Des édifices ordonnés : les cristaux — exercices corrigés d’enseignement scientifique 1re (PDF)

Le sel de ta salière est fait de cristaux ; le verre de ta fenêtre n’en contient aucun, alors qu’il est lui aussi dur et transparent. La différence se joue à l’échelle des ions et des atomes : rangés avec ordre, ou figés en désordre. Ce chapitre apprend à lire cet ordre sur un modèle 3D du sel, à le relier à ce qu’on voit à l’œil nu, à distinguer cristal, minéral et roche, et à lire dans une roche la vitesse à laquelle elle a refroidi. Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants sont des situations d’évaluation : un cristal de sel qui pousse dans un bocal, puis du basalte fondu refroidi plus ou moins vite, avec un corrigé rédigé comme au tableau. Les calculs sur la géométrie de la maille (nombre d’entités par maille, compacité) ne sont plus au programme depuis 2023 : tu n’en trouveras pas ici.

L'ordre des cristaux, de l'ion à la roche

1Un cristal : de l'ordre qui se répète

ion chlorure Cl⁻ ion sodium Na⁺ Comme dans le logiciel, les ions sont dessinés plus petits qu’en réalité, pour laisser voir l’intérieur : dans le cristal, deux ions voisins sont au contact. Les traits fins relient chaque ion à ses plus proches voisins.

Dans un cristal, les entités (atomes, ions ou molécules) forment un empilement régulier et périodique : le même arrangement se répète, identique, dans les trois directions de l'espace.

Le chlorure de sodium solide est un empilement d'ions sodium Na⁺ et chlorure Cl⁻ : chaque ion est entouré de six ions de l'autre sorte, tous à la même distance. Il ne contient pas de molécules : la formule NaCl indique un ion Na⁺ pour un ion Cl⁻.

La maille est le petit volume qui, reproduit par translation (on le fait glisser sans le tourner) dans les trois directions, sans vide ni chevauchement, reconstitue tout le cristal. Pour le sel, c'est un cube d'arête a = 0,564 nm.

Perspective cavalière. La face avant est en vraie grandeur ; les arêtes qui partent vers l'arrière sont inclinées (ici à 45°) et réduites (ici de moitié) ; les arêtes cachées sont en pointillés.

2De la maille au cristal visible

Un cristal visible est un empilement d'un très grand nombre de mailles identiques. Quand il grandit librement, ses faces planes et ses angles reflètent l'organisation de la maille : les grains de sel ont souvent des faces à angles droits.

Comparer deux tailles : on les écrit dans la même unité, puis on divise ; le quotient, sans unité, dit combien de fois l'une est plus grande. 1 mm = 10⁻³ m · 1 µm = 10⁻⁶ m · 1 nm = 10⁻⁹ m.

La structure conditionne aussi la masse volumique. Un composé de formule donnée peut cristalliser sous différentes structures : plus l'empilement est serré, plus un même volume contient de matière.

ρ = m / V

ρ (rhô) : masse volumique, par exemple en g/cm³ ; m : masse ; V : volume. Même formule CaCO₃, deux organisations : calcite 2,71 g/cm³, aragonite 2,93 g/cm³.

3De l'ion à la roche

10⁻¹⁰ mion ou atome
10⁻⁹ mmaille : quelques diamètres d'ion (sel : 5,64 × 10⁻¹⁰ m)
µm à cmcristal : un grain, souvent d'un millième de millimètre à plusieurs centimètres
cm à kmroche : un galet, une falaise

Une roche est une association de cristaux d'un même minéral ou de plusieurs minéraux. Un minéral se définit par sa composition chimique et son organisation cristalline (quartz, calcite, halite) : c'est un nom d'espèce, pas une taille, il ne se range pas entre le cristal et la roche.

Le vivant fabrique aussi des cristaux : coquilles (carbonate de calcium), os et émail des dents (phosphate de calcium). Les calculs rénaux, souvent faits d'oxalate de calcium, se forment lors d'une maladie.

