Intensité et niveau d'intensité sonore terminale : exercices corrigés (PDF)

Un sonomètre affiche des décibels, mais ce que le son transporte, c’est une puissance, reçue sur chaque mètre carré : l’intensité sonore. Entre les deux, il y a un logarithme décimal. Et quand on s’éloigne d’une éolienne, ou qu’un signal de brume doit porter jusqu’au large, le niveau baisse pour deux raisons bien différentes : l’énergie s’étale, et le milieu en absorbe une partie. Le programme demande d’exploiter l’expression du niveau d’intensité sonore, de passer de l’intensité au niveau et inversement, et d’illustrer l’atténuation géométrique et l’atténuation par absorption. Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants se rédigent : le bruit d’une éolienne à plusieurs distances, puis, comme en contrôle, la portée d’un signal de brume avec un tableau d’absorption de l’air.

L = 10 log(I / I₀) exprimer un son en décibels, puis prévoir de combien son niveau baisse quand on s'éloigne ou quand il traverse un milieu

L'intensité et le niveau

L'intensité sonore I

I = P / S

La puissance P transportée par l'onde, reçue par une surface S : l'intensité s'exprime en W·m⁻².

C'est elle qui s'ajoute : deux sources indépendantes donnent la somme de leurs intensités, pas de leurs niveaux.

Le niveau d'intensité sonore L

L = 10 log(I / I₀)

Il s'exprime en décibels (dB), sans dimension, et se mesure avec un sonomètre. L'intensité de référence, I₀ = 1,0 × 10⁻¹² W·m⁻², est voisine du seuil d'audibilité d'un son de 1 kHz.

« log » est le logarithme décimal : la touche log de la calculatrice, pas ln.

Du niveau à l'intensité

I = I₀ × 10^L/10

On divise L par 10, puis on applique la fonction réciproque du logarithme décimal, x ↦ 10^x.

Intensité × 10 : + 10 dB. Intensité × 100 : + 20 dB. Intensité × 2 : environ + 3 dB.

L'atténuation, en décibels

Chaque doublement de la distance retire 6 dB ; la paroi retire en plus son atténuation par absorption.

L'atténuation géométrique

L'atténuation A = L₁ − L₂ est la diminution du niveau, en dB. Pour une source ponctuelle qui émet de façon identique dans toutes les directions, sans obstacle, la puissance s'étale sur une sphère d'aire 4πd² :

I = P / (4πd²)

Distance × 2 : intensité ÷ 4, soit − 6 dB. Distance × 10 : intensité ÷ 100, soit − 20 dB. Entre deux distances quelconques, A_géo = 20 log(d₂ / d₁).

L'atténuation par absorption

Le milieu traversé (air, paroi, tissu…) absorbe une partie de l'énergie sonore, qu'il convertit en énergie thermique. A_abs dépend du matériau, de son épaisseur et de la fréquence : en général, les aigus sont plus absorbés que les graves.

Une atténuation de A décibels divise l'intensité par 10^A/10 : 10 dB, un dixième de l'intensité passe ; 30 dB, un millième.

Les atténuations en dB s'ajoutent : L₂ = L₁ − A_géo − A_abs.

La carte du chapitre : une intensité en W·m⁻², un niveau en décibels, et des atténuations qui se retranchent du niveau.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Garde ta calculatrice à portée de main, et vérifie que tu utilises la touche log, et non ln. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Le niveau d'intensité sonore et l'atténuation en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

L'intensité sonore est la puissance transportée par une onde sonore, reçue par unité de ; elle s'exprime en . Le niveau d'intensité sonore, mesuré par un , vaut L = 10 log(I / I₀), où log est la fonction : multiplier l'intensité par 1 000 augmente le niveau de . L'atténuation entre deux points est la , exprimée en décibels. Pour une source ponctuelle dans un espace dégagé, la puissance s'étale sur une sphère d'aire : multiplier la distance par 10 retire , c'est l'atténuation géométrique. L'atténuation par absorption dépend du milieu traversé, de son épaisseur et ; une atténuation de 20 dB laisse passer de l'intensité sonore. Quand un son subit les deux, les atténuations exprimées en décibels .

