Exercices corrigés — Modèles ondulatoire et particulaire de la lumière

1. On compare chaque longueur d’onde aux limites du domaine visible, $400\ \text{nm}$ et $800\ \text{nm}$ environ :

• $\lambda_1 = 660\ \text{nm}$ est comprise entre $400\ \text{nm}$ et $800\ \text{nm}$ : la radiation appartient au domaine visible. Elle se trouve du côté des grandes longueurs d’onde du visible : la lumière est rouge.
• $\lambda_2 = 940\ \text{nm}$ est supérieure à $800\ \text{nm}$ : la radiation appartient à l’infrarouge. L’œil ne la voit pas.

2. La longueur d’onde et la fréquence sont liées par $\lambda = \dfrac{c}{\nu}$, donc $\nu = \dfrac{c}{\lambda}$. La célérité est en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ : on convertit d’abord la longueur d’onde en mètres.

$\begin{aligned} \lambda_1 &= 660\ \text{nm} \\ &= 660 \times 10^{-9}\ \text{m} \\ &= 6{,}60 \times 10^{-7}\ \text{m} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \nu_1 &= \dfrac{c}{\lambda_1} \\ &= \dfrac{3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{6{,}60 \times 10^{-7}\ \text{m}} \\ &= 4{,}545 \times 10^{14}\ \text{Hz} \\ &\approx 4{,}55 \times 10^{14}\ \text{Hz} \end{aligned}$

Des $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ divisés par des mètres donnent des $\text{s}^{-1}$, c’est-à-dire des hertz. Pour la suite, on garde un chiffre de plus : $4{,}545 \times 10^{14}\ \text{Hz}$. On évite ainsi d’accumuler les arrondis.

3. L’énergie d’un photon est proportionnelle à la fréquence de la radiation :

$\begin{aligned} E_1 &= h \times \nu_1 \\ &= 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s} \\ &\times 4{,}545 \times 10^{14}\ \text{Hz} \\ &= 3{,}013 \times 10^{-19}\ \text{J} \\ &\approx 3{,}01 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{aligned}$

Des $\text{J}\cdot\text{s}$ multipliés par des hertz, c’est-à-dire des $\text{s}^{-1}$, donnent bien des joules. Un électronvolt vaut $1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}$, soit $1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}\cdot\text{eV}^{-1}$ (joules par électronvolt) : pour passer en électronvolts, on divise l’énergie en joules par cette valeur.

$\begin{aligned} &E_1 \\ &= \dfrac{3{,}013 \times 10^{-19}\ \text{J}}{1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}\cdot\text{eV}^{-1}} \\ &\approx 1{,}88\ \text{eV} \end{aligned}$

Un photon de lumière visible transporte une énergie de l’ordre de $10^{-19}\ \text{J}$, soit quelques électronvolts : le résultat est plausible.

4. En remplaçant $\nu$ par $\dfrac{c}{\lambda}$, l’énergie d’un photon s’écrit $E = \dfrac{h \times c}{\lambda}$ : elle est inversement proportionnelle à la longueur d’onde. Comme $\lambda_2 > \lambda_1$, le photon infrarouge transporte moins d’énergie que le photon rouge.

Vérification. On calcule d’abord le produit $h \times c$ :

$\begin{aligned} &h \times c \\ &= 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s} \\ &\quad \times 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \\ &= 1{,}989 \times 10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m} \end{aligned}$

Puis, avec $\lambda_2 = 940\ \text{nm} = 9{,}40 \times 10^{-7}\ \text{m}$ :

$\begin{aligned} E_2 &= \dfrac{h \times c}{\lambda_2} \\ &= \dfrac{1{,}989 \times 10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m}}{9{,}40 \times 10^{-7}\ \text{m}} \\ &= 2{,}116 \times 10^{-19}\ \text{J} \\ &\approx 2{,}12 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &E_2 \\ &= \dfrac{2{,}116 \times 10^{-19}\ \text{J}}{1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}\cdot\text{eV}^{-1}} \\ &\approx 1{,}32\ \text{eV} \end{aligned}$

On trouve $E_2 = 1{,}32\ \text{eV}$, inférieure à $E_1 = 1{,}88\ \text{eV}$ : la prévision est confirmée.

Réflexe à retenir : convertis la longueur d’onde en mètres avant tout calcul. Laissée en nanomètres, elle donnerait une fréquence ou une énergie $10^{9}$ fois trop petite.

1. Sur le diagramme, l’énergie de l’atome est représentée par des traits horizontaux séparés, les niveaux $E_1$, $E_2$, $E_3$ et $E_4$ : elle ne prend que certaines valeurs, au lieu de varier de façon continue. L’énergie de l’atome de sodium est donc quantifiée. Le document ne montre que quelques niveaux, mais les autres sont eux aussi des valeurs bien précises. L’état fondamental est le niveau le plus bas : $E_1 = -5{,}14\ \text{eV}$.

