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Exercices — Niveau sonore d'une intensité qui double — exercice corrigé

💡 Conseil : fais chaque exercice au brouillon avant d’ouvrir le corrigé — c’est en te trompant que tu progresses.

Exercice 1 — Calculer un niveau sonore

Dans une salle de classe agitée, l’intensité sonore vaut I=2,5×10−5I = 2{,}5 \times 10^{-5} W·m⁻².

Donnée : I0=1,0×10−12I_0 = 1{,}0 \times 10^{-12} W·m⁻².

  1. Rappeler la définition du niveau sonore LL et son unité.
  2. Calculer LL dans cette salle de classe.
  3. Quelle intensité sonore correspond à un niveau de 100 dB (concert) ?
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1. Le niveau sonore est défini par :

L=10log⁡(II0)L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)

avec I0=10−12I_0 = 10^{-12} W·m⁻² (seuil d’audibilité). LL s’exprime en décibels (dB).

2. L=10log⁡(2,5×10−51,0×10−12)=10log⁡(2,5×107)=74 dBL = 10 \log\left(\dfrac{2{,}5 \times 10^{-5}}{1{,}0 \times 10^{-12}}\right) = 10 \log\left(2{,}5 \times 10^{7}\right) = \mathbf{74 \text{ dB}}

3. On inverse la formule : II0=10L/10\dfrac{I}{I_0} = 10^{L/10}, donc

I=I0×10100/10=10−12×1010=1,0×10−2 W⋅m−2I = I_0 \times 10^{100/10} = 10^{-12} \times 10^{10} = \mathbf{1{,}0 \times 10^{-2} \text{ W·m}^{-2}}

Entre la salle de classe et le concert, le niveau ne fait que passer de 74 à 100 dB… mais l’intensité est multipliée par 400 !

Exercice 2 — L’intensité double : que devient le niveau sonore ?

Une enceinte produit, à un endroit donné, une intensité sonore I1I_1 correspondant à un niveau L1=74L_1 = 74 dB. On ajoute une deuxième enceinte identique au même endroit : les intensités s’additionnent.

  1. Exprimer le nouveau niveau L2L_2 en fonction de L1L_1, sans calculatrice, en utilisant log⁡(2)≈0,30\log(2) \approx 0{,}30.
  2. Calculer L2L_2.
  3. Faut-il 2 ou 10 enceintes identiques pour gagner 10 dB ?
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1. La nouvelle intensité est I2=2 I1I_2 = 2\,I_1. On utilise la propriété du logarithme log⁡(ab)=log⁡a+log⁡b\log(ab) = \log a + \log b :

L2=10log⁡(2I1I0)=10log⁡(I1I0)+10log⁡(2)=L1+3,0 dBL_2 = 10 \log\left(\dfrac{2 I_1}{I_0}\right) = 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) + 10 \log(2) = L_1 + 3{,}0 \text{ dB}

Doubler l’intensité ajoute 3 dB — c’est LE résultat à retenir de ce chapitre.

2. L2=74+3,0=77 dBL_2 = 74 + 3{,}0 = \mathbf{77 \text{ dB}}

3. Gagner 10 dB exige de multiplier l’intensité par 1010/10=1010^{10/10} = 10 : il faut donc 10 enceintes identiques, et non 2. L’échelle des décibels compresse énormément les écarts d’intensité — c’est pour cela qu’elle est adaptée à notre oreille.

Exercice 3 — Niveau sonore et distance

Une enceinte de puissance sonore P=0,50P = 0{,}50 W émet de façon identique dans toutes les directions (source isotrope). On se place à d=10d = 10 m.

Données : I0=10−12I_0 = 10^{-12} W·m⁻² ; surface d’une sphère : 4πd24\pi d^2.

  1. Justifier la relation I=P4πd2I = \dfrac{P}{4\pi d^2} et calculer II à 10 m.
  2. En déduire le niveau sonore LL à cette distance.
  3. De combien diminue le niveau sonore quand on double la distance ?
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1. À la distance dd, toute la puissance émise se répartit sur une sphère de rayon dd et de surface 4πd24\pi d^2. L’intensité est la puissance reçue par unité de surface :

I=P4πd2=0,504π×102=4,0×10−4 W⋅m−2I = \dfrac{P}{4\pi d^2} = \dfrac{0{,}50}{4\pi \times 10^2} = \mathbf{4{,}0 \times 10^{-4} \text{ W·m}^{-2}}

2. L=10log⁡(4,0×10−410−12)=10log⁡(4,0×108)=86 dBL = 10 \log\left(\dfrac{4{,}0 \times 10^{-4}}{10^{-12}}\right) = 10 \log\left(4{,}0 \times 10^{8}\right) = \mathbf{86 \text{ dB}}

3. Si dd double, d2d^2 est multiplié par 4, donc II est divisée par 4 :

ΔL=10log⁡(4)=6,0 dB de moins\Delta L = 10 \log(4) = \mathbf{6{,}0 \text{ dB de moins}}

Retiens : distance × 2 → niveau − 6 dB. C’est l’atténuation géométrique, avant même que l’air n’absorbe le son.

Exercice 4 — Protéger son audition en concert (type bac ⭐)

Devant la scène d’un concert, à d1=2,0d_1 = 2{,}0 m des enceintes, le niveau sonore atteint L1=95L_1 = 95 dB. Au-delà de 8 h d’exposition à 80 dB, l’audition est en danger. On modélise les enceintes par une source isotrope.

Données : I0=10−12I_0 = 10^{-12} W·m⁻² ; pour une source isotrope, I∝1d2I \propto \dfrac{1}{d^2}.

  1. Calculer l’intensité sonore I1I_1 à 2,0 m.
  2. Quelle intensité I2I_2 correspond au seuil de 80 dB ?
  3. À quelle distance d2d_2 des enceintes faut-il se placer pour redescendre à 80 dB ?
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1. On inverse la définition du niveau sonore :

I1=I0×10L1/10=10−12×109,5=3,2×10−3 W⋅m−2I_1 = I_0 \times 10^{L_1/10} = 10^{-12} \times 10^{9{,}5} = \mathbf{3{,}2 \times 10^{-3} \text{ W·m}^{-2}}

2. De la même façon :

I2=I0×1080/10=10−12×108=1,0×10−4 W⋅m−2I_2 = I_0 \times 10^{80/10} = 10^{-12} \times 10^{8} = \mathbf{1{,}0 \times 10^{-4} \text{ W·m}^{-2}}

3. Pour une source isotrope, I∝1d2I \propto \dfrac{1}{d^2}, donc I1d12=I2d22I_1 d_1^2 = I_2 d_2^2 :

d2=d1I1I2=2,0×3,2×10−31,0×10−4=2,0×32=11 md_2 = d_1 \sqrt{\dfrac{I_1}{I_2}} = 2{,}0 \times \sqrt{\dfrac{3{,}2 \times 10^{-3}}{1{,}0 \times 10^{-4}}} = 2{,}0 \times \sqrt{32} = \mathbf{11 \text{ m}}

Il faut donc s’éloigner à une dizaine de mètres de la scène pour passer sous le seuil de danger — ou porter des bouchons d’oreilles, qui atténuent le niveau de 15 à 30 dB.

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