4Cristallin ou amorphe

Dans un solide amorphe, l'empilement des entités se fait sans ordre géométrique : c'est le cas du verre. C'est bien un solide : ses entités ne se déplacent plus les unes par rapport aux autres.

La transparence et la dureté ne disent rien de l'ordre : le verre et le quartz sont tous deux durs et transparents, seul le quartz est cristallin.

5Le refroidissement se lit dans la roche

Lentgros cristaux jointifs

Rapidepetits cristaux dans du verre

Très rapidedu verre, sans cristal

Pour se ranger en cristaux, les entités d'un liquide ont besoin de temps. Un magma (une roche fondue, en profondeur) qui refroidit lentement donne de gros cristaux jointifs. Une lave (un magma arrivé en surface) refroidit plus vite : de petits cristaux, souvent entourés de verre. Une solidification très rapide fige les entités sans ordre : du verre.

C'est pourquoi certaines roches volcaniques contiennent du verre.

La carte du chapitre : la maille du sel, le passage de la maille au cristal, les échelles de l'ion à la roche, et ce qu'une roche dit de son refroidissement. Les exercices de la page s'appuient sur ces repères.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Les cristaux en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

Dans un cristal, les entités sont empilées de façon . Le chlorure de sodium solide est ainsi un empilement . Le petit volume qui, reproduit par translation dans les trois directions, reconstitue tout le cristal s'appelle la . La structure microscopique d'un cristal conditionne certaines de ses propriétés à notre échelle, comme sa . Un minéral se définit par sa composition chimique et son ; une roche est une association de , d'un même minéral ou de plusieurs. Les coquilles et les os contiennent eux aussi des . Dans un solide amorphe, comme le , les entités sont empilées sans ordre géométrique. Une lave qui se solidifie très rapidement peut former ; un magma qui refroidit lentement, en profondeur, forme .

Exercice 4

Lire la maille du chlorure de sodium

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Un cristal de sel qui pousse : de la maille au cristal

Inès fait dissoudre du sel sans additif dans de l’eau chaude, jusqu’à ce qu’il ne se dissolve plus. Elle verse cette eau salée dans un bocal et y suspend, au bout d’un fil, un petit grain de sel. Le bocal reste à l’air libre : l’eau s’évapore lentement, et le grain grossit. Deux semaines plus tard, Inès retire un cristal en forme de cube de $6{,}0\ \text{mm}$ d’arête, aux faces planes et aux angles droits. Au fond du bocal, d’autres grains ont grossi collés les uns aux autres : leurs faces sont irrégulières.

Pour comprendre cette forme, Inès affiche une maille du chlorure de sodium avec un logiciel de visualisation en trois dimensions, puis la dessine en perspective cavalière. Elle entoure en rouge l’ion sodium placé au milieu de l’arête avant du bas.

Données : le logiciel indique $0{,}282\ \text{nm}$ entre les centres de deux ions voisins Na⁺ et Cl⁻ ; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$ ; $1\ \text{mm} = 10^{-3}\ \text{m}$ .

À l’aide de la légende, nommer les entités qui constituent le chlorure de sodium solide, puis dire où se trouvent les ions de chaque sorte dans la maille.
Combien des plus proches voisins de l’ion Na⁺ entouré en rouge sont dessinés dans la maille ? De quelle sorte sont-ils ? Le logiciel indique que chaque ion Na⁺ a six plus proches voisins : où se trouvent les autres ?
Montrer que l’arête de la maille vaut $a = 0{,}564\ \text{nm}$ , puis l’exprimer en mètres.
Relier la forme du cristal d’Inès à l’organisation de la maille. Calculer ensuite combien de fois l’arête du cristal est plus longue que celle de la maille, et interpréter ce nombre.
Les grains collés au fond du bocal, aux faces irrégulières, sont-ils des cristaux ? Justifier.

