Exercices — Des édifices ordonnés : les cristaux

1. Dans un solide cristallin, les entités (atomes, ions ou molécules) sont ordonnées et empilées de façon périodique : le même motif se répète régulièrement dans les trois directions de l’espace. Dans un solide amorphe, les entités sont désordonnées, sans motif qui se répète.

2.

• le sel de cuisine (chlorure de sodium) : cristallin ;
• le verre d’une vitre : amorphe (c’est l’exemple à connaître !) ;
• le diamant : cristallin (c’est un cristal de carbone).

3. Ce bloc élémentaire s’appelle la maille. En empilant des mailles identiques, on reconstruit tout le cristal.

Réflexe à retenir : « verre » ≠ « cristal » au sens scientifique — même le « cristal » des verres de luxe est en réalité… un verre, donc un solide amorphe.

Maille cubique simple. Chaque atome de sommet ne compte que pour $\dfrac{1}{8}$ dans la maille :

$8 \times \frac{1}{8} = 1\ \text{atome par maille}$

Maille cubique à faces centrées. On ajoute les 6 atomes des faces, qui comptent chacun pour $\dfrac{1}{2}$ :

$8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4\ \text{atomes par maille}$

Astuce de vérification : un atome de sommet est partagé entre 8 cubes, un atome au centre d’une face entre 2 cubes, un atome à l’intérieur n’est partagé avec personne. Ce petit inventaire suffit pour toutes les mailles du programme.

1. La maille est un cube d’arête $a$, donc :

$V = a^3 = \left(4{,}0 \times 10^{-10}\right)^3 = 6{,}4 \times 10^{-29}\ \text{m}^3$

2. La maille contient 1 atome de masse $m$, donc :

$\rho = \frac{m}{V} = \frac{3{,}5 \times 10^{-25}}{6{,}4 \times 10^{-29}} \approx 5{,}5 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$

Ordre de grandeur cohérent : les métaux ont des masses volumiques de quelques milliers de $\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$ (l’eau : $1{,}0 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$) ✓.

Réflexe à retenir : pour une puissance, on élève aussi la puissance de 10 au cube : $\left(10^{-10}\right)^3 = 10^{-30}$.

On remplace $a$ par $2r$ dans la formule :

$c = \frac{\dfrac{4}{3}\pi r^3}{a^3} = \frac{\dfrac{4}{3}\pi r^3}{(2r)^3} = \frac{\dfrac{4}{3}\pi r^3}{8r^3} = \frac{4\pi}{3 \times 8} = \frac{\pi}{6}$

Numériquement :

$c = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52$

Conclusion : les atomes n’occupent qu’environ 52 % du volume de la maille cubique simple — presque la moitié du cristal est du vide ! C’est pourquoi cet empilement est dit peu compact.

Astuce de vérification : une compacité est toujours comprise entre 0 et 1 (c’est une proportion). Si tu trouves plus que 1, cherche l’erreur.

1. Une maille cubique à faces centrées contient 4 atomes : $8 \times \dfrac{1}{8} = 1$ atome pour les sommets, plus $6 \times \dfrac{1}{2} = 3$ atomes pour les faces (voir exercice 2).

2. On calcule d’abord le volume de la maille :

$V = a^3 = \left(3{,}61 \times 10^{-10}\right)^3 \approx 4{,}71 \times 10^{-29}\ \text{m}^3$

La maille contient 4 atomes, donc une masse $4\,m_{\text{Cu}}$ :

$\rho = \frac{4\,m_{\text{Cu}}}{V} = \frac{4 \times 1{,}06 \times 10^{-25}}{4{,}71 \times 10^{-29}} \approx 9{,}0 \times 10^{3}\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$

C’est très proche de la valeur mesurée ($8{,}96 \times 10^{3}$) : le modèle de la maille décrit très bien le cuivre réel ✓.

Réflexe à retenir : dans un calcul de masse volumique de cristal, l’erreur classique est d’oublier de multiplier par le nombre d’atomes de la maille. Commence toujours par compter les atomes, puis écris $\rho = \dfrac{n_{\text{atomes}} \times m_{\text{atome}}}{a^3}$.