Exercice 4

Calculer une intensité sonore et un niveau d'intensité sonore à distance

★★★

Application directe : le bruit d'une éolienne

En fonctionnement, une éolienne terrestre émet une puissance sonore d’environ $P = 3{,}2 \times 10^{-2}\ \text{W}$ , due surtout au souffle de ses pales dans l’air. On modélise l’éolienne par une source ponctuelle, placée au niveau de sa nacelle, qui émet de façon identique dans toutes les directions : aux distances étudiées, plusieurs fois plus grandes que la longueur des pales, ce modèle est raisonnable. On néglige l’absorption du son par l’air et sa réflexion sur le sol.

Données :

intensité sonore de référence : $I_0 = 1{,}0 \times 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ ;
aire d’une sphère de rayon $d$ : $S = 4\pi d^2$ ;
en France, une éolienne terrestre doit être implantée à au moins $500\ \text{m}$ des habitations ;
la nuit, dans une campagne calme, le niveau d’intensité sonore ambiant est souvent compris entre $25\ \text{dB}$ et $35\ \text{dB}$ .

Expliquer pourquoi, à la distance $d$ de la nacelle, l’intensité sonore s’écrit $I = \dfrac{P}{4\pi d^2}$ . Calculer l’intensité sonore $I_1$ sur un chemin de randonnée situé à $d_1 = 200\ \text{m}$ de la nacelle.
Calculer le niveau d’intensité sonore $L_1$ sur ce chemin.
Une maison se trouve à $d_2 = 500\ \text{m}$ de la nacelle, à peu près la distance minimale prévue par la loi. Calculer l’intensité sonore $I_2$ et le niveau $L_2$ devant cette maison.
Calculer l’atténuation géométrique $A = L_1 - L_2$ entre le chemin et la maison. Retrouver cette valeur à partir du rapport des intensités $\dfrac{I_1}{I_2}$ .
À quelle distance de la nacelle le niveau dû à l’éolienne descend-il à $35\ \text{dB}$ ? L’absorption du son par l’air, négligée ici, rendrait-elle cette distance plus grande ou plus petite ?

Voir le corrigé

1. L’intensité sonore est la puissance reçue par unité de surface : $I = \dfrac{P}{S}$ . La source émet de façon identique dans toutes les directions, et rien n’absorbe ni ne renvoie le son : à la distance $d$ , toute la puissance $P$ traverse une sphère centrée sur la nacelle, de rayon $d$ , dont l’aire vaut $S = 4\pi d^2$ . D’où :

$I = \dfrac{P}{4\pi d^2}$

Sur le chemin de randonnée, à $d_1 = 200\ \text{m}$ :

$I_1 = \dfrac{3{,}2 \times 10^{-2}\ \text{W}}{4\pi \times (200\ \text{m})^2} = 6{,}4 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

2. On applique la définition du niveau d’intensité sonore :

$L_1 = 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) = 10 \log\left(\dfrac{6{,}4 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}}{1{,}0 \times 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}}\right) = 10 \log\left(6{,}4 \times 10^{4}\right) = 48\ \text{dB}$

Le rapport $\dfrac{I_1}{I_0}$ est un quotient de deux intensités : il n’a pas d’unité, et c’est de ce nombre qu’on prend le logarithme décimal.

