Énergie et puissance électriques 1re spé : exercices corrigés (PDF)

Une batterie externe qui tiédit pendant qu’elle recharge un téléphone, un petit robot qui redémarre tout seul alors que ses piles sont neuves : ces deux situations s’expliquent avec les relations de ce chapitre. En Première, on relie l’intensité d’un courant au débit des charges, on modélise une pile par une source idéale de tension associée à une résistance, puis on suit l’énergie électrique jusqu’au rendement. Les trois premiers exercices vérifient que le cours est compris, sans calcul : deux quiz et un texte à trous, corrigés dès que tu valides. Les deux suivants sont des situations de contrôle, avec un corrigé rédigé comme au tableau.

Les bases de la loi d’Ohm et de la relation $P = U \times I$ se travaillent en 3e, dans les exercices sur la puissance et l’énergie électrique ; le rendement revient en mécanique, dans les exercices sur les études énergétiques.

Du débit de charges au rendement : l’essentiel pour les exercices

L’intensité, un débit de charges

I = \dfrac{Q}{\Delta t} \qquad Q = N \times e

I en ampères (A), la charge Q en coulombs (C), la durée Δt en secondes (s) : 1 A = 1 C/s. N est le nombre de porteurs de charge, et chacun porte la charge élémentaire e = 1,60 × 10⁻¹⁹ C.

Dans un métal, les porteurs de charge sont des électrons ; dans une solution, ce sont des ions.

Puissance, énergie et effet Joule

P = U \times I \qquad E = P \times \Delta t

P en watts (W), l’énergie E en joules (J) : 1 W = 1 J/s. Avec une puissance en watts et une durée en heures, l’énergie s’obtient en wattheures : 1 Wh = 3 600 J.

P_J = R \times I^2

Dans un conducteur ohmique de résistance R, l’énergie électrique reçue est convertie en énergie thermique : c’est l’effet Joule.

Deux grandeurs notées E. La tension à vide d’une source s’exprime en volts, une énergie en joules : l’unité dit de laquelle il s’agit.

La source réelle de tension

U = E - r \times I

E est la tension à vide, entre les bornes quand la source ne débite aucun courant (on dit aussi force électromotrice), en volts ; r est la résistance interne, en ohms (Ω). Plus l’intensité débitée est grande, plus la tension U entre les bornes diminue.

La caractéristique U = f(I) est une droite : son ordonnée à l’origine donne E, et son coefficient directeur vaut −r.

Bilan de puissance et rendement

E \times I = U \times I + r \times I^2

La source idéale du modèle fournit E × I : la source réelle en transfère U × I au circuit et en dissipe r × I² par effet Joule dans sa résistance interne.

\eta = \dfrac{P_\text{utile}}{P_\text{reçue}}

Le rendement η (la lettre grecque êta) d’un convertisseur est un nombre sans unité, souvent donné en pourcentage. Une partie de la puissance reçue étant perdue, il est inférieur à 1.

Quelques ordres de grandeur de puissances

Ampoule LED ≈ 10 W
Téléviseur ≈ 100 W
Sèche-cheveux ≈ 2 kW
Borne de recharge d’une voiture, à la maison ≈ 7 kW
Rame de TGV ≈ 10 MW
Réacteur nucléaire (puissance électrique fournie) ≈ 1 GW

D’une graduation à la suivante, la puissance est multipliée par 1 000. La valeur exacte d’un appareil est inscrite sur son étiquette ou dans sa notice.

Avant de te lancer : pour les exercices 4 et 5, cherche au brouillon avant d’ouvrir le corrigé : c’est en te trompant que tu progresses. Les exercices réussis se cochent au fur et à mesure, et la page retient où tu en es.

Exercice 3

Intensité, source réelle et rendement : le cours en un paragraphe

★★★

Le cours en un texte à trous

Dans un fil métallique, le courant électrique est un déplacement . Son intensité mesure un débit de charges : un ampère correspond à . Une pile réelle se modélise par une source idéale de tension associée à une résistance, sa résistance interne. Quand la pile ne débite aucun courant, la tension entre ses bornes est égale à ; plus l'intensité débitée augmente, plus cette tension . Dans un conducteur ohmique, l'énergie électrique reçue est convertie en énergie : c'est l'effet Joule. Le rendement d'un convertisseur est le quotient de la puissance par la puissance reçue ; pour un convertisseur réel, c'est un nombre sans unité .

