Analyse de l'information chiffrée 1re : exercices corrigés (PDF)

Un pourcentage dans un article, un tableau dans un rapport, un diagramme dans un bulletin municipal : les chiffres arrivent rarement seuls. Ils sont choisis, comparés, mis en image, et c’est souvent là que tout se joue. Ce chapitre apprend à les lire, puis à les faire parler : croiser deux questions dans un tableau, comparer deux groupes avec des parts plutôt qu’avec des effectifs, résumer un nuage de points par une droite et s’en servir pour estimer une valeur. Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants sont des situations d’évaluation, avec un corrigé rédigé comme au tableau. Aucune formule compliquée n’est nécessaire : une division, une moyenne et un peu de méthode suffisent.

Lire des chiffres, et les faire parler

Deux questions croisées : le tableau

Croiser deux questions d’un sondage, c’est ranger les réponses dans un tableau croisé d’effectifs. Chaque case intérieure compte les individus qui vérifient les deux critères à la fois ; la dernière ligne et la dernière colonne, les totaux, s’obtiennent par addition, et la case du coin donne l’effectif total.

Deux groupes n’ont presque jamais la même taille : on compare donc leurs parts, pas leurs effectifs. La part se calcule dans le groupe.

part = effectif de la case ÷ total du groupe

Une part se lit en pourcentage en la multipliant par 100. Et quand une part s’applique à une autre part, les deux se multiplient : 60 % de 40 %, c’est 0,60 × 0,40 = 0,24, soit 24 % de l’ensemble.

Deux nombres par individu : le nuage

Quand les deux caractères sont des nombres - une surface et un loyer, une année et une masse - chaque individu devient un point de coordonnées (x ; y) : l’ensemble forme un nuage de points. Le point moyen G a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. Une droite qui passe au plus près du nuage est une droite d’ajustement : son équation y = ax + b sert à estimer des valeurs. À l’intérieur de la plage des données, c’est une interpolation ; au-delà, une extrapolation, qui demande de la prudence. Un tableur construit ce nuage directement à partir du tableau des données.

Avant de conclure : regarde l’axe

Sur un diagramme en barres, c’est la hauteur des barres que l’œil compare. Si l’axe vertical ne part pas de zéro, ces hauteurs ne sont plus proportionnelles aux valeurs : ici, une hausse de 20 % donne une dernière barre cinq fois plus haute que la première. Regarde donc l’origine de l’axe et ses graduations, puis calcule : la variation absolue est la différence entre les deux valeurs, la variation relative compare cette différence à la valeur de départ et s’écrit en pourcentage. Deux grandeurs qui augmentent ensemble n’ont pas pour autant un lien de cause à effet.

Comparer deux groupes de tailles différentes : des parts, pas des effectifs bruts.

Le club A compte 12 compétiteurs sur 20 adhérents, le club B en compte 30 sur 60. Le club B en a plus (30 contre 12), mais le club A en a une part plus grande : 60 % contre 50 %.

La carte du chapitre. Un chiffre seul ne dit presque rien : ce sont la part, la comparaison et l’échelle du graphique qui lui donnent un sens.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Le chapitre en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

Croiser deux questions d'une enquête donne un . Chaque case intérieure compte les individus qui vérifient , tandis que la dernière ligne et la dernière colonne donnent . Pour comparer deux groupes qui n'ont pas le même effectif, on compare . Quand les deux caractères sont des nombres, on représente les données par un , où chaque individu devient un point. Le point moyen G a pour coordonnées . La droite qui résume la tendance du nuage s'appelle la droite , et son équation s'écrit . Estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données, c'est ; l'estimer bien au-delà, c'est . Enfin, devant un diagramme en barres, on commence par regarder .

Exercice 4

Comment vient-on travailler ?

★★★

Un tableau croisé, de la première case à la conclusion

Une entreprise de $250$ salariés a aménagé un garage à vélos fermé, puis a interrogé tous ses salariés sur leur trajet entre leur domicile et l’entreprise. Chacun a répondu à deux questions : la distance qui sépare son domicile de l’entreprise, et son mode de trajet habituel. Voici le tableau croisé des réponses, laissé en partie vide.

