Exercices corrigés — La mole : compter les entités

1. Dans la formule brute $\text{C}_3\text{H}_6\text{O}$, le nombre écrit en bas à droite d’un symbole compte les atomes de cet élément ; l’oxygène, sans nombre, compte pour un atome. Une molécule d’acétone contient donc 3 atomes de carbone, 6 atomes d’hydrogène et 1 atome d’oxygène, soit $3 + 6 + 1 = 10$ atomes.

2. La masse d’une molécule est la somme des masses de ses atomes :

$m_{\text{acétone}} = 3 \times m(\text{C}) + 6 \times m(\text{H}) + m(\text{O})$

On remplace par les valeurs, avec leurs unités :

$m_{\text{acétone}} = 3 \times 1{,}99 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 6 \times 1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg} + 2{,}66 \times 10^{-26}\ \text{kg}$

Les trois termes n’ont pas la même puissance de dix. Celui de l’hydrogène vaut $6 \times 1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 10{,}02 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, soit $1{,}002 \times 10^{-26}\ \text{kg}$ (on déplace la virgule d’un rang vers la gauche et on augmente l’exposant de 1) : on l’écrit avec $10^{-26}$, comme les deux autres, puis on additionne les nombres placés devant.

$m_{\text{acétone}} = 5{,}97 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 1{,}002 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 2{,}66 \times 10^{-26}\ \text{kg} = 9{,}632 \times 10^{-26}\ \text{kg}$

Avec trois chiffres significatifs : $m_{\text{acétone}} \approx 9{,}63 \times 10^{-26}\ \text{kg}$. Contrôle : la molécule, faite de dix atomes, est plus lourde que chacun d’eux, et sa masse reste minuscule, de l’ordre de $10^{-25}\ \text{kg}$.

3. On convertit d’abord la masse de l’échantillon : $m = 29{,}0\ \text{g} = 29{,}0 \times 10^{-3}\ \text{kg} = 2{,}90 \times 10^{-2}\ \text{kg}$.

L’échantillon est fait de $N$ molécules identiques, de masse $m_{\text{acétone}}$ chacune : le nombre de molécules est le quotient des deux masses, toutes deux en kilogrammes.

$N = \dfrac{m}{m_{\text{acétone}}} = \dfrac{2{,}90 \times 10^{-2}\ \text{kg}}{9{,}63 \times 10^{-26}\ \text{kg}} \approx 0{,}301 \times 10^{24}$

En effet, $2{,}90 / 9{,}63 \approx 0{,}301$ et $-2 - (-26) = -2 + 26 = 24$. Les kilogrammes se simplifient : $N$ est un nombre sans unité. Le nombre placé devant, 0,301, est plus petit que 1 : on déplace la virgule d’un rang vers la droite et on diminue l’exposant de 1. Le bécher contient $N \approx 3{,}01 \times 10^{23}$ molécules d’acétone.

4. La quantité de matière est le nombre de paquets de $N_\text{A}$ molécules :

$n = \dfrac{N}{N_\text{A}} = \dfrac{3{,}01 \times 10^{23}}{6{,}022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}} \approx 0{,}500\ \text{mol}$

Les deux puissances de dix sont égales et se simplifient, et $3{,}01 / 6{,}022 \approx 0{,}500$. Diviser un nombre sans unité par des $\text{mol}^{-1}$ donne des mol. L’échantillon contient $n \approx 0{,}500\ \text{mol}$ d’acétone : une demi-mole, ce qui est cohérent avec $N \approx 3{,}01 \times 10^{23}$, environ la moitié de $6{,}022 \times 10^{23}$.

Réflexe à retenir : la masse de l’échantillon, en kilogrammes, divisée par la masse d’une entité, en kilogrammes, donne $N$, sans unité. Puis $N$ divisé par $N_\text{A}$ donne $n$, en mol.

1. L’étiquette indique une teneur de $32\ \text{mg}$ de caféine pour $100\ \text{mL}$ de boisson. Une teneur est une grandeur quotient : une masse divisée par un volume. On la note $t$ :

$t = \dfrac{32\ \text{mg}}{100\ \text{mL}} = 0{,}32\ \text{mg/mL}$

C’est une concentration en masse : $0{,}32\ \text{mg/mL}$, c’est aussi $0{,}32\ \text{g/L}$.

La masse de caféine de la canette est le produit de cette teneur par le volume de la canette :

$m = t \times V = 0{,}32\ \text{mg/mL} \times 250\ \text{mL} = 80\ \text{mg}$

Les millilitres se simplifient : on obtient bien des milligrammes. La canette contient $80\ \text{mg}$ de caféine. Autre façon de le voir : $250\ \text{mL}$, c’est 2,5 fois $100\ \text{mL}$, et $2{,}5 \times 32\ \text{mg} = 80\ \text{mg}$.

