Résumé — Les matrices

Une feuille de calcul, une image numérique, les connexions d’un réseau : dans tous les cas, un tableau de nombres. Les matrices sont exactement ça — des tableaux qu’on apprend à additionner, multiplier, inverser. L’intérêt ? Une matrice condense tout un système d’équations en une seule lettre, et une multiplication matricielle fait d’un coup tous les calculs que tu ferais ligne par ligne. C’est l’outil de calcul du chapitre suivant sur les graphes et les chaînes de Markov.

Le vocabulaire

Une matrice de dimension (ou format) $n \times p$ est un tableau de nombres réels à $n$ lignes et $p$ colonnes. Le coefficient situé ligne $i$, colonne $j$ se note $a_{ij}$. Cas particuliers : matrice carrée d’ordre $n$ (autant de lignes que de colonnes), matrice ligne ($1 \times p$), matrice colonne ($n \times 1$). Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même dimension et les mêmes coefficients, place par place.

Somme et produit par un réel

Pour deux matrices de même dimension, la somme $A + B$ s’obtient en additionnant les coefficients place par place ; le produit $kA$ par un réel $k$ multiplie chaque coefficient par $k$. Exemple :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad 3\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

Le produit matriciel

Le produit $AB$ existe lorsque le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$. Le coefficient ligne $i$, colonne $j$ de $AB$ se calcule en parcourant la ligne $i$ de $A$ et la colonne $j$ de $B$ : produits terme à terme, puis somme. Exemple :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 2 \times 2 & 1 \times 1 + 2 \times 3 \\ 3 \times 0 + 4 \times 2 & 3 \times 1 + 4 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 8 & 15 \end{pmatrix}$

Matrice identité et puissances

La matrice identité d’ordre $n$, notée $I_n$, porte des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs : $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Elle joue le rôle du nombre $1$ : pour toute matrice carrée $A$ d’ordre $n$, $AI_n = I_n A = A$. Les puissances se définissent comme pour les nombres : $A^2 = A \times A$, $A^{k+1} = A^k \times A$ (et $A^0 = I_n$). Exemple à connaître :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \text{et par récurrence } A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

La matrice inverse

Une matrice carrée $A$ d’ordre $n$ est inversible s’il existe une matrice $B$ telle que $AB = BA = I_n$. Cette matrice, unique, est l’inverse de $A$, notée $A^{-1}$.

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ a pour déterminant $2 \times 3 - 1 \times 5 = 1 \neq 0$, donc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ — et on vérifie que $AA^{-1} = I_2$.

Une matrice peut transformer le plan

Une matrice $2 \times 2$ peut représenter une transformation géométrique : en la multipliant par la colonne $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ d’un point, on obtient son image. Exemple : $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ envoie $(x\,;\,y)$ sur $(-y\,;\,x)$ — c’est la rotation d’angle $\dfrac{\pi}{2}$ autour de l’origine. De même, $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ représente la symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Et composer deux transformations revient à multiplier leurs matrices.

Écriture matricielle d’un système linéaire

Le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 5x + 3y = 13 \end{cases}$ s’écrit $AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix}$. Si $A$ est inversible, on multiplie à gauche par $A^{-1}$ :

$AX = B \iff X = A^{-1}B$

Ici $X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ : l’unique solution est $(x\,;\,y) = (2\,;\,1)$. Un système, quelle que soit sa taille, se résout donc par un calcul d’inverse et un produit.

Suites de matrices colonnes

Quand deux suites évoluent de façon couplée (deux populations qui échangent, deux comptes liés…), on les range dans une matrice colonne $U_n$ et la relation de récurrence devient matricielle :

$U_{n+1} = AU_n \implies U_n = A^n U_0 \quad \text{pour tout } n$

(récurrence immédiate : chaque étape multiplie par $A$). Tout l’enjeu est alors de calculer $A^n$ — d’où l’importance de la section sur les puissances. Le programme envisage aussi les relations $U_{n+1} = AU_n + C$ avec une colonne constante $C$ : on s’y ramène en cherchant une colonne fixe $V$ telle que $V = AV + C$, puis en étudiant $U_n - V$, qui vérifie la relation sans second membre.

Les pièges classiques