Exercices — Les vecteurs

1. On additionne coordonnée par coordonnée : $\vec{u} + \vec{v}\,(2 + (-1)\,;\,-3 + 4)$, soit $\vec{u} + \vec{v}\,(1\,;\,1)$.

2. On multiplie chaque coordonnée par $3$ : $3\vec{u}\,(6\,;\,-9)$.

3. D’abord $2\vec{u}\,(4\,;\,-6)$, puis on soustrait coordonnée par coordonnée : $2\vec{u} - \vec{v}\,(4 - (-1)\,;\,-6 - 4)$, soit $2\vec{u} - \vec{v}\,(5\,;\,-10)$.

4. $-2\vec{u}\,(-2 \times 2\,;\,-2 \times (-3))$, c’est-à-dire $-2\vec{u}\,(-4\,;\,6)$ : on reconnait $\vec{w}$. Ainsi $\vec{w} = -2\vec{u}$ : les deux vecteurs sont colinéaires (et de sens contraires, car $-2 < 0$).

Réflexe à retenir : toutes les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par coordonnée — et la moitié des erreurs vient des soustractions de nombres négatifs, alors pose les parenthèses.

1. Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (la lettre du milieu disparait).

2. $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$, puis $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MM} = \vec{0}$. Le tour complet ramène au point de départ !

3. Soustraire, c’est ajouter l’opposé : $-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$. Donc $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.

4. On insère le point $D$ dans $\overrightarrow{AB}$ grâce à Chasles : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}$. Alors :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \left(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}\right) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}$

(l’ordre des termes d’une somme de vecteurs peut être changé librement).

Réflexe à retenir : pour appliquer Chasles, fais apparaitre une lettre commune (l’arrivée de l’un = le départ de l’autre), quitte à insérer un point ou à transformer une soustraction en addition de l’opposé ($-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$).

1. Arrivée moins départ : $\overrightarrow{AB}\,(3 - (-1)\,;\,5 - 2)$, soit $\overrightarrow{AB}\,(4\,;\,3)$ ; $\overrightarrow{AC}\,(2 - (-1)\,;\,-2 - 2)$, soit $\overrightarrow{AC}\,(3\,;\,-4)$ ; $\overrightarrow{BC}\,(2 - 3\,;\,-2 - 5)$, soit $\overrightarrow{BC}\,(-1\,;\,-7)$.

2. La distance est la norme du vecteur :

$AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \qquad AC = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$

$BC = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$

3. $AB = AC = 5$ : le triangle est isocèle en $A$. De plus :

$AB^2 + AC^2 = 25 + 25 = 50 = BC^2$

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est aussi rectangle en $A$. Conclusion : $ABC$ est rectangle isocèle en $A$.

Réflexe à retenir : distance entre deux points = norme du vecteur qui les relie. Pour la nature d’un triangle, calcule les trois longueurs puis compare-les (égalités → isocèle ; Pythagore → rectangle).

1. $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Or $\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,1)$ et, en notant $D(x\,;\,y)$, $\overrightarrow{DC}\,(6 - x\,;\,7 - y)$. On identifie coordonnée par coordonnée :

$6 - x = 3 \iff x = 3 \qquad 7 - y = 1 \iff y = 6$

Donc $D(3\,;\,6)$.

2. Le milieu est la moyenne des extrémités : $I\left(\dfrac{1 + 6}{2}\,;\,\dfrac{2 + 7}{2}\right)$, soit $I\left(\dfrac{7}{2}\,;\,\dfrac{9}{2}\right)$, c’est-à-dire $I(3{,}5\,;\,4{,}5)$.

Vérification vectorielle : $\overrightarrow{AI}\,(3{,}5 - 1\,;\,4{,}5 - 2)$, soit $\overrightarrow{AI}\,(2{,}5\,;\,2{,}5)$ ; et $\overrightarrow{AC}\,(5\,;\,5)$, donc $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\,(2{,}5\,;\,2{,}5)$. On a bien $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ : c’est la caractérisation vectorielle du milieu.

3. Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{4 + 3}{2}\,;\,\dfrac{3 + 6}{2}\right) = \left(\dfrac{7}{2}\,;\,\dfrac{9}{2}\right)$ : c’est le même point $I$. On retrouve que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

4. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. Or $ABCD$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$, et ainsi :

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$

On vient de décomposer $\overrightarrow{AC}$ selon deux vecteurs non colinéaires — c’est la « règle du parallélogramme ». Vérification : $\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,1)$, $\overrightarrow{AD}\,(2\,;\,4)$, et $(3 + 2\,;\,1 + 4) = (5\,;\,5) = \overrightarrow{AC}$ ✓.

Réflexe à retenir : traduis toujours « $ABCD$ parallélogramme » par l’égalité vectorielle $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, puis identifie coordonnée par coordonnée — et le coup des diagonales de même milieu te sert de vérification gratuite.

1. $\overrightarrow{AB}\,(1 - (-2)\,;\,3 - 1)$, soit $\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,2)$, et $\overrightarrow{AC}\,(7 - (-2)\,;\,7 - 1)$, soit $\overrightarrow{AC}\,(9\,;\,6)$.

$\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}\right) = 3 \times 6 - 2 \times 9 = 18 - 18 = 0$

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires (d’ailleurs $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$) : les points $A$, $B$, $C$ sont alignés.

2. $\overrightarrow{AD}\,(4 - (-2)\,;\,9 - 1)$, soit $\overrightarrow{AD}\,(6\,;\,8)$.

$\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AD}\right) = 3 \times 8 - 2 \times 6 = 24 - 12 = 12 \neq 0$

Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $D$ n’appartient pas à la droite $(AB)$.

3. $\overrightarrow{DE}\,(10 - 4\,;\,13 - 9)$, soit $\overrightarrow{DE}\,(6\,;\,4)$.

$\det\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{DE}\right) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DE}$ sont colinéaires : les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.

4. D’après la question 1, les points $A$, $B$, $C$ sont alignés : $(AC)$ et $(AB)$ sont la même droite. Donc $(DE)$ est parallèle à $(AC)$ — et comme $D$ n’est pas sur cette droite (question 2), les droites $(DE)$ et $(AC)$ sont strictement parallèles (aucun point commun).

Réflexe à retenir : un seul outil pour l’alignement ET le parallélisme : le déterminant. Alignement = vecteurs colinéaires avec un point commun ; parallélisme strict = vecteurs colinéaires sans point commun.