Généralités sur les fonctions

Le prix d’une course dépend de la distance, la hauteur d’un ballon dépend du temps… Une fonction est la machine qui décrit cette dépendance : tu lui donnes un nombre, elle en renvoie un seul.

Fonction et ensemble de définition

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ d’un ensemble $D_f$ un unique nombre, noté $f(x)$. $D_f$ est l’ensemble de définition : un intervalle, ou une réunion d’intervalles.

• $f(x) = \dfrac{5}{x - 4}$ : le dénominateur interdit $4$, donc $D_f = \,]-\infty\,;\,4[\,\cup\,]4\,;\,+\infty[$.
• $g(x) = \sqrt{x}$ : une racine carrée exige un nombre positif ou nul, donc $D_g = [0\,;\,+\infty[$.

Image et antécédent : le sens de lecture

• L’image de $a$, c’est $f(a)$ : le résultat que sort la machine. Chaque nombre de $D_f$ a exactement une image.
• Un antécédent de $k$, c’est un nombre $x$ tel que $f(x) = k$ : une entrée qui produit $k$. Il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs.

La courbe représentative

Exemple : $A(2\,;\,5)$ est-il sur la courbe de $f(x) = 3x - 1$ ? On calcule $f(2) = 5$ : oui. Et le point de la courbe d’abscisse $10$ a pour coordonnées $(10\,;\,f(10))$, c’est-à-dire $(10\,;\,29)$.

Résoudre graphiquement… et algébriquement

• $f(x) = k$ : trace la droite horizontale $y = k$ ; les solutions sont les abscisses des points d’intersection avec $\mathcal{C}_f$.
• $f(x) < k$ : les abscisses des points où la courbe est strictement en dessous de cette droite — souvent un ou plusieurs intervalles.
• $f(x) = g(x)$ : les abscisses des points d’intersection des deux courbes ; et $f(x) < g(x)$ : là où $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.
• Par le calcul : tout ramener à une équation ou une inéquation du chapitre précédent. Exemple : $x^2 = 2x \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0$, d’où $S = \{0\,;\,2\}$.

Modéliser une situation par une fonction

Choisis la variable, exprime la grandeur étudiée en fonction d’elle, et précise l’ensemble de définition réaliste. Exemple : l’aire d’un carré de côté $x$ est $A(x) = x^2$, avec $x \geqslant 0$ — un côté négatif n’a pas de sens.

Les pièges classiques