Exercice 4

Déterminer la caractéristique d'une source réelle de tension

★★★

Des mesures de TP : tension à vide, résistance interne et bilan de puissance

En TP, Sami étudie le porte-piles qui alimente son petit robot : quatre piles neuves de $1{,}5\ \text{V}$ , placées en série. Il relie le porte-piles à une résistance réglable, avec un ampèremètre en série, et branche un voltmètre entre les bornes du porte-piles. En modifiant la résistance réglable, il mesure la tension $U$ entre les bornes du porte-piles pour plusieurs valeurs de l’intensité $I$ du courant débité. La première mesure est faite à vide : le porte-piles est relié au seul voltmètre et ne débite pas de courant.

Document 1 - Les mesures

Mesure	$I$ (A)	$U$ (V)
1	$0$	$6{,}20$
2	$0{,}20$	$5{,}97$
3	$0{,}40$	$5{,}71$
4	$0{,}60$	$5{,}47$
5	$0{,}80$	$5{,}25$
6	$1{,}00$	$5{,}00$

Document 2 - Les points de mesure et la droite tracée par le logiciel au plus près des points. L’axe des tensions commence à 4,0 V.

Données : modèle d’une source réelle de tension, $U = E - r \times I$ , où $E$ est la tension à vide (on dit aussi force électromotrice) et $r$ la résistance interne. Dans cet exercice, la lettre $E$ désigne donc une tension, en volts : ce n’est pas une énergie, notée elle aussi $E$ dans l’exercice 5. Puissance électrique : $P = U \times I$ ; puissance dissipée par effet Joule dans une résistance $r$ : $r \times I^2$ .

La tension entre les bornes du porte-piles reste-t-elle la même quand l’intensité augmente ? Un modèle de source idéale de tension conviendrait-il pour ce porte-piles ?
Expliquer pourquoi des points alignés sur une droite décroissante sont compatibles avec le modèle $U = E - r \times I$ .
Déterminer la tension à vide $E$ du porte-piles, puis calculer sa résistance interne $r$ à l’aide de deux points de la droite. Écrire le modèle du porte-piles avec ces valeurs.
La carte électronique du robot, branchée sur le porte-piles, s’éteint puis redémarre dès que la tension d’alimentation descend sous $4{,}5\ \text{V}$ . Au démarrage de ses deux moteurs, le robot demande au porte-piles un courant d’intensité $I = 1{,}50\ \text{A}$ . En admettant que le modèle reste valable jusqu’à cette intensité, calculer la tension entre les bornes du porte-piles. Expliquer pourquoi le robot peut redémarrer tout seul, alors que ses piles sont neuves.
Pour cette intensité de $1{,}50\ \text{A}$ , calculer la puissance $U \times I$ transférée au robot et la puissance $r \times I^2$ dissipée par effet Joule dans le porte-piles. Vérifier que leur somme est égale à $E \times I$ . Que devient l’énergie dissipée dans le porte-piles ?

Voir le corrigé

1. D’après le document 1, la tension passe de $6{,}20\ \text{V}$ à vide à $5{,}00\ \text{V}$ pour $I = 1{,}00\ \text{A}$ : elle diminue quand l’intensité augmente. Une source idéale de tension garderait la même tension quel que soit le courant débité : ce modèle ne convient pas. Le porte-piles est une source réelle de tension.

2. Dans le modèle $U = E - r \times I$ , $E$ et $r$ sont des constantes, propres au porte-piles. $U$ est donc une fonction affine de $I$ , d’ordonnée à l’origine $E$ et de coefficient directeur $-r$ . Sa représentation graphique est une droite ; comme $r$ est positive, le coefficient directeur $-r$ est négatif, et la droite descend. Des points de mesure alignés sur une droite décroissante sont donc compatibles avec ce modèle, aux erreurs de mesure près.

