Exercices — Les probabilités

1. C’est une expérience aléatoire car on connaît tous les résultats possibles, mais on ne peut pas prévoir lequel se produira. Si l’on s’intéresse à la couleur, elle a 3 issues : rouge, bleue, verte.

2. Les boules sont indiscernables au toucher et on tire au hasard : chaque boule a la même probabilité d’être tirée (situation d’équiprobabilité). On peut donc compter les boules :

$P(R) = \dfrac{\text{nombre de boules rouges}}{\text{nombre total de boules}} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$

3. « Ne pas être verte » est l’événement contraire de « être verte ». Or :

$P(\text{verte}) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$

Donc :

$P(\text{pas verte}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$

Vérification par comptage direct : $3 + 5 = 8$ boules ne sont pas vertes, soit $\dfrac{8}{10} = 0{,}8$ ✓.

Réflexe à retenir : la somme des probabilités d’un événement et de son contraire vaut toujours 1.

1. Le dé est équilibré : les 6 issues sont équiprobables.

$P(6) = \dfrac{1}{6}$

2. Les multiples de 3 entre 1 et 6 sont 3 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :

$P(\text{multiple de 3}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

3. Méthode directe : les issues favorables sont 2, 3, 4, 5, 6, soit $\dfrac{5}{6}$. Méthode de l’événement contraire, souvent plus rapide : le contraire de « obtenir au moins 2 » est « obtenir 1 » :

$P(\text{au moins 2}) = 1 - P(1) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

4. Événement impossible (probabilité 0) : « obtenir 7 ». Événement certain (probabilité 1) : « obtenir un nombre entre 1 et 6 ».

Réflexe à retenir : dès qu’un événement contient « au moins », pense à passer par son contraire — il est presque toujours plus simple à compter.

1. Il y a 2 boules violettes sur 3 boules au total, tirées au hasard :

$P(V) = \dfrac{2}{3}$

2. Comme la boule est remise dans l’urne, le second tirage se fait dans les mêmes conditions que le premier. L’arbre comporte deux niveaux ; sur chaque branche, on écrit la probabilité :

• 1er tirage : B avec $\dfrac{1}{3}$, ou V avec $\dfrac{2}{3}$ ;
• 2e tirage (dans chaque cas) : B avec $\dfrac{1}{3}$, ou V avec $\dfrac{2}{3}$.

Les 4 chemins possibles sont : B puis B, B puis V, V puis B, V puis V.

3. Règle de l’arbre : la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

$P(V\ \text{puis}\ V) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$

4. « Au moins une bleue » est l’événement contraire de « deux violettes » (le seul chemin sans aucune bleue) :

$P(\text{au moins une bleue}) = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$

Réflexe à retenir : sur un arbre, on multiplie le long d’un chemin ; et la somme des probabilités de tous les chemins vaut 1 — un bon moyen de vérifier ton arbre.

1. Chaque naissance donne une fille (F) ou un garçon (G), avec la même probabilité $\dfrac{1}{2}$. Pour deux enfants, l’arbre donne 4 issues équiprobables :

G puis G — G puis F — F puis G — F puis F

Une seule issue correspond à « deux garçons » :

$P(\text{deux garçons}) = \dfrac{1}{4}$

On retrouve ce résultat en multipliant le long du chemin : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$.

2. « Avoir au moins une fille » est l’événement contraire de « avoir deux garçons » :

$P(\text{au moins une fille}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

3. La fréquence observée de « deux garçons » dans cette maternité est :

$f = \dfrac{260}{1000} = 0{,}26$

Or la probabilité théorique vaut $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$. La fréquence observée ($0{,}26$) est très proche de la probabilité ($0{,}25$) : le résultat est cohérent. C’est le phénomène de stabilisation des fréquences : quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d’un événement se rapproche de sa probabilité — sans jamais être obligée de lui être exactement égale.

Réflexe à retenir : au brevet, ne conclus jamais « le résultat est faux car 0,26 ≠ 0,25 ». Une fréquence observée fluctue autour de la probabilité ; on juge la cohérence, pas l’égalité parfaite.