	À pied ou à vélo	Autrement	Total
Moins de 3 km	60	…	100
3 km ou plus	…	120	…
Total	…	…	250

Donnée : ce sondage porte sur cette seule entreprise, un jour donné ; il ne dit rien des autres entreprises de la ville.

Recopier et compléter le tableau croisé.
Calculer la part des salariés qui viennent à pied ou à vélo, en pourcentage de l’ensemble des salariés interrogés.
Calculer cette part chez les salariés qui habitent à moins de $3\ \text{km}$ , puis chez les autres. Comparer ces deux parts.
Les salariés qui habitent à moins de $3\ \text{km}$ représentent $40\ \%$ de l’effectif, et $60\ \%$ d’entre eux viennent à pied ou à vélo. Retrouver par un calcul sur les pourcentages la part des salariés qui habitent à moins de $3\ \text{km}$ et viennent à pied ou à vélo.
Un journal local titre : « Le garage à vélos a convaincu les salariés les plus éloignés. » Ce tableau permet-il de l’affirmer ?

Voir le corrigé

1. On complète de proche en proche, par soustractions. Sur la ligne « moins de $3\ \text{km}$ », les deux cases se partagent le total de la ligne :

$100\ \text{salariés} - 60\ \text{salariés} = 40\ \text{salariés}$

Dans la colonne des totaux, les deux lignes se partagent l’effectif total :

$250\ \text{salariés} - 100\ \text{salariés} = 150\ \text{salariés}$

Sur la ligne « $3\ \text{km}$ ou plus », il reste alors $150\ \text{salariés} - 120\ \text{salariés} = 30\ \text{salariés}$ qui viennent à pied ou à vélo. Les totaux des colonnes s’obtiennent enfin par addition : $60\ \text{salariés} + 30\ \text{salariés} = 90\ \text{salariés}$ et $40\ \text{salariés} + 120\ \text{salariés} = 160\ \text{salariés}$ .

	À pied ou à vélo	Autrement	Total
Moins de 3 km	60	40	100
3 km ou plus	30	120	150
Total	90	160	250

Contrôle : $90\ \text{salariés} + 160\ \text{salariés} = 250\ \text{salariés}$ , et $100\ \text{salariés} + 150\ \text{salariés} = 250\ \text{salariés}$ . Les deux sommes redonnent l’effectif total : le tableau est cohérent.

2. La part cherchée est le nombre de salariés qui viennent à pied ou à vélo, divisé par l’effectif total :

$\dfrac{90\ \text{salariés}}{250\ \text{salariés}} = 0{,}36 = 36\ \%$

Les deux nombres étant des salariés, le résultat n’a pas d’unité : c’est une proportion, qu’on écrit en pourcentage en la multipliant par $100$ .

3. Chaque part se calcule dans son groupe, c’est-à-dire en divisant par le total de la ligne. Chez les salariés qui habitent à moins de $3\ \text{km}$ :

$\dfrac{60\ \text{salariés}}{100\ \text{salariés}} = 0{,}60 = 60\ \%$

Chez ceux qui habitent à $3\ \text{km}$ ou plus :

$\dfrac{30\ \text{salariés}}{150\ \text{salariés}} = 0{,}20 = 20\ \%$

La part des trajets à pied ou à vélo est donc trois fois plus grande chez les salariés les plus proches ( $60\ \%$ contre $20\ \%$ ). Comparer les effectifs bruts, $60$ et $30$ , aurait été trompeur : les deux groupes ne comptent pas le même nombre de salariés, $100$ d’un côté et $150$ de l’autre.

4. Les $60\ \%$ ne portent pas sur toute l’entreprise : ils portent sur les salariés les plus proches, qui forment déjà $40\ \%$ de l’effectif. Les deux parts se multiplient :

$0{,}60 \times 0{,}40 = 0{,}24 = 24\ \%$

Le tableau le confirme : ces salariés sont au nombre de $60$ , et $\dfrac{60\ \text{salariés}}{250\ \text{salariés}} = 0{,}24$ , soit $24\ \%$ de l’effectif.