3. Devant la maison, à $d_2 = 500\ \text{m}$ :

$I_2 = \dfrac{3{,}2 \times 10^{-2}\ \text{W}}{4\pi \times (500\ \text{m})^2} = 1{,}0 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

$L_2 = 10 \log\left(\dfrac{1{,}0 \times 10^{-8}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}}{1{,}0 \times 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}}\right) = 10 \log\left(1{,}0 \times 10^{4}\right) = 40\ \text{dB}$

4. L’atténuation géométrique est la diminution du niveau :

$A = L_1 - L_2 = 48\ \text{dB} - 40\ \text{dB} = 8\ \text{dB}$

Le rapport des intensités ne dépend que des distances, puisque $P$ et $4\pi$ se simplifient :

$\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{P / (4\pi d_1^2)}{P / (4\pi d_2^2)} = \left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)^2 = \left(\dfrac{500\ \text{m}}{200\ \text{m}}\right)^2 = 6{,}25$

$A = 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_2}\right) = 10 \log\left(6{,}25\right) = 7{,}96\ \text{dB}$

soit $8\ \text{dB}$ à l’unité près, comme les niveaux. La distance a été multipliée par $2{,}5$ , l’intensité divisée par plus de $6$ , et pourtant le niveau n’a perdu que $8\ \text{dB}$ : c’est l’effet du logarithme.

5. On part du niveau visé et on remonte à l’intensité, avec la fonction réciproque du logarithme décimal :

$I = I_0 \times 10^{L/10} = 1{,}0 \times 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \times 10^{35/10} = 3{,}16 \times 10^{-9}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

Puis on isole la distance dans $I = \dfrac{P}{4\pi d^2}$ , ce qui donne $d^2 = \dfrac{P}{4\pi I}$ :

$d = \sqrt{\dfrac{P}{4\pi I}} = \sqrt{\dfrac{3{,}2 \times 10^{-2}\ \text{W}}{4\pi \times 3{,}16 \times 10^{-9}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}}} = 9{,}0 \times 10^{2}\ \text{m}$

Dans ce modèle, il faut s’éloigner à environ $900\ \text{m}$ de la nacelle pour que le bruit de l’éolienne descende au niveau d’une campagne calme la nuit, en haut de la fourchette des données.

L’air absorbe en réalité une partie de l’énergie sonore : à une distance donnée, l’intensité reçue est un peu plus faible que celle du modèle. Le niveau de $35\ \text{dB}$ serait donc atteint un peu plus près de l’éolienne. La réflexion sur le sol, elle aussi négligée, agit en sens inverse : le son renvoyé par le sol s’ajoute au son qui arrive directement de la nacelle.

Réflexe à retenir : pour aller d’un niveau à une distance, on passe par l’intensité. On remonte de $L$ à $I$ avec $10^{L/10}$ , puis on isole $d$ dans $I = \dfrac{P}{4\pi d^2}$ .

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Calculer une atténuation en décibels : géométrique, puis par absorption

★★★

Type contrôle : la portée d'un signal de brume, avec deux documents

Sur une côte rocheuse, un phare est équipé d’un signal de brume : par temps de brouillard, quand sa lumière ne se voit plus, il émet un son puissant qui avertit les navires de la présence de la côte. On cherche jusqu’à quelle distance ce signal reste perçu, et pourquoi il émet un son grave.

Document 1 - Extrait de la fiche technique du signal de brume. « Fréquence du son émis : $250\ \text{Hz}$ . Niveau d’intensité sonore mesuré à $1{,}0\ \text{m}$ du pavillon : $120\ \text{dB}$ . Mise en service : par visibilité réduite. »

Document 2 - Atténuation par absorption dans l’air, par kilomètre parcouru, à $10\ ^\circ\text{C}$ et pour une humidité relative de $90\ \%$ (valeurs arrondies, calculées selon la méthode de la norme internationale ISO 9613-1).

