Exercices — Modèles ondulatoire et particulaire de la lumière

1. Le domaine visible s’étend d’environ $400\ \text{nm}$ à $800\ \text{nm}$ :

• $\lambda_1 = 100\ \text{nm} < 400\ \text{nm}$ : ultraviolet ;
• $\lambda_2 = 600\ \text{nm}$ : visible (lumière orangée) ;
• $\lambda_3 = 10\ \mu\text{m} = 10\,000\ \text{nm} > 800\ \text{nm}$ : infrarouge.

2. Dans le vide, longueur d’onde et fréquence sont liées par $\lambda = \dfrac{c}{\nu}$, donc :

$\nu = \dfrac{c}{\lambda_2} = \dfrac{3{,}00 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}} = 5{,}00 \times 10^{14}\ \text{Hz}$

Réflexe à retenir : les bornes $400$–$800\ \text{nm}$ du visible sont à connaître par cœur. En dessous, l’UV (plus énergétique) ; au-dessus, l’IR (moins énergétique).

1. Dans le modèle particulaire de la lumière, le photon est le grain d’énergie (ou quantum) associé à une radiation lumineuse : une particule de masse nulle qui se déplace à la vitesse de la lumière et transporte une énergie proportionnelle à la fréquence de la radiation.

2. L’énergie d’un photon est donnée par la relation de Planck-Einstein :

$E = h \times \nu = 6{,}63 \times 10^{-34} \times 5{,}00 \times 10^{14} = 3{,}3 \times 10^{-19}\ \text{J}$

Conversion en électronvolts :

$E = \dfrac{3{,}3 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{-19}} \approx 2{,}1\ \text{eV}$

Astuce de vérification : un photon visible a toujours une énergie de l’ordre de $10^{-19}\ \text{J}$, soit entre $1{,}5$ et $3\ \text{eV}$ environ. Si tu trouves un ordre de grandeur très différent, cherche l’erreur (souvent une puissance de 10).

1. On part de $E = h \times \nu$ et on remplace la fréquence par $\nu = \dfrac{c}{\lambda}$ :

$E = h \times \dfrac{c}{\lambda} = \dfrac{h \times c}{\lambda}$

2. Application numérique, avec $\lambda = 663\ \text{nm} = 663 \times 10^{-9}\ \text{m}$ :

$E = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^8}{663 \times 10^{-9}} = 3{,}00 \times 10^{-19}\ \text{J}$

En électronvolts :

$E = \dfrac{3{,}00 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{-19}} \approx 1{,}9\ \text{eV}$

Réflexe à retenir : plus la longueur d’onde est grande, plus l’énergie du photon est petite ($\lambda$ est au dénominateur). Un photon rouge est donc moins énergétique qu’un photon bleu — et l’ordre de grandeur $10^{-19}\ \text{J}$ est bien au rendez-vous ✓.

1. L’atome passe d’un niveau d’énergie élevé ($E_2$) à un niveau plus bas ($E_1$) : il perd de l’énergie, donc il émet un photon. L’énergie du photon est égale à la différence entre les deux niveaux :

$E_{photon} = E_2 - E_1 = -1{,}5 - (-3{,}4) = 1{,}9\ \text{eV}$

Conversion en joules :

$E_{photon} = 1{,}9 \times 1{,}60 \times 10^{-19} = 3{,}04 \times 10^{-19}\ \text{J}$

2. On utilise $E = \dfrac{h \times c}{\lambda}$, donc :

$\lambda = \dfrac{h \times c}{E_{photon}} = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^8}{3{,}04 \times 10^{-19}} \approx 6{,}54 \times 10^{-7}\ \text{m} = 654\ \text{nm}$

Cette longueur d’onde est comprise entre $400$ et $800\ \text{nm}$ : la radiation appartient au domaine visible (lumière rouge). C’est ainsi que naissent les spectres de raies d’émission : chaque raie correspond à une transition entre deux niveaux d’énergie.

Astuce de vérification : l’énergie d’un photon est toujours positive. Si ton calcul de $E_2 - E_1$ donne un résultat négatif, tu as soustrait dans le mauvais sens.

1. L’énergie émise est le produit de la puissance par la durée :

$E = P \times \Delta t = 3{,}0 \times 10^{-3} \times 1{,}0 = 3{,}0 \times 10^{-3}\ \text{J}$

2. D’après l’exercice 3, chaque photon de longueur d’onde $663\ \text{nm}$ transporte l’énergie :

$E_{photon} = \dfrac{h \times c}{\lambda} = 3{,}00 \times 10^{-19}\ \text{J}$

Le nombre de photons émis par seconde est donc :

$N = \dfrac{E}{E_{photon}} = \dfrac{3{,}0 \times 10^{-3}}{3{,}00 \times 10^{-19}} = 1{,}0 \times 10^{16}\ \text{photons}$

3. Oui : dix millions de milliards de photons chaque seconde ! Les photons sont si nombreux et transportent chacun une énergie si minuscule que la lumière nous paraît continue : l’aspect particulaire ne se manifeste qu’à très faible intensité ou dans des expériences dédiées (comme l’effet photoélectrique, que tu verras en Terminale).

Astuce de vérification : dans ce genre de bilan, contrôle les puissances de 10 avant tout : $10^{-3}$ divisé par $10^{-19}$ donne $10^{16}$ — un nombre gigantesque, cohérent avec une lumière d’apparence continue ✓.