5. Non, pour deux raisons. D’abord, le tableau dit le contraire : la part des trajets à pied ou à vélo vaut $20\ \%$ chez les salariés qui habitent à $3\ \text{km}$ ou plus, contre $60\ \%$ chez les autres. Ensuite, ce sondage a eu lieu après l’aménagement du garage, sans relevé comparable avant : il décrit une situation, il ne mesure pas un changement et il n’en donne pas la cause. Pour soutenir un tel titre, il faudrait deux sondages, l’un avant et l’autre après.

Réflexe à retenir : un tableau croisé répond à la question « combien ? ». La question « pourquoi ? » demande, elle, d’autres informations.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Le tri des déchets d'une commune

★★★

Type contrôle, avec deux documents à exploiter

Une commune publie chaque année la masse de déchets déposés par habitant dans le bac de tri, qui reçoit les emballages et les papiers. Le relevé de $2023$ n’a pas pu être exploité, le prestataire ayant changé de méthode de pesée cette année-là.

Année	2019	2020	2021	2022	2024
x : années écoulées depuis 2019	0	1	2	3	5
y : masse triée par habitant (en kg)	48	51	53	56	62

Document 1. La masse de déchets déposés dans le bac de tri, en kilogrammes par habitant et par an. Le relevé de 2023 n'a pas pu être exploité.

Le bulletin municipal du printemps $2025$ publie le diagramme ci-dessous, construit avec ces mêmes valeurs.

Document 2. Le diagramme publié par le bulletin municipal de la commune.

Donnée : on adopte l’ajustement affine $y = 2{,}5x + 48{,}5$ , où $x$ est le nombre d’années écoulées depuis $2019$ et $y$ la masse triée par habitant, en kilogrammes.

Décrire la tendance du nuage de points du document 1.
Calculer les coordonnées du point moyen $G$ , puis vérifier que la droite d’ajustement passe par $G$ .
Estimer avec cet ajustement la masse triée par habitant en $2023$ . S’agit-il d’une interpolation ou d’une extrapolation ?
Que prévoit ce modèle pour $2040$ ? Commenter cette estimation.
Le document 2 donne l’impression d’une envolée du tri. Expliquer d’où vient cette impression, puis calculer la hausse réelle entre $2019$ et $2024$ , en kilogrammes par habitant puis en pourcentage.

Voir le corrigé

1. Quand $x$ augmente, $y$ augmente aussi : la tendance est croissante. Les cinq points sont presque alignés, ce qui justifie de résumer le nuage par une droite : entre $2019$ et $2024$ , la masse triée par habitant augmente de l’ordre de $3\ \text{kg}$ par an.

2. Les coordonnées de $G$ sont deux moyennes séparées. Pour les abscisses, qui comptent des années :

$\bar{x} = \dfrac{0 + 1 + 2 + 3 + 5}{5} = \dfrac{11}{5} = 2{,}2$

Pour les ordonnées, qui sont des masses :

$\bar{y} = \dfrac{48\ \text{kg} + 51\ \text{kg} + 53\ \text{kg} + 56\ \text{kg} + 62\ \text{kg}}{5} = \dfrac{270\ \text{kg}}{5} = 54\ \text{kg}$

Le point moyen est donc $G\,(2{,}2\ ;\ 54)$ : une abscisse de $2{,}2$ années écoulées depuis $2019$ , et une ordonnée de $54\ \text{kg}$ par habitant. On remplace ensuite $x$ par $2{,}2$ dans l’équation de la droite :

$y = 2{,}5 \times 2{,}2 + 48{,}5 = 5{,}5 + 48{,}5 = 54$

On retrouve l’ordonnée de $G$ : la droite d’ajustement passe bien par le point moyen. C’est le contrôle le plus rapide d’un ajustement.

