Exercices — Les modèles démographiques

1. Variations absolues de la ville A : 20 500 − 20 000 = 500 ; 21 000 − 20 500 = 500 ; 21 500 − 21 000 = 500. La variation absolue est constante (+500 habitants par an) : on propose un modèle linéaire. Le nuage de points évoque une droite.

2. Variations relatives de la ville B :

$\frac{20\ 400 - 20\ 000}{20\ 000} = 0{,}02 \qquad \frac{20\ 808 - 20\ 400}{20\ 400} = 0{,}02 \qquad \frac{21\ 224 - 20\ 808}{20\ 808} = 0{,}02$

Le taux d’évolution est constant (+2 % par an) : on propose un modèle exponentiel. Le nuage de points évoque la courbe d’une exponentielle.

3. Le modèle linéaire correspond à une suite arithmétique (on ajoute 500 chaque année), le modèle exponentiel à une suite géométrique (on multiplie par 1,02 chaque année).

Réflexe à retenir : commence TOUJOURS par calculer les deux types de variations — c’est celle qui est (presque) constante qui désigne le bon modèle.

1. Chaque année, on ajoute 30 habitants :

$u_{n+1} = u_n + 30$

C’est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 1200$ et de raison $r = 30$.

2. Pour une suite arithmétique :

$u_n = u_0 + n \times r = 1200 + 30n$

En 2035, $n = 10$ :

$u_{10} = 1200 + 30 \times 10 = 1500\ \text{habitants}$

3. On cherche le plus petit $n$ tel que $1200 + 30n > 1800$, c’est-à-dire $30n > 600$, soit $n > 20$. C’est donc pour $n = 21$, soit en 2046, que la population dépassera 1 800 habitants.

Réflexe à retenir : suite arithmétique = formule $u_n = u_0 + n r$. L’inéquation se résout comme une équation du premier degré — ne panique pas devant les grandes valeurs.

1. Le modèle de Malthus suppose des taux de natalité et de mortalité constants : l’évolution est alors exponentielle. Ici, le taux d’évolution annuel vaut :

$3\ \% - 1\ \% = 2\ \%\ \text{par an}$

Comme la natalité dépasse la mortalité, le modèle prévoit une croissance (vers l’infini à long terme).

2. Chaque année, l’effectif est multiplié par 1,02 :

$v_{n+1} = 1{,}02 \times v_n \qquad \text{d'où} \qquad v_n = 50\ 000 \times 1{,}02^n$

C’est une suite géométrique de raison 1,02.

3. En 2035, $n = 10$ :

$v_{10} = 50\ 000 \times 1{,}02^{10} \approx 50\ 000 \times 1{,}219 \approx 61\ 000\ \text{habitants}$

4. Le temps de doublement est le plus petit $n$ tel que $1{,}02^n \geq 2$. D’après le tableau, c’est $n = 35$ : la population double en 35 ans environ, quelle que soit sa taille de départ.

Réflexe à retenir : « +2 % par an » se traduit par « ×1,02 chaque année ». Additionner les pourcentages année après année est LE piège classique — la croissance exponentielle va plus vite que ça.

1. Sur l’ensemble de la période, le modèle surestime nettement 1900 (2,4 milliards prévus contre 1,65 réel) mais tombe presque juste en 2000 (6,0 contre 6,1). Un modèle exponentiel à taux constant peut donc décrire correctement certaines périodes — quand le taux d’évolution réel reste proche du taux choisi — mais pas un intervalle de deux siècles où ce taux a beaucoup varié. Sa validité est limitée aux temps courts.

2. Pour 2100, le modèle prévoit 14,7 milliards alors que les projections démographiques tablent sur environ 10,4 milliards (et environ 10 milliards dès 2050) : l’écart devient énorme. Le taux de croissance mondial diminue depuis les années 1960, ce que le modèle de Malthus, à taux constant, ne peut pas représenter. Les démographes utilisent donc des modèles plus élaborés.

3. Par exemple : les ressources (nourriture, eau, espace, énergie) sont limitées et ne peuvent pas suivre une croissance exponentielle ; et les comportements changent (baisse de la natalité liée à l’éducation, à la santé, à l’urbanisation). Malthus lui-même voyait dans la limite des ressources la faille de la croissance exponentielle.

4. La démarche de modélisation comporte : le choix d’un type de modèle adapté (linéaire ou exponentiel, d’après les variations calculées), la détermination de ses paramètres (effectif initial, taux), la confrontation des prédictions aux observations, et enfin la limitation du domaine de validité ou la modification du modèle si l’écart est trop grand.

Réflexe à retenir : un modèle n’est ni « vrai » ni « faux » — il a un domaine de validité. Savoir le dire, données à l’appui, est exactement ce qu’attend le correcteur.