Les vecteurs

Décrire le vent, pousser un caddie, programmer le déplacement d’un personnage de jeu vidéo : à chaque fois, il faut une direction, un sens et une intensité — et peu importe le point de départ. C’est exactement ce que code un vecteur. En seconde, tu apprends à calculer avec : c’est l’outil qui transforme les problèmes de géométrie en calculs, et il resservira en physique.

Un vecteur, c’est quoi ?

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ représente le déplacement de $A$ vers $B$ (la translation qui envoie $A$ sur $B$). Trois ingrédients le définissent : sa direction (celle de la droite $(AB)$), son sens (de $A$ vers $B$) et sa norme (la longueur $AB$).

• Un vecteur n’a pas de position : la même flèche dessinée ailleurs, avec mêmes direction, sens et norme, est un autre représentant du même vecteur $\vec{u}$.
• Égalité : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si, et seulement si, $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
• Le vecteur nul $\vec{0} = \overrightarrow{AA}$ : le déplacement « sur place », de norme $0$.

Additionner, multiplier par un nombre

• Représentants de même origine : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$, où $C$ est le quatrième sommet du parallélogramme $ABCD$ — la somme est portée par la diagonale.
• Produit par un réel : $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le même sens si $k > 0$, le sens contraire si $k < 0$, et sa norme est multipliée par $|k|$. Exemple : $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$, le vecteur opposé.

Les coordonnées

Dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{j})$, tout vecteur se décompose en $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ : les nombres $x$ et $y$ sont les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base orthonormée $(\vec{i}\,;\,\vec{j})$, et on note $\vec{u}\,(x\,;\,y)$.

• Les calculs se font coordonnée par coordonnée : $\vec{u} + \vec{v}\,(x + x'\,;\,y + y')$ et $k\vec{u}\,(kx\,;\,ky)$.
• Plus généralement, la norme de $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Exemple : $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,6)$ donnent $\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,4)$ et $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Le milieu d’un segment

$I$ est le milieu de $[AB]$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ — ou, ce qui revient au même, $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$. En coordonnées, le milieu est la moyenne des extrémités :

$x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \qquad y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$

La colinéarité, l’outil à tout faire

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction, c’est-à-dire lorsque l’un est le produit de l’autre par un réel : $\vec{v} = k\vec{u}$. (Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.) Le test express, dans une base orthonormée, avec $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ :

$\det(\vec{u}\,;\,\vec{v}) = xy' - yx' \qquad \text{colinéaires} \iff xy' - yx' = 0$

Les pièges classiques