Exercices — La lunette astronomique

1. Une lunette astronomique comporte :

• l’objectif, la lentille tournée vers l’objet observé : il forme une image intermédiaire de l’objet dans son plan focal image ;
• l’oculaire, la lentille placée devant l’œil : il joue le rôle d’une loupe et donne de cette image intermédiaire une image agrandie observée par l’œil.

2. Une lunette est afocale lorsqu’un objet situé à l’infini donne une image finale elle aussi à l’infini : l’œil observe alors sans accommoder, donc sans fatigue.

3. Pour cela, le foyer image de l’objectif $F_1'$ doit être confondu avec le foyer objet de l’oculaire $F_2$ :

$F_1' = F_2$

Réflexe à retenir : l’image intermédiaire se forme exactement dans ce plan focal commun — c’est le point de départ de toutes les constructions demandées en contrôle.

1. Le grossissement est le rapport entre l’angle $\theta'$ sous lequel on voit l’objet à travers la lunette et l’angle $\theta$ sous lequel on le voit à l’œil nu :

$G = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{f_1'}{f_2'}$

2. Application numérique :

$G = \frac{f_1'}{f_2'} = \frac{900}{15} = 60$

Le grossissement vaut 60 : l’objet paraît 60 fois plus « gros » (au sens angulaire) qu’à l’œil nu.

Astuce de vérification : $G$ est un rapport de deux longueurs, il n’a pas d’unité — et il doit être supérieur à 1, sinon la lunette n’aurait aucun intérêt ! Vérifie aussi que les deux focales sont dans la même unité avant de diviser.

1. On part de $G = \dfrac{f_1'}{f_2'}$ et on isole $f_1'$ :

$f_1' = G \times f_2' = 50 \times 20 = 1000\ \text{mm} = 1{,}00\ \text{m}$

2. Dans une lunette afocale, $F_1'$ et $F_2$ sont confondus : la distance entre les deux lentilles est donc la somme des distances focales :

$L = f_1' + f_2' = 1000 + 20 = 1020\ \text{mm} = 1{,}02\ \text{m}$

Réflexe à retenir : dans une lunette, l’objectif a toujours la grande focale et l’oculaire la petite. Si ton calcul donne un objectif plus court que l’oculaire, c’est le signe d’une formule inversée.

1. L’angle étant petit, on applique l’approximation du cours :

$\theta = \frac{D}{d} = \frac{3{,}5 \times 10^{3}}{3{,}9 \times 10^{5}} = 9{,}0 \times 10^{-3}\ \text{rad}$

(Les deux distances sont en km : le rapport est sans unité, le résultat est bien en radians.)

2. Par définition du grossissement, $G = \dfrac{\theta'}{\theta}$, donc :

$\theta' = G \times \theta = 20 \times 9{,}0 \times 10^{-3} = 0{,}18\ \text{rad}$

Soit environ $10^\circ$ : à travers la lunette, la Lune paraît 20 fois plus large qu’à l’œil nu.

Astuce de vérification : le diamètre apparent de la Lune à l’œil nu, environ $9 \times 10^{-3}\ \text{rad}$ soit $0{,}5^\circ$, est un ordre de grandeur à connaître — il permet de repérer immédiatement un résultat absurde.

1. Le grossissement $G = \dfrac{f_1'}{f_2'}$ est d’autant plus grand que la focale de l’objectif est grande et celle de l’oculaire petite. On choisit donc :

• objectif : $L_1$ (grande focale, $f_1' = 800\ \text{mm}$) ;
• oculaire : $L_2$ (petite focale, $f_2' = 20\ \text{mm}$).

(Le choix inverse donnerait $G = \frac{20}{800} = 0{,}025 < 1$ : les astres paraîtraient plus petits qu’à l’œil nu !)

2. Pour que la lunette soit afocale, le foyer image de l’objectif doit être confondu avec le foyer objet de l’oculaire : $F_1' = F_2$. Les deux lentilles doivent donc être séparées de :

$L = f_1' + f_2' = 800 + 20 = 820\ \text{mm} = 82{,}0\ \text{cm}$

3. Le grossissement vaut :

$G = \frac{f_1'}{f_2'} = \frac{800}{20} = 40$

La lunette grossit 40 fois.

Réflexe à retenir : les trois questions de cet exercice (choix des lentilles, condition afocale, grossissement) forment le trio quasi systématique des sujets de bac sur la lunette — assure-toi de savoir les enchaîner sans hésiter.