Exercices — La forme de la Terre

1. Le Soleil étant très éloigné, Ératosthène suppose que ses rayons arrivent parallèles entre eux en tout point de la Terre.

2. Si la Terre était plate, des rayons parallèles feraient le même angle avec la verticale partout : les ombres seraient identiques à Syène et à Alexandrie. Or les verticales des deux villes ne sont pas parallèles — l’angle de $7{,}2^\circ$ entre elles ne s’explique que si la surface est courbée : c’est la preuve géométrique de la rondeur de la Terre.

Réflexe à retenir : l’angle entre les deux verticales ($7{,}2^\circ$) est exactement l’angle au centre de la Terre entre les deux villes — c’est la clé de toute la méthode.

L’angle au centre et la longueur d’arc sont proportionnels. On cherche combien de fois $7{,}2^\circ$ est contenu dans $360^\circ$ :

$\frac{360}{7{,}2} = 50$

Le tour complet représente donc 50 fois l’arc Syène–Alexandrie :

$C = 50 \times 800 = 40\ 000\ \text{km}$

C’est remarquablement proche de la valeur actuelle (environ $40\ 000\ \text{km}$ pour le tour complet passant par les pôles) : Ératosthène a mesuré la Terre avec un bâton et un chameau pour compter les distances !

Astuce de vérification : tu peux aussi poser le produit en croix $C = 800 \times \dfrac{360}{7{,}2}$ — même résultat, même proportionnalité.

On isole $R$ dans la formule de la circonférence :

$R = \frac{C}{2\pi} = \frac{40\ 000}{2\pi} \approx 6\ 400\ \text{km}$

C’est bien l’ordre de grandeur à connaître : le rayon de la Terre vaut environ $6\ 400\ \text{km}$ (valeur précise : $6\ 371\ \text{km}$).

Réflexe à retenir : circonférence $\rightarrow$ rayon, on divise par $2\pi \approx 6{,}3$. Un ordre de grandeur utile pour vérifier : $40\ 000 \div 6{,}3 \approx 6\ 300$, on retombe bien autour de $6\ 400\ \text{km}$ ✓.

1. Par proportionnalité entre angle et arc :

$C = 500 \times \frac{360}{10} = 500 \times 36 = 18\ 000\ \text{km}$

2. On utilise $C = 2\pi R$ :

$R = \frac{C}{2\pi} = \frac{18\ 000}{2\pi} \approx 2{,}9 \times 10^{3}\ \text{km}$

Cette planète, avec ses $2\ 900\ \text{km}$ de rayon, est nettement plus petite que la Terre ($6\ 400\ \text{km}$).

Réflexe à retenir : la méthode d’Ératosthène fonctionne sur n’importe quelle sphère — c’est toujours le même enchaînement : proportionnalité angle/arc, puis $R = \dfrac{C}{2\pi}$.

1. Les deux villes étant sur le même méridien, l’angle au centre est la différence de latitudes :

$49 - 43 = 6^\circ$

2. Par proportionnalité (le tour complet, $360^\circ$, correspond à $40\ 000\ \text{km}$) :

$d = 40\ 000 \times \frac{6}{360} \approx 667\ \text{km}$

3. Pour $1^\circ$ de latitude :

$\frac{40\ 000}{360} \approx 111\ \text{km}$

Astuce de vérification : $6 \times 111 = 666\ \text{km}$, on retrouve bien la distance de la question 2 ✓. Ce chiffre de 111 km par degré est un excellent réflexe à garder pour tous les exercices sur les méridiens.