Exercices — La notion de fonction

1. Calculer l’image de $4$, c’est remplacer $x$ par $4$ dans l’expression :

$f(4) = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

L’image de $4$ par $f$ est $10$.

2. On procède de la même façon :

$f(0) = 3 \times 0 - 2 = -2$

$f(-1) = 3 \times (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

Attention au calcul avec le nombre négatif : $3 \times (-1) = -3$, et on retire encore $2$.

3. $f(4) = 10$ signifie que $10$ est l’image de $4$ par $f$, et que $4$ est un antécédent de $10$ par $f$.

Réflexe à retenir : l’antécédent est le nombre de départ, l’image est le résultat. Dans l’écriture $f(4) = 10$, le départ est entre les parenthèses.

1. On repère $3$ sur la première ligne, et on lit juste en dessous : $g(3) = 1$.

L’image de $3$ par $g$ est $1$.

2. Cette fois on part de la seconde ligne : on y repère $9$, et on lit au-dessus le nombre de départ. Un antécédent de $9$ par $g$ est $5$.

3. Le nombre $1$ apparaît deux fois sur la seconde ligne, sous $0$ et sous $3$ : les antécédents de $1$ visibles dans le tableau sont donc $0$ et $3$.

Remarque importante : un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction… mais un nombre a toujours une seule image. C’est une question de cours très fréquente au brevet.

Rappel du cours : la courbe de $h$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x ; h(x))$. Pour chaque point, l’abscisse est l’antécédent et l’ordonnée est son image.

1. Le point $C(2 ; -3)$ appartient à la courbe, donc :

$h(2) = -3$

2. Le point $B(0 ; 1)$ appartient à la courbe, donc l’image de $0$ par $h$ est $1$.

3. On cherche les points dont l’ordonnée vaut $3$ : ce sont $A(-1 ; 3)$ et $D(4 ; 3)$. Deux antécédents de $3$ par $h$ sont donc $-1$ et $4$.

Réflexe à retenir : lire une image = partir de l’axe des abscisses et remonter jusqu’à la courbe. Lire un antécédent = partir de l’axe des ordonnées, et il peut y avoir plusieurs points sur le chemin !

1. On applique le programme pas à pas : $3 \times 2 = 6$, puis $6 + 5 = 11$ ✓.

2. On refait les mêmes étapes avec $x$ : on le multiplie par $2$, ce qui donne $2x$, puis on ajoute $5$ :

$f(x) = 2x + 5$

3. On remplace $x$ par $-4$ :

$f(-4) = 2 \times (-4) + 5 = -8 + 5 = -3$

L’image de $-4$ par $f$ est $-3$.

4. Chercher le nombre de départ qui donne $17$, c’est chercher un antécédent de $17$ par $f$ : on résout l’équation $f(x) = 17$.

$2x + 5 = 17$

On retire $5$ à chaque membre :

$2x = 12$

On divise chaque membre par $2$ :

$x = 6$

Il faut choisir $6$ au départ. Vérification : $6 \times 2 = 12$, puis $12 + 5 = 17$ ✓.

Réflexe à retenir : « quel nombre choisir pour obtenir… » = chercher un antécédent = résoudre une équation. Et on vérifie toujours en refaisant tourner le programme !