Exercices — Intensité et niveau d'intensité sonore

1. Le niveau d’intensité sonore, exprimé en décibels (dB), est défini par :

$L = 10\,\log\frac{I}{I_0}$

où $I$ est l’intensité sonore (en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$) et $I_0$ l’intensité de référence, seuil d’audibilité.

2. On applique la définition :

$L = 10\,\log\frac{1{,}0 \times 10^{-5}}{1{,}0 \times 10^{-12}} = 10\,\log\left(10^{7}\right) = 70\ \text{dB}$

Astuce de vérification : quand $I/I_0$ est une puissance de 10 entière, le calcul est immédiat : $\log(10^n) = n$, donc $L = 10n$. Ici $n = 7$, d’où 70 dB ✓ — un ordre de grandeur réaliste pour une salle bruyante.

On part de la définition et on isole $I$ :

$L = 10\,\log\frac{I}{I_0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}$

$I = I_0 \times 10^{L/10} = 1{,}0 \times 10^{-12} \times 10^{40/10} = 1{,}0 \times 10^{-12} \times 10^{4}$

$I = 1{,}0 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

Réflexe à retenir : pour « remonter » du niveau $L$ à l’intensité $I$, la formule inverse est $I = I_0 \times 10^{L/10}$. Vérification rapide : en réinjectant, $10\,\log(10^4) = 40\ \text{dB}$ ✓.

1. Les intensités sonores s’additionnent (mais pas les niveaux !) :

$I_2 = 2\,I_1 = 2{,}0 \times 10^{-5}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

2. On calcule le nouveau niveau :

$L_2 = 10\,\log\frac{2{,}0 \times 10^{-5}}{1{,}0 \times 10^{-12}} = 10\,\log\left(2{,}0 \times 10^{7}\right) = 73\ \text{dB}$

Le niveau n’a augmenté que de $3\ \text{dB}$ (car $10\,\log 2 \approx 3{,}0$), et certainement pas doublé !

Réflexe à retenir : doubler l’intensité sonore, c’est ajouter 3 dB. Multiplier l’intensité par 10, c’est ajouter 10 dB. Les décibels se comportent comme des logarithmes, jamais comme des proportions.

1. La puissance se répartit sur une sphère de surface $4\pi d^2$ :

$I = \frac{0{,}50}{4\pi \times 10^2} = \frac{0{,}50}{1{,}26 \times 10^3} = 4{,}0 \times 10^{-4}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

2. On applique la définition du niveau sonore :

$L = 10\,\log\frac{4{,}0 \times 10^{-4}}{1{,}0 \times 10^{-12}} = 10\,\log\left(4{,}0 \times 10^{8}\right) = 86\ \text{dB}$

(en détail : $\log(4{,}0 \times 10^8) = \log 4 + 8 = 0{,}60 + 8 = 8{,}6$).

Astuce de vérification : 86 dB à 10 m d’une sirène, c’est fort mais réaliste (une rue très bruyante est vers 80 dB, un concert vers 100 dB). Compare toujours ton résultat aux ordres de grandeur du cours.

1. L’intensité est inversement proportionnelle à $d^2$ : quand la distance double, $I$ est divisée par $2^2 = 4$ :

$I_2 = \frac{I_1}{4} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

$L_2 = 10\,\log\frac{1{,}0 \times 10^{-4}}{1{,}0 \times 10^{-12}} = 10\,\log\left(10^{8}\right) = 80\ \text{dB}$

2. L’atténuation vaut :

$A = L_1 - L_2 = 86 - 80 = 6\ \text{dB}$

Réflexe à retenir : doubler la distance à la source, c’est perdre 6 dB (l’intensité est divisée par 4, et $10\,\log 4 \approx 6{,}0$). Astuce de vérification : diviser $I$ par 4, c’est retirer deux fois 3 dB — on retrouve bien le réflexe « facteur 2 = 3 dB » de l’exercice 3 ✓.