Voir le corrigé

1. La légende associe les grosses sphères vertes aux ions chlorure Cl⁻ et les petites sphères violettes aux ions sodium Na⁺ : le chlorure de sodium solide est constitué d’ions. Les ions Cl⁻ occupent les huit sommets du cube et le centre de chacune de ses six faces ; les ions Na⁺ occupent le milieu de chacune des douze arêtes et le centre du cube. Le long de chaque ligne de la figure, les deux sortes d’ions alternent.

2. Dans la maille dessinée, l’ion Na⁺ entouré a quatre plus proches voisins, tous des ions chlorure Cl⁻ : les deux ions des sommets, aux extrémités de son arête (à gauche et à droite), l’ion du centre de la face avant (au-dessus de lui) et l’ion du centre de la face du dessous (derrière lui).

Les deux autres ne sont pas dans la maille dessinée : un ion Cl⁻ au-dessous de lui, dans la maille accolée par-dessous, et un ion Cl⁻ devant lui, dans la maille accolée à la face avant.

ion chlorure Cl⁻ ion sodium Na⁺ En rouge : les six plus proches voisins de l’ion Na⁺ entouré. Les deux cercles en pointillés sont des ions des mailles accolées, au-dessous et devant.

On retrouve ainsi les six voisins annoncés par le logiciel, à condition de penser aux mailles accolées : pour un ion placé sur le bord de la maille, la maille seule ne montre pas tout son entourage.

3. Le long d’une arête, on rencontre un ion Cl⁻ (au sommet), un ion Na⁺ (au milieu de l’arête), puis un ion Cl⁻ (à l’autre sommet). L’arête contient donc deux fois la distance entre les centres de deux ions voisins :

$a = 2 \times 0{,}282\ \text{nm} = 0{,}564\ \text{nm}$

En mètres, avec $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$ :

$a = 0{,}564 \times 10^{-9}\ \text{m} = 5{,}64 \times 10^{-10}\ \text{m}$

4. Un cristal est fait de mailles identiques, accolées sans vide ni chevauchement dans les trois directions. La maille du sel est un cube : quand le cristal grandit librement, suspendu dans l’eau salée, les ions viennent s’ajouter en suivant ce même empilement, et ses faces restent parallèles à celles des mailles. Les faces planes et les angles droits du cristal, visibles à l’œil nu, reflètent ainsi l’organisation de la maille, invisible à cette échelle.

On écrit l’arête $L$ du cristal dans la même unité que celle de la maille : $L = 6{,}0\ \text{mm} = 6{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m}$ . Puis on divise :

$\dfrac{L}{a} = \dfrac{6{,}0 \times 10^{-3}\ \text{m}}{5{,}64 \times 10^{-10}\ \text{m}} \approx 1{,}1 \times 10^{7}$

Les mètres se simplifient : le résultat est un nombre sans unité. Pour vérifier ce résultat, on sépare les nombres et les puissances de 10 : $6{,}0 \div 5{,}64 \approx 1{,}06$ , puis on divise les puissances de 10 en soustrayant les exposants, $10^{-3} \div 10^{-10} = 10^{-3+10} = 10^{7}$ . La donnée $6{,}0\ \text{mm}$ a deux chiffres significatifs : on garde $1{,}1 \times 10^{7}$ . L’arête du cristal est environ $1{,}1 \times 10^{7}$ fois plus longue que celle de la maille : plus de dix millions de mailles sont alignées bout à bout le long d’une seule arête.

5. Oui, ce sont des cristaux. Ils se sont formés dans la même eau salée, à partir des mêmes ions, par la même évaporation lente : leurs ions sont rangés de la même façon, régulière et périodique. Leurs faces sont irrégulières parce qu’ils ont grandi les uns contre les autres et contre le fond du bocal : chaque grain a empêché ses voisins de développer des faces planes. Des faces planes signalent un cristal, mais leur absence ne prouve pas qu’un solide est amorphe : l’ordre se situe à l’échelle des ions. Un indice se voit pourtant à l’œil nu : un grain de sel qu’on casse se fend souvent selon des plans à angles droits, parallèles aux faces des mailles.