2. Une molécule de caféine $\text{C}_8\text{H}_{10}\text{N}_4\text{O}_2$ contient 8 atomes de carbone, 10 atomes d’hydrogène, 4 atomes d’azote et 2 atomes d’oxygène. Sa masse est la somme des masses de ces atomes :

$m_{\text{caféine}} = 8 \times m(\text{C}) + 10 \times m(\text{H}) + 4 \times m(\text{N}) + 2 \times m(\text{O})$

$m_{\text{caféine}} = 8 \times 1{,}99 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 10 \times 1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg} + 4 \times 2{,}33 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 2 \times 2{,}66 \times 10^{-26}\ \text{kg}$

Le terme de l’hydrogène vaut $10 \times 1{,}67 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 16{,}7 \times 10^{-27}\ \text{kg} = 1{,}67 \times 10^{-26}\ \text{kg}$ : on l’écrit avec $10^{-26}$, comme les trois autres.

$m_{\text{caféine}} = 15{,}92 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 1{,}67 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 9{,}32 \times 10^{-26}\ \text{kg} + 5{,}32 \times 10^{-26}\ \text{kg} = 32{,}23 \times 10^{-26}\ \text{kg}$

Le nombre placé devant, 32,23, dépasse 10 : on déplace la virgule d’un rang vers la gauche et on augmente l’exposant de 1, ce qui donne $3{,}223 \times 10^{-25}\ \text{kg}$. Avec trois chiffres significatifs : $m_{\text{caféine}} \approx 3{,}22 \times 10^{-25}\ \text{kg}$.

3. On convertit la masse de caféine de la canette : $m = 80\ \text{mg} = 80 \times 10^{-6}\ \text{kg} = 8{,}0 \times 10^{-5}\ \text{kg}$. Le nombre de molécules est le quotient de cette masse par la masse d’une molécule, toutes deux en kilogrammes :

$N = \dfrac{m}{m_{\text{caféine}}} = \dfrac{8{,}0 \times 10^{-5}\ \text{kg}}{3{,}22 \times 10^{-25}\ \text{kg}} \approx 2{,}48 \times 10^{20}$

En effet, $8{,}0 / 3{,}22 \approx 2{,}48$ et $-5 - (-25) = -5 + 25 = 20$. Avec deux chiffres significatifs, la canette contient $N \approx 2{,}5 \times 10^{20}$ molécules de caféine. Pour la question suivante, on garde la valeur à trois chiffres, $2{,}48 \times 10^{20}$ : arrondir deux fois de suite peut décaler le dernier chiffre du résultat.

4. La quantité de matière est le nombre de paquets de $N_\text{A}$ molécules :

$n = \dfrac{N}{N_\text{A}} = \dfrac{2{,}48 \times 10^{20}}{6{,}022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}} \approx 0{,}412 \times 10^{-3}\ \text{mol}$

En effet, $2{,}48 / 6{,}022 \approx 0{,}412$ et $20 - 23 = -3$. Le nombre placé devant, 0,412, est plus petit que 1 : on déplace la virgule d’un rang vers la droite et on diminue l’exposant de 1, ce qui donne $4{,}12 \times 10^{-4}\ \text{mol}$. Avec deux chiffres significatifs, la canette contient $n \approx 4{,}1 \times 10^{-4}\ \text{mol}$ de caféine.

5. Les deux boissons contiennent la même espèce chimique, et chaque molécule de caféine a la même masse $m_{\text{caféine}}$ : la boisson qui contient la plus grande quantité de matière de caféine contient aussi le plus de molécules, donc la plus grande masse de caféine. On note $n_{\text{tasse}} = 5{,}0 \times 10^{-4}\ \text{mol}$ la quantité de matière de caféine de la tasse. Elle est plus grande que celle de la canette, $4{,}1 \times 10^{-4}\ \text{mol}$ : avec la valeur retenue pour la tasse, la grande tasse de café filtre apporte plus de caféine que la canette.

Pour la masse, on parcourt la chaîne à l’envers. Nombre de molécules de la tasse :

$N_{\text{tasse}} = n_{\text{tasse}} \times N_\text{A} = 5{,}0 \times 10^{-4}\ \text{mol} \times 6{,}022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1} \approx 3{,}01 \times 10^{20}$

Les mol et les $\text{mol}^{-1}$ se simplifient : c’est bien un nombre de molécules, sans unité. Masse correspondante :

$m_{\text{tasse}} = N_{\text{tasse}} \times m_{\text{caféine}} = 3{,}01 \times 10^{20} \times 3{,}22 \times 10^{-25}\ \text{kg} \approx 9{,}69 \times 10^{-5}\ \text{kg}$

En milligrammes : $9{,}69 \times 10^{-5}\ \text{kg} = 9{,}69 \times 10^{-5} \times 10^{6}\ \text{mg} = 96{,}9\ \text{mg}$. Avec deux chiffres significatifs, la tasse contient environ $97\ \text{mg}$ de caféine, un peu plus que les $80\ \text{mg}$ de la canette : c’est cohérent avec la comparaison des quantités de matière.

Réflexe à retenir : une teneur « pour 100 mL » est une grandeur quotient ; multipliée par le volume, elle donne la masse. Pour comparer deux échantillons d’une même espèce, comparer leurs quantités de matière suffit : même entité, même masse par entité.