Exercices — Le rayonnement solaire

1. Au cœur du Soleil se produit une réaction de fusion nucléaire : des noyaux d’hydrogène s’assemblent pour former des noyaux d’hélium.

2. La masse manquante a été convertie en énergie, selon la célèbre relation d’Einstein :

$E = m \times c^2$

où $m$ est la masse perdue et $c = 3{,}0 \times 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ la vitesse de la lumière. Comme $c^2$ est gigantesque, une toute petite perte de masse libère une énergie colossale : c’est ce qui fait briller le Soleil depuis 4,5 milliards d’années.

Réflexe à retenir : dans une réaction nucléaire, « la masse perdue, c’est de l’énergie gagnée ».

1. On applique directement la loi de Wien :

$\lambda_{\text{max}} = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{5\ 800} = 5{,}0 \times 10^{-7}\ \text{m}$

2. En nanomètres :

$\lambda_{\text{max}} = 5{,}0 \times 10^{-7}\ \text{m} = 500\ \text{nm}$

C’est bien dans le domaine visible (entre 400 et 800 nm), du côté du vert : voilà pourquoi nos yeux se sont adaptés à voir précisément ces longueurs d’onde ✓.

Réflexe à retenir : dans la loi de Wien, la température est toujours en kelvins, jamais en degrés Celsius.

1. On applique la relation d’Einstein :

$E = m \times c^2 = 4{,}0 \times 10^{9} \times \left(3{,}0 \times 10^{8}\right)^2 = 4{,}0 \times 10^{9} \times 9{,}0 \times 10^{16} = 3{,}6 \times 10^{26}\ \text{J}$

2. Cette énergie est libérée en 1 seconde, donc la puissance vaut :

$P = 3{,}6 \times 10^{26}\ \text{W}$

Ordre de grandeur à connaître : la puissance du Soleil est d’environ $10^{26}$ W — des centaines de milliards de milliards de fois la puissance d’un réacteur nucléaire ✓.

Astuce de calcul : $\left(3{,}0 \times 10^{8}\right)^2 = 9{,}0 \times 10^{16}$ (on élève aussi la puissance de 10 au carré).

1. $\lambda_{\text{max}} = 580\ \text{nm} = 5{,}8 \times 10^{-7}\ \text{m}$.

2. On isole $T$ dans la loi de Wien :

$T = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{\lambda_{\text{max}}} = \frac{2{,}9 \times 10^{-3}}{5{,}8 \times 10^{-7}} = 5{,}0 \times 10^{3}\ \text{K}$

3. Avec $5\ 000\ \text{K}$ contre $5\ 800\ \text{K}$, cette étoile est plus froide que le Soleil (et sa lumière tire davantage vers l’orange).

Réflexe à retenir : dans la loi de Wien, $\lambda_{\text{max}}$ et $T$ varient en sens inverse : plus une étoile est chaude, plus son maximum d’émission se décale vers les petites longueurs d’onde (vers le bleu).

1. On calcule la surface de la sphère :

$S = 4\pi d^2 = 4\pi \times \left(1{,}5 \times 10^{11}\right)^2 = 4\pi \times 2{,}25 \times 10^{22} \approx 2{,}8 \times 10^{23}\ \text{m}^2$

2. La puissance reçue par mètre carré est la puissance totale divisée par la surface :

$\frac{P}{S} = \frac{3{,}8 \times 10^{26}}{2{,}8 \times 10^{23}} \approx 1{,}3 \times 10^{3}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

Chaque mètre carré situé à la distance de la Terre reçoit donc environ 1 300 à 1 400 W : c’est bien la valeur de la « constante solaire » (≈ 1 360 W·m⁻²) donnée dans les cours ✓.

Réflexe à retenir : quand une puissance se répartit dans toutes les directions, on divise par la surface de la sphère $4\pi d^2$. Plus on s’éloigne, plus la puissance reçue par mètre carré diminue (comme le carré de la distance).