Réflexe à retenir : pour passer de la maille au cristal, écris les deux longueurs dans la même unité, puis divise. Et pour un ion placé sur le bord de la maille, pense aux mailles accolées.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Relier la structure d'une roche à son refroidissement

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Type évaluation : du basalte fondu, refroidi vite ou lentement

Document 1 - Deux produits faits de basalte fondu. Le basalte est une roche volcanique, formée par le refroidissement d’une lave. Dans l’industrie, on le fait fondre dans des fours, entre 1 300 °C et 1 500 °C environ, puis on solidifie le liquide obtenu de deux façons.

La laine de roche, un isolant des maisons, est fabriquée surtout à partir de basalte fondu : le liquide tombe sur des roues qui tournent très vite et l’étirent en fibres d’environ $5\ \text{µm}$ de diamètre ( $1\ \text{µm} = 10^{-6}\ \text{m}$ ). Chaque fibre se solidifie dans l’air en une fraction de seconde.
Les dalles de « basalte fondu », très résistantes à l’usure, sont posées par exemple sur des sols d’usine : le basalte fondu est coulé dans des moules, puis refroidi lentement dans un four, pendant de nombreuses heures.

Document 2 - Trois essais au laboratoire. Un géologue fait fondre trois échantillons d’un même basalte, puis les laisse se solidifier de trois façons. Il observe ensuite au microscope une lame mince de chacun, c’est-à-dire une tranche de roche assez fine pour laisser passer la lumière.

Essai	Refroidissement du liquide	Ce que montre le microscope
A	goutte plongée dans l’eau froide : solide en moins d’une seconde	une matière homogène, sans aucun cristal, même au plus fort grossissement
B	goutte posée à l’air libre : solide en quelques minutes	de très petits cristaux en bâtonnets, dispersés dans une matière homogène
C	creuset (petit récipient qui résiste à la chaleur) refroidi lentement dans un four : solide en plusieurs jours	des cristaux jointifs (qui se touchent), avec très peu de matière homogène entre eux

Essai A

goutte plongée dans l’eau froide

Essai B

goutte refroidie à l’air libre

Essai C

creuset refroidi lentement dans un four

Les trois vues sont à la même échelle.

Pour chaque essai, dire si le solide obtenu est cristallin, amorphe ou les deux. Comment appelle-t-on la « matière homogène, sans aucun cristal » ? À l’aide de la barre d’échelle, estimer la taille des cristaux de l’essai C.
Les trois échantillons ont la même composition. Décrire comment la structure du solide dépend de la durée du refroidissement, puis expliquer, à l’échelle des entités, pourquoi l’essai A donne un verre.
À l’aide des documents 1 et 2, prévoir si les fibres de laine de roche sont cristallines ou amorphes, puis ce que montrerait une dalle de basalte fondu au microscope. Justifier.
Un basalte prélevé à la surface d’une coulée de lave montre au microscope de très petits cristaux dispersés dans du verre. Auquel des trois essais ressemble-t-il ? Qu’en déduire sur son refroidissement ?
Un magma de même composition, resté à plusieurs kilomètres de profondeur, a mis des milliers d’années à refroidir. Prévoir ce que montrerait au microscope la roche obtenue, en employant correctement les mots « magma » et « lave ».

Voir le corrigé

1. On lit chaque ligne du tableau et chaque vue du document 2.

Essai A : amorphe. Le solide n’est fait que d’une matière homogène, sans aucun cristal.
Essai B : les deux. De très petits cristaux sont dispersés dans une matière homogène.
Essai C : cristallin, presque entièrement : les cristaux se touchent, et il ne reste que très peu de matière homogène entre eux (en toute rigueur, c’est donc aussi « les deux »).

La matière homogène, sans cristal, est du verre : un solide amorphe, dont les entités sont empilées sans ordre géométrique. Sur la vue C, la barre d’échelle représente $0{,}1\ \text{mm}$ , et un cristal a à peu près la longueur de cette barre : les cristaux de l’essai C mesurent environ $0{,}1\ \text{mm}$ .

