Exercices — Généralités sur les fonctions

1. $f(0) = 2 \times 0^2 - 3 = -3$ ; $f(2) = 2 \times 4 - 3 = 5$ ; $f(-2) = 2 \times 4 - 3 = 5$. Deux nombres différents ($2$ et $-2$) ont la même image — c’est parfaitement autorisé.

2. On résout $f(x) = 5$ :

$2x^2 - 3 = 5 \iff 2x^2 = 8 \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \ \text{ ou } \ x = -2$

Les antécédents de $5$ sont $2$ et $-2$.

3. $2x^2 - 3 = -3 \iff 2x^2 = 0 \iff x = 0$ : un seul antécédent, $0$.

4. $2x^2 - 3 = -11 \iff 2x^2 = -8 \iff x^2 = -4$ : impossible, un carré n’est jamais strictement négatif. $-11$ n’a aucun antécédent par $f$.

Réflexe à retenir : « antécédents de $k$ » = « résoudre $f(x) = k$ ». Selon le nombre $k$, il peut y avoir deux antécédents, un seul ou aucun — l’image, elle, est toujours unique.

1. On remplace $x$ par l’abscisse et on compare à l’ordonnée :

• $f(3) = 9 - 6 = 3$ : oui, $A \in \mathcal{C}$.
• $f(-1) = 1 - (-2) = 3$ : oui, $B \in \mathcal{C}$ (même ordonnée que $A$, abscisse différente).
• $f(2) = 4 - 4 = 0 \neq 1$ : non, $D \notin \mathcal{C}$.

2. L’ordonnée est $f(5) = 25 - 10 = 15$ : le point cherché est $(5\,;\,15)$.

3. On cherche les $x$ tels que $f(x) = 0$ :

$x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ x = 2$

Deux points conviennent : $(0\,;\,0)$ et $(2\,;\,0)$ — ce sont les points où $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses.

Réflexe à retenir : appartenir à la courbe, c’est vérifier l’équation $y = f(x)$. Abscisse connue → on calcule l’image ; ordonnée connue → on résout une équation.

1. On ramène tout du même côté pour factoriser :

$x^2 = 2x \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ x = 2$

Donc $S = \{0\,;\,2\}$ : les deux courbes se coupent aux points d’abscisses $0$ et $2$.

2. Pour $x = 0$ : $g(0) = 0$ ; pour $x = 2$ : $g(2) = 4$ (et on vérifie $f(2) = 4$ ✓). Les points d’intersection sont $(0\,;\,0)$ et $(2\,;\,4)$.

3. $f(x) < g(x) \iff x^2 - 2x < 0 \iff x(x - 2) < 0$. Tableau de signes :

$x$	$x < 0$	$0$	$0 < x < 2$	$2$	$x > 2$
$x$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 2$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x(x - 2)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Donc $S = \,]0\,;\,2[$ : sur cet intervalle, la parabole $\mathcal{C}_f$ est strictement en dessous de la droite $\mathcal{C}_g$. (Contrôle avec $x = 1$ : $f(1) = 1 < 2 = g(1)$ ✓.)

Réflexe à retenir : pour $f(x) = g(x)$ ou $f(x) < g(x)$, passe tout du même côté : tu retrouves une équation ou une inéquation que le tableau de signes sait traiter.

1. Le dénominateur ne doit pas être nul : $x - 2 \neq 0$, soit $x \neq 2$. Donc $D_f = \,]-\infty\,;\,2[\,\cup\,]2\,;\,+\infty[$.

2. $2x + 8 \neq 0 \iff x \neq -4$ : donc $D_g = \,]-\infty\,;\,-4[\,\cup\,]-4\,;\,+\infty[$.

3. L’expression sous la racine doit être positive ou nulle : $x - 3 \geqslant 0$, soit $x \geqslant 3$. Donc $D_h = [3\,;\,+\infty[$ — la borne $3$ est incluse, car $\sqrt{0}$ existe et vaut $0$.

Réflexe à retenir : deux alarmes à contrôler systématiquement — un dénominateur doit être non nul (borne exclue), une racine carrée exige un contenu positif ou nul (borne incluse).

1. Le grillage couvre deux largeurs et une longueur : $2x + L = 20$, donc $L = 20 - 2x$.

2. Aire d’un rectangle : largeur $\times$ longueur, donc $A(x) = x(20 - 2x)$. Il faut $x \geqslant 0$ (une largeur ne peut pas être négative) et $L = 20 - 2x \geqslant 0$, soit $x \leqslant 10$ : on étudie donc $A$ sur $[0\,;\,10]$.

3. $A(3) = 3 \times (20 - 6) = 3 \times 14 = 42$ m² ; $A(5) = 5 \times (20 - 10) = 50$ m².

4. Équation produit nul :

$x(20 - 2x) = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ 20 - 2x = 0 \iff x = 0 \ \text{ ou } \ x = 10$

Interprétation : pour $x = 0$ (pas de largeur) comme pour $x = 10$ (tout le grillage part dans les deux largeurs, longueur nulle), l’enclos est aplati : son aire est nulle.

5. $A(4) = 4 \times (20 - 8) = 4 \times 12 = 48$ : oui, le point $(4\,;\,48)$ appartient à la courbe de $A$, car ses coordonnées vérifient $y = A(x)$.

Réflexe à retenir : modéliser, c’est trois gestes — choisir la variable, exprimer la grandeur en fonction d’elle, délimiter l’ensemble de définition réaliste. La suite (trouver la plus grande aire) est l’affaire du chapitre sur les variations !