3. La tension à vide est la tension entre les bornes quand $I = 0\ \text{A}$ : c’est l’ordonnée à l’origine de la droite, et aussi la première mesure du tableau.

$E = 6{,}20\ \text{V}$

On lit deux points de la droite, assez éloignés l’un de l’autre : $(I_1\ ;\ U_1) = (0\ \text{A}\ ;\ 6{,}20\ \text{V})$ et $(I_2\ ;\ U_2) = (1{,}00\ \text{A}\ ;\ 5{,}00\ \text{V})$ . Le coefficient directeur de la droite vaut $\dfrac{U_2 - U_1}{I_2 - I_1}$ , et la résistance interne est son opposé :

$r = \dfrac{U_1 - U_2}{I_2 - I_1}$

$\begin{aligned} r &= \dfrac{6{,}20\ \text{V} - 5{,}00\ \text{V}}{1{,}00\ \text{A} - 0\ \text{A}} \\ &= \dfrac{1{,}20\ \text{V}}{1{,}00\ \text{A}} = 1{,}20\ \Omega \end{aligned}$

Un volt divisé par un ampère donne bien un ohm. Le modèle du porte-piles s’écrit donc :

$U = 6{,}20\ \text{V} - 1{,}20\ \Omega \times I$

Les lectures : la tension à vide E, un second point de la droite, puis le prolongement de la droite jusqu’à 1,50 A, sous le seuil de la carte du robot.

4. On applique le modèle avec $I = 1{,}50\ \text{A}$ . On calcule d’abord la tension perdue dans la résistance interne :

$\begin{aligned} r \times I &= 1{,}20\ \Omega \times 1{,}50\ \text{A} \\ &= 1{,}80\ \text{V} \end{aligned}$

$\begin{aligned} U &= E - r \times I \\ &= 6{,}20\ \text{V} - 1{,}80\ \text{V} = 4{,}40\ \text{V} \end{aligned}$

Au démarrage des moteurs, la tension tombe à $4{,}40\ \text{V}$ , sous le seuil de $4{,}5\ \text{V}$ de la carte électronique : la carte s’éteint, puis redémarre quand les moteurs demandent moins de courant. Des piles neuves n’y changent rien : c’est la résistance interne du porte-piles qui fait baisser la tension quand le courant devient intense. Il faudrait une source de résistance interne plus faible pour éviter ces redémarrages.

5. Puissance transférée au robot :

$\begin{aligned} U \times I &= 4{,}40\ \text{V} \times 1{,}50\ \text{A} \\ &= 6{,}60\ \text{W} \end{aligned}$

Puissance dissipée par effet Joule dans le porte-piles :

$\begin{aligned} r \times I^2 &= 1{,}20\ \Omega \times (1{,}50\ \text{A})^2 \\ &= 1{,}20\ \Omega \times 2{,}25\ \text{A}^2 \\ &= 2{,}70\ \text{W} \end{aligned}$

Puissance fournie par la source idéale du modèle :

$\begin{aligned} E \times I &= 6{,}20\ \text{V} \times 1{,}50\ \text{A} \\ &= 9{,}30\ \text{W} \end{aligned}$

On vérifie le bilan de puissance : $6{,}60\ \text{W} + 2{,}70\ \text{W} = 9{,}30\ \text{W}$ . La somme est bien égale à $E \times I$ . Ce bilan s’obtient en multipliant par $I$ les deux membres du modèle : $U \times I = E \times I - r \times I^2$ . L’énergie dissipée par effet Joule est convertie en énergie thermique : les piles chauffent. À cette intensité, près de $30\ \%$ de la puissance fournie par la source idéale est perdue ainsi.

Réflexe à retenir : à vide, la tension entre les bornes d’une source réelle est égale à $E$ . Dès que la source débite, elle perd $r \times I$ , et cette perte compte d’autant plus que le courant demandé est intense.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Exercice 5

Évaluer le rendement d'une batterie externe

★★★

Type contrôle, avec la fiche technique d'une batterie externe

Yanis recharge son téléphone avec une batterie externe. Le document reproduit les indications imprimées au dos de la batterie. Pendant la recharge, la prise de sortie de la batterie externe débite un courant d’intensité $I = 2{,}0\ \text{A}$ sous une tension $U = 5{,}0\ \text{V}$ .