3. L’année $2023$ correspond à $x = 2023 - 2019 = 4$ . On remplace $x$ par $4$ :

$y = 2{,}5 \times 4 + 48{,}5 = 10 + 48{,}5 = 58{,}5$

Le modèle estime la masse triée à $58{,}5\ \text{kg}$ par habitant en $2023$ . Comme $4$ est compris entre $0$ et $5$ , les deux bornes de la plage des données, il s’agit d’une interpolation : l’estimation s’appuie sur des relevés qui l’encadrent, $56\ \text{kg}$ en $2022$ et $62\ \text{kg}$ en $2024$ . Elle reste une estimation, pas une mesure.

Le point moyen G, la droite d'ajustement et la lecture de l'estimation pour 2023.

4. L’année $2040$ correspond à $x = 2040 - 2019 = 21$ :

$y = 2{,}5 \times 21 + 48{,}5 = 52{,}5 + 48{,}5 = 101$

Le modèle annonce $101\ \text{kg}$ par habitant, soit à peu près le double de $2019$ . C’est une extrapolation lointaine : elle suppose que la masse triée augmente encore de $2{,}5\ \text{kg}$ par habitant chaque année pendant seize années de plus. Rien ne l’assure. La masse triée est limitée par la quantité de déchets produits, les consignes de tri et le nombre d’habitants peuvent changer, et une tendance lue sur cinq relevés ne se prolonge pas forcément sur seize ans. Cette estimation donne un ordre de grandeur, à condition de la présenter comme telle.

5. Sur un diagramme en barres, l’œil compare les hauteurs. Ici, l’axe vertical ne part pas de zéro : sa première graduation est $45$ , et les barres sont donc tracées à partir de $45\ \text{kg}$ . La barre de $2024$ mesure $62\ \text{kg} - 45\ \text{kg} = 17\ \text{kg}$ , et celle de $2019$ , $48\ \text{kg} - 45\ \text{kg} = 3\ \text{kg}$ : la dernière barre est presque six fois plus haute que la première, alors que la masse triée est loin d’avoir été multipliée par six.

La hausse réelle se calcule en deux temps. La variation absolue est la différence entre les deux masses :

$62\ \text{kg} - 48\ \text{kg} = 14\ \text{kg}$

La variation relative compare cette différence à la masse de départ :

$\dfrac{14\ \text{kg}}{48\ \text{kg}} \approx 0{,}29 = 29\ \%$

En cinq ans, la masse triée par habitant a augmenté d’environ $29\ \%$ : une vraie progression, mais pas l’envolée que suggère le dessin. Voici les mêmes valeurs, avec un axe qui part de zéro.

Les mêmes valeurs, avec un axe vertical qui part de zéro.

Réflexe à retenir : avant de commenter un diagramme, regarde où commence l’axe vertical, puis calcule la variation relative. Le dessin donne l’impression, le calcul donne la mesure.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

Compare des parts, pas des effectifs bruts. Deux groupes n’ont presque jamais la même taille : la part se calcule dans chaque groupe, en divisant l’effectif de la case par le total du groupe. Et la part d’ensemble n’est pas la moyenne des deux parts, sauf si les groupes ont le même effectif.
Le point moyen se calcule, l’ajustement se vérifie. $\bar{x}$ et $\bar{y}$ sont deux moyennes séparées, l’une sur les abscisses, l’autre sur les ordonnées. Une droite d’ajustement bien choisie passe par $G\,(\bar{x}\ ;\ \bar{y})$ : remplacer $x$ par $\bar{x}$ dans son équation contrôle ton calcul en une ligne.
Situe ton estimation par rapport à la plage des données. À l’intérieur, c’est une interpolation : des relevés l’encadrent. Au-delà, c’est une extrapolation, et plus tu t’éloignes, plus le modèle devient fragile. Devant un graphique, la première question reste la même : où commence l’axe vertical ?

Exercices corrigés — Analyse de l'information chiffrée

Lire un tableau croisé

Du nuage de points à la droite