Fréquence du son ( $\text{Hz}$ )	Atténuation par absorption ( $\text{dB}$ par $\text{km}$ )
$125$	$0{,}34$
$250$	$1{,}0$
$500$	$2{,}0$
$1\,000$	$3{,}5$
$2\,000$	$8{,}2$
$4\,000$	$26$

Données :

intensité sonore de référence : $I_0 = 1{,}0 \times 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ ; aire d’une sphère de rayon $d$ : $S = 4\pi d^2$ ;
on modélise le signal par une source ponctuelle qui émet de façon identique dans toutes les directions, et on néglige l’effet du vent et les réflexions sur la mer ;
sur une distance $d$ , l’atténuation par absorption vaut $A_{\text{abs}} = \alpha \times d$ , où $\alpha$ est l’atténuation par kilomètre lue dans le document 2 ;
on admet que, sur le pont d’un navire, le signal est nettement perçu si son niveau d’intensité sonore atteint au moins $50\ \text{dB}$ ;
règles de calcul du logarithme décimal : $\log(a \times b) = \log a + \log b$ ; $\log(a^2) = 2 \log a$ ; $\log\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\log a$ .

Calculer l’intensité sonore $I_1$ à $d_1 = 1{,}0\ \text{m}$ du pavillon, puis la puissance sonore $P$ émise par le signal.
On néglige d’abord l’absorption. Montrer que le niveau à la distance $d$ s’écrit $L = L_1 - 20 \log\left(\dfrac{d}{d_1}\right)$ , où $L_1 = 120\ \text{dB}$ est le niveau à $d_1$ . En déduire l’atténuation géométrique entre $1{,}0\ \text{m}$ et $2{,}0\ \text{km}$ , puis le niveau à $2{,}0\ \text{km}$ .
À l’aide du document 2, calculer l’atténuation par absorption subie par le son du signal sur $2{,}0\ \text{km}$ , puis le niveau reçu par un navire situé à $2{,}0\ \text{km}$ . Le signal y est-il perçu ?
Quelle fraction de l’intensité sonore l’absorption laisse-t-elle subsister sur ces $2{,}0\ \text{km}$ ?
Un signal plus aigu, de fréquence $2\,000\ \text{Hz}$ , aurait le même niveau à $1{,}0\ \text{m}$ . Reprendre les questions 3 et 4 pour ce signal. Expliquer pourquoi les signaux de brume émettent des sons graves.
Sans absorption, à quelle distance le niveau du signal de $250\ \text{Hz}$ descendrait-il à $50\ \text{dB}$ ? En tenant compte de l’absorption, le signal est-il encore perçu à $3{,}0\ \text{km}$ ? Conclure sur la portée du signal.

Voir le corrigé

1. Le document 1 donne un niveau ; pour obtenir une intensité, on utilise la fonction réciproque du logarithme décimal :

$I_1 = I_0 \times 10^{L_1/10} = 1{,}0 \times 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \times 10^{120/10} = 1{,}0 \times 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \times 10^{12} = 1{,}0\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

À $1{,}0\ \text{m}$ , toute la puissance traverse une sphère de rayon $d_1$ , donc $P = I_1 \times 4\pi d_1^2$ :

$P = 1{,}0\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \times 4\pi \times (1{,}0\ \text{m})^2 = 13\ \text{W}$

2. Pour une source ponctuelle qui émet de façon identique dans toutes les directions, $I = \dfrac{P}{4\pi d^2}$ et $I_1 = \dfrac{P}{4\pi d_1^2}$ . En divisant membre à membre, $P$ et $4\pi$ se simplifient :

$\dfrac{I}{I_1} = \left(\dfrac{d_1}{d}\right)^2 \quad \text{donc} \quad I = I_1 \times \left(\dfrac{d_1}{d}\right)^2$

On remplace dans la définition du niveau, puis on applique la règle $\log(a \times b) = \log a + \log b$ :

$L = 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_0} \times \left(\dfrac{d_1}{d}\right)^2\right) = 10 \log\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) + 10 \log\left(\left(\dfrac{d_1}{d}\right)^2\right)$

Le premier terme est le niveau $L_1$ à $d_1$ . Pour le second, la règle $\log(a^2) = 2 \log a$ donne $20 \log\left(\dfrac{d_1}{d}\right)$ , et la règle $\log\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\log a$ permet de retourner la fraction, puisque $\dfrac{d_1}{d}$ est l’inverse de $\dfrac{d}{d_1}$ :