2. On convertit la longueur d’onde en mètres, puis on calcule le produit $h \times c$ :

$\begin{aligned} \lambda &= 589\ \text{nm} \\ &= 5{,}89 \times 10^{-7}\ \text{m} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &h \times c \\ &= 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s} \\ &\quad \times 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \\ &= 1{,}989 \times 10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m} \end{aligned}$

L’énergie du photon vaut alors :

$\begin{aligned} E &= \dfrac{h \times c}{\lambda} \\ &= \dfrac{1{,}989 \times 10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m}}{5{,}89 \times 10^{-7}\ \text{m}} \\ &= 3{,}377 \times 10^{-19}\ \text{J} \\ &\approx 3{,}38 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{aligned}$

En électronvolts, on divise par $1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}\cdot\text{eV}^{-1}$ :

$\begin{aligned} &E \\ &= \dfrac{3{,}377 \times 10^{-19}\ \text{J}}{1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}\cdot\text{eV}^{-1}} \\ &\approx 2{,}11\ \text{eV} \end{aligned}$

3. Un photon émis ou absorbé par un atome a exactement l’énergie qui sépare deux niveaux. On cherche donc, sur le diagramme, deux niveaux séparés de $2{,}11\ \text{eV}$, en commençant par le niveau le plus bas :

$\begin{aligned} E_2 - E_1 &= -3{,}03\ \text{eV} \\ &\quad - (-5{,}14\ \text{eV}) \\ &= 2{,}11\ \text{eV} \end{aligned}$

Les autres écarts du diagramme valent $1{,}08\ \text{eV}$, $1{,}16\ \text{eV}$, $2{,}24\ \text{eV}$, $3{,}19\ \text{eV}$ et $4{,}35\ \text{eV}$ : aucun ne convient. La raie est donc produite quand l’atome passe du niveau $E_2$ au niveau $E_1$. L’atome descend vers un niveau plus bas : il perd de l’énergie, emportée par le photon. C’est une émission (flèche 1 ci-dessous).

4. Le spectre (b) est le spectre continu de la lumière blanche, coupé par une raie noire à $589\ \text{nm}$ : c’est un spectre de raies d’absorption. La lumière blanche contient des photons de toutes les énergies du visible. Les atomes de sodium de la vapeur, dans leur état fondamental, absorbent ceux qui ont exactement l’énergie $E_2 - E_1 = 2{,}11\ \text{eV}$ : en absorbant un tel photon, l’atome monte de $E_1$ à $E_2$ (flèche 2). Ces photons manquent dans la lumière transmise, d’où la raie noire.

Les deux raies mettent en jeu le même écart entre les deux mêmes niveaux, parcouru vers le bas dans la lampe et vers le haut dans la vapeur. Les photons ont donc la même énergie, et la même longueur d’onde : $589\ \text{nm}$.

5. En absorbant un photon, l’atome gagne l’énergie de ce photon. Pour que le photon soit absorbé, l’atome doit arriver exactement sur un niveau. Depuis l’état fondamental, le niveau d’arrivée aurait l’énergie $E_1 + E_{\text{photon}}$ :

• avec le photon de $2{,}50\ \text{eV}$ : $-5{,}14\ \text{eV} + 2{,}50\ \text{eV} = -2{,}64\ \text{eV}$. Aucun niveau n’a cette énergie : ce photon n’est pas absorbé, il traverse la vapeur ;
• avec le photon de $4{,}35\ \text{eV}$ : $-5{,}14\ \text{eV} + 4{,}35\ \text{eV} = -0{,}79\ \text{eV}$, c’est le niveau $E_4$. Ce photon est absorbé : l’atome monte de $E_1$ à $E_4$ (flèche 3).

Pour calculer sa longueur d’onde, on convertit son énergie en joules :

$\begin{aligned} E &= 4{,}35\ \text{eV} \\ &\times 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}\cdot\text{eV}^{-1} \\ &= 6{,}96 \times 10^{-19}\ \text{J} \end{aligned}$

Puis on isole $\lambda$ dans $E = \dfrac{h \times c}{\lambda}$ :

$\begin{aligned} \lambda &= \dfrac{h \times c}{E} \\ &= \dfrac{1{,}989 \times 10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m}}{6{,}96 \times 10^{-19}\ \text{J}} \\ &= 2{,}858 \times 10^{-7}\ \text{m} \\ &\approx 286\ \text{nm} \end{aligned}$

Cette longueur d’onde est inférieure à $400\ \text{nm}$ : le photon absorbé appartient au domaine de l’ultraviolet. La vapeur de sodium absorbe donc aussi un rayonnement invisible.

Réflexe à retenir : un écart entre deux niveaux se calcule « niveau haut moins niveau bas » : c’est une valeur positive, l’énergie du photon. Un photon n’est absorbé que s’il amène l’atome exactement sur un niveau.