Batterie externe 10 000 mAh

Cellules: lithium-ion polymère, 3,7 V
Capacité des cellules: 10 000 mAh / 37 Wh
Entrée (USB-C): 5,0 V continu, 2,0 A
Sortie (USB-A): 5,0 V continu, 2,4 A au maximum
Capacité nominale: 6 000 mAh sous 5,0 V
Température d’utilisation: de 0 °C à 40 °C

Document - Les indications imprimées au dos de la batterie externe.

Données : la capacité d’une batterie est la charge électrique qu’elle peut faire circuler. Elle s’exprime souvent en milliampères-heures : $1\ \text{mAh}$ est la charge que fait passer un courant de $1\ \text{mA}$ pendant $1\ \text{h}$ . Relations : $Q = I \times \Delta t$ ; $Q = N \times e$ , avec $e = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{C}$ ; $P = U \times I$ ; $E = P \times \Delta t$ ; pour une même durée de fonctionnement, $\eta = \dfrac{P_\text{utile}}{P_\text{reçue}} = \dfrac{E_\text{utile}}{E_\text{reçue}}$ ; $1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}$ ; $1\ \text{Wh} = 3\,600\ \text{J}$ . Dans cet exercice, la lettre $E$ désigne une énergie : ce n’est pas la tension à vide $E$ de l’exercice 4.

Montrer que la capacité des cellules, $10\,000\ \text{mAh}$ , correspond à une charge $Q = 3{,}60 \times 10^{4}\ \text{C}$ . Combien d’électrons cette charge représente-t-elle ?
Les cellules délivrent leur charge sous une tension de $3{,}7\ \text{V}$ . Montrer que l’énergie qu’elles stockent vaut $37\ \text{Wh}$ , comme l’indique la fiche, puis l’exprimer en joules.
Calculer la puissance électrique fournie au téléphone pendant la recharge.
La capacité nominale est la charge que la batterie externe peut réellement faire circuler par sa prise de sortie, sous $5{,}0\ \text{V}$ . Pendant combien de temps peut-elle débiter un courant de $2{,}0\ \text{A}$ ?
Calculer l’énergie que la batterie externe peut fournir par sa prise de sortie. En déduire son rendement, puis expliquer pourquoi la batterie externe tiédit pendant qu’elle fonctionne.

Voir le corrigé

1. La capacité $10\,000\ \text{mAh}$ est la charge que fait passer un courant de $10\,000\ \text{mA} = 10{,}0\ \text{A}$ pendant $\Delta t = 1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}$ :

$\begin{aligned} Q &= I \times \Delta t = 10{,}0\ \text{A} \times 3\,600\ \text{s} \\ &= 3{,}60 \times 10^{4}\ \text{C} \end{aligned}$

Le nombre d’électrons s’en déduit avec la charge élémentaire :

$\begin{aligned} N &= \dfrac{Q}{e} = \dfrac{3{,}60 \times 10^{4}\ \text{C}}{1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{C}} \\ &= 2{,}25 \times 10^{23} \end{aligned}$

Le résultat n’a pas d’unité : c’est un nombre d’électrons.

2. L’énergie est le produit de la puissance par la durée, et la puissance le produit de la tension par l’intensité : $E = P \times \Delta t = U \times I \times \Delta t$ . Or $I \times \Delta t$ est la charge $Q$ : l’énergie stockée vaut donc $E = U \times Q$ . Avec la charge exprimée en ampères-heures, $Q = 10\,000\ \text{mAh} = 10{,}0\ \text{Ah}$ , puisque $1\,000\ \text{mAh} = 1\ \text{Ah}$ :

$\begin{aligned} E_\text{stockée} &= U \times Q \\ &= 3{,}7\ \text{V} \times 10{,}0\ \text{Ah} \\ &= 37\ \text{Wh} \end{aligned}$

Des volts multipliés par des ampères-heures donnent des wattheures, puisque $1\ \text{V} \times 1\ \text{A} = 1\ \text{W}$ . En joules :

$\begin{aligned} E_\text{stockée} &= 37 \times 3\,600\ \text{J} \\ &= 1{,}3 \times 10^{5}\ \text{J} \end{aligned}$

Astuce de vérification : avec la charge en coulombs, $U \times Q = 3{,}7\ \text{V} \times 3{,}60 \times 10^{4}\ \text{C} = 1{,}3 \times 10^{5}\ \text{J}$ . On retrouve le même résultat.