$L = L_1 - 20 \log\left(\dfrac{d}{d_1}\right)$

Le terme $20 \log\left(\dfrac{d}{d_1}\right)$ est l’atténuation géométrique entre $d_1$ et $d$ . Avec $d = 2{,}0\ \text{km} = 2{,}0 \times 10^{3}\ \text{m}$ :

$A_{\text{géo}} = 20 \log\left(\dfrac{2{,}0 \times 10^{3}\ \text{m}}{1{,}0\ \text{m}}\right) = 20 \log\left(2{,}0 \times 10^{3}\right) = 66{,}0\ \text{dB}$

$L = 120\ \text{dB} - 66{,}0\ \text{dB} = 54{,}0\ \text{dB}$

3. Le son du signal a une fréquence de $250\ \text{Hz}$ : le document 2 donne $\alpha = 1{,}0\ \text{dB}$ par kilomètre.

$A_{\text{abs}} = \alpha \times d = 1{,}0\ \text{dB}\cdot\text{km}^{-1} \times 2{,}0\ \text{km} = 2{,}0\ \text{dB}$

Les deux atténuations se retranchent du niveau à $1{,}0\ \text{m}$ :

$L = L_1 - A_{\text{géo}} - A_{\text{abs}} = 120\ \text{dB} - 66{,}0\ \text{dB} - 2{,}0\ \text{dB} = 52{,}0\ \text{dB}$

Ce niveau dépasse le seuil de $50\ \text{dB}$ : le signal est perçu à $2{,}0\ \text{km}$ .

4. Une atténuation de $A$ décibels divise l’intensité par $10^{A/10}$ : la fraction qui subsiste vaut $10^{-A/10}$ .

$10^{-A_{\text{abs}}/10} = 10^{-2{,}0/10} = 10^{-0{,}20} = 0{,}63$

Sur $2{,}0\ \text{km}$ , l’absorption laisse subsister environ $63\ \%$ de l’intensité sonore : elle compte peu devant l’atténuation géométrique, qui divise l’intensité par $10^{66{,}0/10}$ , soit environ $4 \times 10^{6}$ .

5. À $2\,000\ \text{Hz}$ , le document 2 donne $\alpha = 8{,}2\ \text{dB}$ par kilomètre. L’atténuation géométrique ne dépend pas de la fréquence : elle vaut encore $66{,}0\ \text{dB}$ .

$A_{\text{abs}} = 8{,}2\ \text{dB}\cdot\text{km}^{-1} \times 2{,}0\ \text{km} = 16{,}4\ \text{dB}$

$L = 120\ \text{dB} - 66{,}0\ \text{dB} - 16{,}4\ \text{dB} = 37{,}6\ \text{dB}$

Ce niveau est inférieur à $50\ \text{dB}$ : à $2{,}0\ \text{km}$ , ce signal aigu ne serait pas perçu. La fraction d’intensité qui subsiste après l’absorption vaut :

$10^{-16{,}4/10} = 10^{-1{,}64} = 0{,}023$

soit environ $2{,}3\ \%$ de l’intensité, contre $63\ \%$ pour le son de $250\ \text{Hz}$ .

D’après le document 2, l’atténuation par absorption dans l’air augmente avec la fréquence. À niveau égal au départ, un son grave porte donc plus loin qu’un son aigu : c’est la raison pour laquelle les signaux de brume émettent des sons graves.

6. Sans absorption, on cherche $d$ tel que $L_1 - 20 \log\left(\dfrac{d}{d_1}\right) = 50\ \text{dB}$ , c’est-à-dire $20 \log\left(\dfrac{d}{d_1}\right) = 120\ \text{dB} - 50\ \text{dB} = 70\ \text{dB}$ :

$\log\left(\dfrac{d}{d_1}\right) = \dfrac{70\ \text{dB}}{20\ \text{dB}} = 3{,}5$

La fonction réciproque du logarithme décimal donne $\dfrac{d}{d_1} = 10^{3{,}5}$ :