2. La composition étant la même, seule la durée du refroidissement change d’un essai à l’autre. Plus le refroidissement est lent, plus les cristaux sont gros et moins il reste de verre : du verre seul en moins d’une seconde (A), de très petits cristaux dans du verre en quelques minutes (B), des cristaux jointifs d’environ $0{,}1\ \text{mm}$ en plusieurs jours (C).

Dans le basalte fondu, les entités (atomes et ions) bougent sans cesse et sont en désordre. Pour former un cristal, elles doivent se ranger de façon régulière et périodique, ce qui demande du temps. Dans l’essai A, le liquide se solidifie en moins d’une seconde : les entités sont figées sur place avant d’avoir pu s’ordonner. On obtient un solide sans ordre géométrique, c’est-à-dire un verre.

3. Les fibres de laine de roche se solidifient en une fraction de seconde (document 1), comme la goutte de l’essai A : très fines, elles perdent leur chaleur presque instantanément, et leurs entités n’ont pas le temps de se ranger. On prévoit donc des fibres amorphes, faites de verre.

Les dalles, elles, refroidissent lentement dans un four, pendant de nombreuses heures : c’est l’essai C qui s’en rapproche le plus, avec un refroidissement un peu plus court. On s’attend à observer des cristaux jointifs, peut-être un peu plus petits que ceux de l’essai C, avec peu de verre entre eux.

4. Ce basalte ressemble à l’essai B : de très petits cristaux dispersés dans du verre. Il a donc refroidi rapidement, mais pas de façon presque instantanée, sinon il ne contiendrait que du verre. C’est cohérent avec son origine : une lave est un magma arrivé en surface, et la surface de la coulée a perdu sa chaleur au contact de l’air. Une partie du liquide s’est solidifiée trop vite pour cristalliser : c’est ainsi que certaines roches volcaniques contiennent du verre.

5. Des milliers d’années, c’est bien plus long que les plusieurs jours de l’essai C : les entités ont tout le temps de se ranger et les cristaux de grandir. On prévoit une roche entièrement cristallisée, faite de cristaux jointifs plus gros que ceux de l’essai C, par exemple de plusieurs millimètres, sans verre. C’est le cas du gabbro, de composition voisine de celle du basalte.

Ce magma est une roche fondue restée en profondeur : isolé par les roches qui l’entourent, il a refroidi très lentement, sans jamais devenir une lave. Une lave est un magma arrivé en surface, comme celle qui a donné le basalte de la question 4 : elle refroidit beaucoup plus vite.

Réflexe à retenir : pour relier la structure d’une roche à son refroidissement, observe la taille des cristaux et la présence de verre, déduis-en la vitesse de refroidissement, puis le lieu, le plus souvent : en profondeur pour un magma, en surface pour une lave.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

Pour dire si un solide est cristallin, regarde l’ordre de ses entités, pas son apparence. Rangées de façon régulière et périodique : c’est un cristal ; sans ordre géométrique : c’est un solide amorphe, comme le verre. La transparence ne tranche rien, et des faces irrégulières ne prouvent pas l’absence de cristaux.
Pour passer de la maille au cristal, écris les longueurs dans la même unité, puis divise. Le quotient dit combien de mailles s’alignent le long d’une arête ; il s’écrit avec une puissance de 10. La forme d’un cristal qui grandit librement reflète sa maille, et sa masse volumique dépend de la façon, plus ou moins serrée, dont ses entités sont rangées.
Pour lire le refroidissement d’une roche, pars de ce que montre le microscope. Gros cristaux jointifs : refroidissement lent, en profondeur, d’un magma ; petits cristaux et verre : refroidissement rapide d’une lave en surface ; verre seul : solidification très rapide. La carte en haut de page rassemble les autres repères du chapitre.

Exercices corrigés — Des édifices ordonnés : les cristaux

Cristal, maille et solide amorphe

Minéral, roche et masse volumique