Exercices — Les statistiques

1. On additionne tous les effectifs :

$15 + 5 + 20 + 10 = 50$

L’effectif total est bien 50 ✓.

2. La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total :

$f = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$

• À pied : $\dfrac{15}{50} = 0{,}30$ soit $30\ \%$ ;
• vélo : $\dfrac{5}{50} = 0{,}10$ soit $10\ \%$ ;
• bus : $\dfrac{20}{50} = 0{,}40$ soit $40\ \%$ ;
• voiture : $\dfrac{10}{50} = 0{,}20$ soit $20\ \%$.

Vérification : $0{,}30 + 0{,}10 + 0{,}40 + 0{,}20 = 1$, soit $100\ \%$ ✓. La somme des fréquences vaut toujours 1.

3. Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux effectifs : le disque entier ($360°$) représente l’effectif total. Chaque angle vaut donc la fréquence multipliée par $360°$ :

• À pied : $0{,}30 \times 360 = 108°$ ;
• vélo : $0{,}10 \times 360 = 36°$ ;
• bus : $0{,}40 \times 360 = 144°$ ;
• voiture : $0{,}20 \times 360 = 72°$.

Vérification : $108 + 36 + 144 + 72 = 360°$ ✓.

1. La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre :

$m = \dfrac{8 + 11 + 14 + 15}{4} = \dfrac{48}{4} = 12$

2. Quand les notes ont des coefficients, on calcule une moyenne pondérée : chaque note est multipliée par son coefficient, et on divise par la somme des coefficients :

$m = \dfrac{12 \times 1 + 9 \times 2 + 15 \times 3}{1 + 2 + 3} = \dfrac{12 + 18 + 45}{6} = \dfrac{75}{6} = 12{,}5$

Lina a $12{,}5$ de moyenne.

Réflexe à retenir : on divise par la somme des coefficients ($6$), jamais par le nombre de notes ($3$). Diviser par 3 est l’erreur la plus fréquente du chapitre !

1. La série est déjà ordonnée et compte $11$ valeurs (effectif impair). La médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 6e valeur (5 valeurs avant, 5 valeurs après) :

$\text{médiane} = 15\ \text{min}$

Au moins la moitié des élèves met $15$ minutes ou moins, au moins la moitié met $15$ minutes ou plus.

2. L’étendue est l’écart entre la valeur maximale et la valeur minimale :

$e = 45 - 5 = 40\ \text{min}$

3. On additionne les 11 valeurs :

$5 + 8 + 10 + 12 + 12 + 15 + 18 + 20 + 25 + 30 + 45 = 200$

$m = \dfrac{200}{11} \approx 18{,}2\ \text{min}$

La moyenne ($18{,}2$) est nettement supérieure à la médiane ($15$) à cause de la valeur extrême $45$ : une seule grande valeur suffit à « tirer » la moyenne vers le haut, alors que la médiane, qui ne dépend que du rang des valeurs, bouge à peine.

Réflexe à retenir : quand une série contient des valeurs extrêmes (salaires, temps de trajet…), la médiane décrit souvent mieux la situation « typique » que la moyenne.

1. On additionne les effectifs :

$2 + 4 + 6 + 5 + 5 + 3 = 25$

L’effectif total est bien 25 ✓.

2. Les notes sont données avec leurs effectifs : c’est une moyenne pondérée. On multiplie chaque note par son effectif, puis on divise par l’effectif total :

$m = \dfrac{6 \times 2 + 8 \times 4 + 10 \times 6 + 12 \times 5 + 14 \times 5 + 16 \times 3}{25}$

$m = \dfrac{12 + 32 + 60 + 60 + 70 + 48}{25} = \dfrac{282}{25} = 11{,}28$

La note moyenne de la classe est $11{,}28$.

3. L’effectif total est $25$ (impair) : la médiane est la 13e note de la série ordonnée (12 notes avant, 12 notes après). On cumule les effectifs dans l’ordre croissant des notes :

• notes $6$ : rangs 1 à 2 ;
• notes $8$ : rangs 3 à 6 ;
• notes $10$ : rangs 7 à 12 ;
• notes $12$ : rangs 13 à 17.

La 13e note est un $12$ : la médiane vaut 12.

4. L’étendue est l’écart entre la meilleure et la moins bonne note :

$e = 16 - 6 = 10$

5. On compte les élèves ayant eu $12$ ou plus :

$5 + 5 + 3 = 13\ \text{élèves}$

Or $13 \geqslant 12{,}5$, c’est-à-dire au moins la moitié de $25$. Le professeur a raison — et c’est exactement ce que dit la médiane trouvée à la question 3 : quand la médiane vaut $12$, au moins la moitié de la série est supérieure ou égale à $12$.

Réflexe à retenir : au brevet, la question « a-t-on raison de dire que… ? » se traite toujours par un calcul justifié, jamais par une simple impression.