$d = d_1 \times 10^{3{,}5} = 1{,}0\ \text{m} \times 10^{3{,}5} = 3{,}2 \times 10^{3}\ \text{m}$

Sans absorption, le signal porterait jusqu’à environ $3{,}2\ \text{km}$ . À $3{,}0\ \text{km}$ , en tenant compte de l’absorption :

$A_{\text{géo}} = 20 \log\left(\dfrac{3{,}0 \times 10^{3}\ \text{m}}{1{,}0\ \text{m}}\right) = 69{,}5\ \text{dB} \qquad A_{\text{abs}} = 1{,}0\ \text{dB}\cdot\text{km}^{-1} \times 3{,}0\ \text{km} = 3{,}0\ \text{dB}$

$L = 120\ \text{dB} - 69{,}5\ \text{dB} - 3{,}0\ \text{dB} = 47{,}5\ \text{dB}$

Ce niveau est inférieur à $50\ \text{dB}$ : le signal n’est plus nettement perçu à $3{,}0\ \text{km}$ . Sa portée est donc comprise entre $2{,}0\ \text{km}$ et $3{,}0\ \text{km}$ , plus courte que les $3{,}2\ \text{km}$ prévus sans absorption. Le graphique ci-dessous, tracé avec le même modèle, la situe vers $2{,}4\ \text{km}$ .

Le niveau du signal en fonction de la distance, dans le modèle de l'exercice. Il passe sous le seuil de 50 dB vers 1,1 km pour un son de 2 000 Hz, vers 2,4 km pour le son de 250 Hz, et vers 3,2 km si l'on néglige l'absorption.

En mer, le vent, les réflexions sur l’eau et le bruit à bord modifient ces valeurs : le calcul donne un ordre de grandeur de la portée, pas une garantie.

Réflexe à retenir : écris la chaîne complète avant de calculer, $L = L_1 - A_{\text{géo}} - A_{\text{abs}}$ , avec un terme par cause d’atténuation. Chaque terme se calcule à part, en décibels, puis on compare le résultat au seuil.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

Regarde l’unité avant de choisir la formule. Des $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ désignent une intensité, des décibels un niveau. De $I$ vers $L$ : $L = 10 \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ , avec la touche log. De $L$ vers $I$ : $I = I_0 \times 10^{L/10}$ . Et pour une distance ou une puissance, on repasse par l’intensité, puisque c’est elle qui vaut $\dfrac{P}{S}$ .
Les atténuations se retranchent du niveau, en décibels. Écris $L_2 = L_1 - A_{\text{géo}} - A_{\text{abs}}$ , puis calcule chaque terme à part : $A_{\text{géo}} = 20 \log\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)$ pour l’éloignement, une valeur donnée ou lue dans un tableau pour l’absorption. Pour revenir à l’intensité, une atténuation de $A$ décibels la divise par $10^{A/10}$ .
Vérifie les conditions du modèle. Les $6\ \text{dB}$ par doublement de la distance supposent une source ponctuelle, qui émet de façon identique dans toutes les directions, sans réflexion ni absorption ; l’absorption, elle, dépend du milieu et de la fréquence, les aigus étant en général plus absorbés. La carte en haut de page rassemble ces relations.

L’addition de sources indépendantes, et les $3\ \text{dB}$ gagnés quand l’intensité double, se travaillent dans l’exercice corrigé sur le niveau sonore d’une intensité qui double. Les sons graves qui contournent les obstacles relèvent de la diffraction, et le son d’une sirène qui change en passant devant toi, de l’effet Doppler.

Exercices corrigés — Intensité et niveau d'intensité sonore

Passer de l'intensité sonore au niveau en décibels

Atténuation géométrique et atténuation par absorption

Le niveau d'intensité sonore et l'atténuation en un paragraphe

Calculer une intensité sonore et un niveau d'intensité sonore à distance

Calculer une atténuation en décibels : géométrique, puis par absorption

Les trois réflexes à retenir

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