums}$

C’est un arrangement de 3 éléments parmi 8 : un $k$-uplet d’éléments distincts, où l’ordre compte.

Réflexe à retenir : pour un arrangement de $k$ éléments parmi $n$, on multiplie $k$ facteurs en descendant depuis $n$ : ici $8 \times 7 \times 6$ (3 facteurs). Pas besoin de formule compliquée si tu comprends le principe multiplicatif.

1. Un groupe de travail est un choix sans ordre (aucun rôle attribué) : c’est une combinaison de 3 parmi 7 :

$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!\,4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35\ \text{groupes}$

2. Une main de 2 cartes parmi 6 est une combinaison (piocher « simultanément » = l’ordre ne compte pas) :

$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\ \text{mains}$

Astuce de vérification : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ ; par exemple $\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35$. Et pense au réflexe : ordre qui compte → arrangement (exercice 3) ; ordre qui ne compte pas → combinaison.

1. Chaque choix est une combinaison (aucun ordre au sein de la délégation) :

• pour les filles : $\displaystyle\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ ;
• pour les garçons : $\displaystyle\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$.

2. Le choix des filles et celui des garçons sont indépendants : d’après le principe multiplicatif,

$\binom{12}{2} \times \binom{10}{2} = 66 \times 45 = 2\ 970\ \text{délégations}$

Réflexe à retenir : c’est LE schéma classique du contrôle — des combinaisons pour chaque sous-groupe, reliées par le principe multiplicatif. Erreur à éviter : calculer $\binom{22}{4}$, qui compterait aussi les délégations de 3 filles et 1 garçon, etc.