3. La puissance fournie au téléphone est celle de la prise de sortie :

$\begin{aligned} P &= U \times I \\ &= 5{,}0\ \text{V} \times 2{,}0\ \text{A} = 10\ \text{W} \end{aligned}$

C’est l’ordre de grandeur de la puissance d’une ampoule LED.

4. La capacité nominale est une charge : $Q_\text{nominale} = 6\,000\ \text{mAh} = 6{,}0\ \text{Ah}$ . On isole la durée dans $Q = I \times \Delta t$ :

$\begin{aligned} \Delta t &= \dfrac{Q_\text{nominale}}{I} \\ &= \dfrac{6{,}0\ \text{Ah}}{2{,}0\ \text{A}} = 3{,}0\ \text{h} \end{aligned}$

La batterie externe peut débiter un courant de $2{,}0\ \text{A}$ pendant $3{,}0\ \text{h}$ environ, soit $3{,}0 \times 3\,600\ \text{s} = 1{,}1 \times 10^{4}\ \text{s}$ .

5. L’énergie fournie par la prise de sortie est l’énergie utile. Elle se calcule comme à la question 2, avec la tension de sortie et la capacité nominale :

$\begin{aligned} E_\text{utile} &= U \times Q_\text{nominale} \\ &= 5{,}0\ \text{V} \times 6{,}0\ \text{Ah} \\ &= 30\ \text{Wh} \end{aligned}$

On retrouve ce résultat avec les questions 3 et 4 : $P \times \Delta t = 10\ \text{W} \times 3{,}0\ \text{h} = 30\ \text{Wh}$ .

L’énergie reçue est celle que stockent les cellules, $37\ \text{Wh}$ . Le rendement de la batterie externe vaut :

$\eta = \dfrac{E_\text{utile}}{E_\text{reçue}} = \dfrac{30\ \text{Wh}}{37\ \text{Wh}} = 0{,}81$

soit $81\ \%$ . Le reste, $37\ \text{Wh} - 30\ \text{Wh} = 7\ \text{Wh}$ , est perdu, surtout sous forme d’énergie thermique : effet Joule dans la résistance interne des cellules et dans le circuit qui élève la tension de $3{,}7\ \text{V}$ à $5{,}0\ \text{V}$ . C’est cette énergie qui fait tiédir la batterie externe.

Astuce de vérification : un rendement supérieur à 1 signalerait une fraction posée à l’envers. Ici, $\eta = 0{,}81 < 1$ .

Réflexe à retenir : une capacité en milliampères-heures est une charge. Multipliée par une tension, elle donne une énergie en wattheures.

Je l’ai réussi (ta coche reste enregistrée sur cet appareil)

Les trois réflexes à retenir

Repère de quel $E$ il s’agit. La tension à vide d’une source s’exprime en volts, une énergie en joules ou en wattheures : l’unité indique la grandeur.
Une source réelle perd $r \times I$ . À vide, la tension entre ses bornes vaut $E$ ; plus le courant demandé est intense, plus elle baisse, et plus la source chauffe. Sur la caractéristique, $E$ se lit à l’ordonnée à l’origine, et $r$ est l’opposé du coefficient directeur.
Contrôle tes bilans. Le bilan $E \times I = U \times I + r \times I^2$ vérifie trois puissances d’un coup, et un rendement se calcule avec la puissance utile au numérateur : un résultat supérieur à 1 signale une fraction posée à l’envers.

Exercices corrigés — Énergie et puissance électriques

Intensité, porteurs de charge et source réelle

Puissance, énergie, effet Joule et rendement