Exercices — La trigonométrie

1. L’hypoténuse est le côté face à l’angle droit : comme l’angle droit est en A, l’hypoténuse est $[BC]$. C’est aussi le plus grand côté du triangle.

2. Le côté opposé à $\widehat{B}$ est celui qui ne touche pas le sommet B : c’est $[AC]$. Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est celui qui touche B sans être l’hypoténuse : c’est $[AB]$.

3. Avec le moyen mnémotechnique CAH SOH TOA :

$\cos \widehat{B} = \dfrac{AB}{BC} \qquad \sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} \qquad \tan \widehat{B} = \dfrac{AC}{AB}$

Réflexe à retenir : avant toute formule, commence toujours par identifier les trois côtés (hypoténuse, opposé, adjacent) par rapport à l’angle utilisé. L’hypoténuse ne change jamais, mais opposé et adjacent s’échangent si on change d’angle !

1. Le mur est vertical et le sol horizontal : ils forment un angle droit. Le sol, le mur et l’échelle forment donc un triangle rectangle, dont l’échelle est l’hypoténuse — on peut utiliser cosinus, sinus ou tangente.

2. La hauteur $h$ sur le mur est le côté opposé à l’angle de $70°$, et on connaît l’hypoténuse (l’échelle, $5\ \text{m}$) : opposé et hypoténuse, c’est le sinus (SOH).

$\sin 70° = \dfrac{h}{5}$

On isole $h$ en multipliant par 5 :

$h = 5 \times \sin 70° \approx 4{,}7\ \text{m}$

3. La distance $d$ au pied du mur est le côté adjacent à l’angle : adjacent et hypoténuse, c’est le cosinus (CAH).

$d = 5 \times \cos 70° \approx 1{,}7\ \text{m}$

Astuce de vérification : avec le théorème de Pythagore, $4{,}7^2 + 1{,}7^2 \approx 25 = 5^2$ ✓. Les deux résultats sont cohérents !

On identifie les côtés par rapport à l’angle $\widehat{T}$ : le côté opposé est $[RS]$ (il ne touche pas T) et le côté adjacent est $[ST]$. Opposé et adjacent, c’est la tangente (TOA) :

$\tan \widehat{T} = \dfrac{RS}{ST} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$

Pour remonter de la tangente à l’angle, on utilise la fonction inverse $\tan^{-1}$ de la calculatrice :

$\widehat{T} = \tan^{-1}(0{,}6) \approx 31°$

Réflexe à retenir : pour calculer un angle, c’est toujours une fonction inverse ($\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$). Vérifie que le résultat est cohérent : un angle aigu d’un triangle rectangle est compris entre 0° et 90°, et ici l’autre angle aigu vaut environ $90 - 31 = 59°$ ✓.

1. Attention aux unités : on convertit d’abord tout en mètres : $h = 24\ \text{cm} = 0{,}24\ \text{m}$.

Dans le triangle ABC rectangle en C, par rapport à l’angle $\widehat{A}$ : le côté opposé est $[BC]$ (la hauteur) et le côté adjacent est $[AC]$ (la distance horizontale). C’est donc la tangente :

$\tan \widehat{A} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{0{,}24}{4{,}80} = 0{,}05$

Avec la fonction inverse :

$\widehat{A} = \tan^{-1}(0{,}05) \approx 2{,}9°$

2. On compare à la norme : $2{,}9° \leq 3°$, donc la rampe est conforme à la réglementation. (Au brevet, une conclusion rédigée avec la comparaison rapporte des points !)

3. La rampe $[AB]$ est l’hypoténuse. On connaît le côté adjacent $AC = 4{,}80\ \text{m}$ : adjacent et hypoténuse, c’est le cosinus :

$\cos \widehat{A} = \dfrac{AC}{AB}$

On isole AB :

$AB = \dfrac{AC}{\cos \widehat{A}} = \dfrac{4{,}80}{\cos 2{,}9°} \approx 4{,}81\ \text{m}$

Astuce de vérification : l’hypoténuse doit être le plus grand côté, et à peine plus longue que $4{,}80\ \text{m}$ puisque la pente est très douce ✓. On pouvait aussi utiliser le théorème de Pythagore : $AB = \sqrt{4{,}80^2 + 0{,}24^2} \approx 4{,}81\ \text{m}$.